全科互知
全科互知
■陕西省礼泉县教研室 陈银会 立体几何是高中数学的重点内容, 是考 查空间想象能力的主要载体。高考主要考查 三视图, 柱、 锥、 台、 球 的 表 面 积 和 体 积, 直 线 与直线、 直 线 与 平 面、 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系, 空间向量等知识。为了帮 助 同 学 们 科 学 有效地备考立体几何内容, 本文结合最 新 模 考试题对立体几何问题的考向进行分析。 考向一、空间几何体的基本结构与度量 的考查 该考向的主要内容有简单多面体( 棱柱、 棱锥、 棱台) 与简单旋转体( 圆柱、 圆锥、 圆台、 球) 的概念及性质, 三视图与直观图, 空间几 何体的表面积与体积计算。 1 . 与三视图结合考查空间几何体的度量 图1 例 1 如图1 , 网格 纸上 小 正 方 形 的 边 长 为 1 , 粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何体的三视图, 其中俯视 图为扇形, 则该几何体的 体积为( ) 。 A. 2 π 3 B . 4 π 3 C . 1 4 π 3 D. 1 6 π 9 解析: 由三视图 知 该 几 何 体 是 一 个 圆 锥 的一部分, 由俯视图知, 底面扇形的圆心角为 1 2 0 ° , 底面圆的半径为 2 , 由侧( 左) 视图知该 几何体 的 高 为 3 , 所 以 该 几 何 体 的 体 积 V= 1 2 0 3 6 0 ×1 3× π × 2 2× 3 = 4 π 3 。故选 B 。 提醒: 由几何体 的 三 视 图 求 其 表 面 积 或 体积问题, 一般分两步: ( 1 ) 分析三视图确定 几何体 中 各 元 素 之 间 的 位 置 关 系 及 度 量 大 小; ( 2 ) 还原几何体的直观图, 套用相应的面 积或体积公式。 而由三视图还原几何体可借 助于长( 正) 方体, 利用交轨思想, 找到几何体 的各个顶点, 这是突破解题难点的有效方法。 2 . 与球有关的组合体问题 例 2 已知正四棱锥的高为h, 其各顶 点都在 同 一 球 面 上。若 该 球 的 体 积 为 3 6 π , 且3 2≤ h≤9 2, 则该正四棱锥的体积的取值范 围为( ) 。 A.1 8 , 8 1 4 B .2 7 4, 8 1 4 C .2 7 4, 6 4 3 D. [ 1 8 , 2 7 ] 解析: 因为球的体积为3 6 π , 所以球的半 径R= 3 , 设正四棱锥的底面边长为2 a, 由球 的截面性质 得( h-3 ) 2+(2 a) 2=9 , 即 2 a 2 =- h 2+ 6 h, 所以正四棱锥的体积V= 1 3 × 4 a 2× h=-2 3 h 3+ 4 h 2, 求导得V _=- 2 h 2+ 8 h=- 2 h( h-4 ) 。当 3 2 ≤h≤4 时, V _ > 0 ; 当 4≤h≤ 9 2 时, V _ < 0 。 所 以 当 h=4 时, Vm a x= 6 4 3。又当h= 3 2 时, V=2 7 4, 当 h= 9 2 时, V=8 1 4, 所以Vm i n=2 7 4。所以该正四棱锥 的体积的取值范围为 2 7 4, 6 4 3 。故选 C 。 提醒: 对于球与旋转体的组合问题, 通常 是作它们的轴截面; 对于球与多面体的 组 合 问题, 通常是过多面体的一条侧棱和球心, 或 过“ 切点” “ 接点” 作出截面图, 把空间问题转 化为平面问题进行解决。 考向二、空间点、直线、平面位置关系的 考查 该考向的主要 内 容 有 直 线 与 直 线、 直 线 与平面、 平面与平面平行或垂直关系的判定, 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年2月 全科互知
异面直线所成的角, 直线与平面所成的角, 两 平面所成的二面角。 1 . 利用综合法通过推理进行判断 图2 例 3 ( 多 选) 如 图 2 , 点 P 在 正 方 体 A B C D- A1 B 1 C 1D1 的面 对 角 线 B C 1 上运动, 则 在 点 P 运 动 的 过 程 中, 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) 。 A. 三 棱 锥 A - D1 P C 的 体积不变 B . A1 P∥平面 A C D1 C . D P⊥B C 1 D. 平面 P D B 1⊥平面 A C D1 图3 解析: 对于选项 A, 如图 3 , 由 题 意 知 A D1∥ B C 1, 又 A D1?平面 A D1 C, B C 1?平 面 A D1 C, 所 以 B C 1 ∥平 面 A D1 C, 故 B C 1 上 任 意 一 点 到 平 面 A D1 C 的 距 离 均 相 等, 所 以 以 P 为 顶 点, 平 面 A D1 C 为底面 的 三 棱 锥 A - D1 P C 的 体 积 不 变, 故 A 正确; 对于选项 B , 连接 A1 B, A1 C 1, 则 A1 C 1∥ A C, 易知 A1 C 1∥平面 A D1 C, 由选 项 A 知 B C 1∥平面 A D1 C, 又 A1 C 1∩B C 1= C 1, 所以平面 B A1 C 1∥平面 A C D1, 又 A1 P? 平面 A1 C 1 B, 所以 A1 P∥平面 A C D1, 故 B正 确; 对于选项 C , 由于 D C⊥平面 B C C 1 B 1, 所 以 D C⊥B C 1, 若 D P ⊥B C 1, 则 B C 1 ⊥ 平 面 D C P, B C 1⊥P C, 则 P 为中点, 与 P 为动 点 矛盾, 故 C 错 误; 对 于 选 项 D, 连 接 D B 1, 由 D B 1⊥A C 且 D B 1⊥A D1, 可 得 D B 1 ⊥ 平 面 A C D1, 从而 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 知 平 面 P D B 1⊥平面 A C D1, 故 D 正确。故选 A B D。 提醒: 以空间点、 直线、 平面的位置关系 为基础, 建立和形成以公理、 定义、 判定、 性质 为主线的立体几何知识体系是进行空间线面 位置关系判断的前提, 常用的方法有: ①根据 定理逐项判断, 可以举反例, 也 可 以 证 明, 要 结合题目灵活选择; ② 必要时可以借助空间 几何体模型, 如借助长方体、 正四面体中的线 面位置关系来判断。 2 . 利用向量法通过计算进行判断 例 4 在 正 方 体 A B C D- A1 B 1 C 1D1 中, E, F 分别为A B, B C 的中点, 则下列结论 正确的是( ) 。 A. 平面 B 1 E F⊥平面 A1 B D B . 平面 B 1 E F∥平面 A1A C C . 平面 B 1 E F⊥平面 B D D1 D. 平面 B 1 E F∥平面 A1 C 1D 解析: 如图4 , 以 D 为坐标原点, 建立空 图4 间直 角 坐 标 系 D- x y z, 设 A B =2 , 则 B 1 ( 2 , 2 , 2) , E( 2 , 1 , 0) , F ( 1 , 2 , 0) , B( 2 , 2 , 0) , A1 ( 2 , 0 , 2) , A( 2 , 0 , 0) , C ( 0 , 2 , 0) , C 1( 0 , 2 , 2 ) , E F →=( -1 , 1 , 0 ) , E B 1 →= ( 0 , 1 , 2 ) , D B → = ( 2 , 2 , 0 ) , D A1 → = ( 2 , 0 , 2 ) , A A1 → = ( 0 , 0 , 2 ) , A C →=( -2 , 2 , 0 ) , A1 C 1 →= ( -2 , 2 , 0 ) 。设 平 面 B 1 E F 的一个法向量为 m=( x 1, y 1, z 1) , 则 m·E F →=- x 1+ y 1= 0 , m·E B 1 →= y 1+ 2 z 1= 0 , 可 取 m = ( 2 , 2 , - 1 ) 。同理可得, 平面 A1 B D 的一个法向量 为n 1=( 1 , -1 , -1 ) , 平 面 A1A C 的 法 向 量 为n 2=( 1 , 1 , 0 ) , 平面B B D1 的一个法向量为 n 3=( 1 , - 1 , 0 ) , 平面 A1 C 1D 的一个法向量 为n 4=( 1 , 1 , - 1 ) 。因为m· n 1= 2 - 2 + 1 = 1≠0 , 所以平面B 1 E F 与平面A1 B D 不垂直, 故 A 错 误; 因 为 m 与n 2 不 平 行, 所 以 平 面 B 1 E F 与平面A1A C 不平行, 故 B 错误; 因为 m· n 3= 2 - 2 + 0 = 0 , 所以平面 B 1 E F⊥平面 B D D1, 故 C正确; 因为 m 与n 4 不平行, 所以 平面 B 1 E F 与 平 面 A1 C 1D 不 平 行, 故 D 错 误。故选 C 。 提醒: “ 空间向量” 的引入, 给我们处理立 体几何问题提供了一种新的视角与更加有效 的工具。 用向量法进行解题的思路有: ( 1 ) 分 析问题中的关键要素; ( 2 ) 用向量表示相关要 素; ( 3 ) 进行向量运算求得向量的结果; ( 4 ) 将 向量结果翻译成几何结论。 3 . 综合法、 向量法( 坐标法) 综合应用 例 5 如图5 , 在四棱锥 P - A B C D 中, 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年2月 全科互知
图5 底面 A B C D 是边长为4的 菱形, ∠D A B= 6 0 ° , P A= P D= 1 3, E 为 A B 的 中 点, O 为 A D 的 中 点, P E ⊥A C。 ( 1 ) 证明: A C⊥P O。 ( 2 ) 求二面角 A - P D- B 的余弦值。 解析: ( 1) 连 接 O E, 如 图 5 , 因 为 底 面 A B C D 是菱形, 所 以 A C⊥B D。又 因 为 O E 为△A B D 的中位线, 所以O E∥ B D, 从而A C ⊥O E。因 为 P E⊥A C, P E∩O E=E, 所 以 A C⊥平面 P O E。又 P O? 平 面 P O E, 所 以 A C⊥P O。 ( 2 ) 因为 P O 是等腰 △P A D 的中线, 所 以 P O⊥A D。 由( 1 ) 知 A C⊥P O, 又 A C∩A D=A, 所 以 P O⊥平面 A B C D, P O= 1 3 - 4= 3 。 因为 底 面 A B C D 为 菱 形, 且 ∠D A B = 6 0 ° , 所以 O B⊥A D。 以 O 为 坐 标 原 点, O A, O B, O P 所 在 直 图6 线分 别 为 x 轴, y 轴, z 轴, 建立如图 6 所 示 的 空 间直角坐标系 O- x y z, 则 D ( -2 , 0 , 0 ) , B ( 0 ,3, 0 ) , P ( 0 , 0 , 3 ) , 所 以 D B → =( 2 , 2 3, 0 ) , P B →= ( 0 , 2 3, - 3 ) 。 设平面 P B D 的 一 个 法 向 量 为 m = ( x, y, z) , 则 m·D B →= 2 x+ 2 3 y= 0 , m·P B →= 2 3 y- 3 z= 0 , 取 y = 3, 得 m=( - 3 , 3, 2 ) 。 易知平面 P A D 的一个法向量为n=( 0 , 1 , 0 ) , 设 二 面 角 A - P D- B 为θ, 则 c o s θ= m· n | m | | n | = 3 9 + 3 + 4 = 3 4 。 故二面角 A - P D- B 的余弦值为 3 4 。 提醒: 求解立体几何问题可以用“ 综合法” “ 向量法” “ 坐标法” , 在具体解题时不一定运用 一种方法, 可以灵活选用, 视情况而定。 一般地, 对于线面位置关系的证明, 可以选用“ 综合法” 直接处理, 而对于空间角的有关计算, 有时采用 “ 向量法” 或“ 坐标法” 更为方便与快捷。 考向三、立体几何的应用性考查 该考向的主要内容是设置实际情境或者 数学情境, 以开放题或应用题等形式进 行 考 查。 实现典型问题的变式转化和解决问题方 法的灵活选择。 例 6 定 义: 2 4 小 时 内 的 降 水 在 水 平 地面上的积水厚度( mm) 来判断降雨程度, 其 图7 中 小 雨 ( < 1 0 mm) ,中 雨 ( 1 0 mm~ 2 5 mm ) ,大 雨 ( 2 5 mm~ 5 0 mm ) ,暴 雨 ( 5 0 mm~ 1 0 0 mm) 。小明用 一个圆锥形容器接了2 4小时 的雨水, 如图7 , 则这天降雨属 于的等级为( ) 。 A. 小雨 B . 中雨 C . 大雨 D. 暴雨 解 析: 由 题 意 可 知, 一 个 半 径 为2 0 0 2 = 1 0 0 ( mm) 的圆面内的降雨充满一个底面半径 为 2 0 0 2 × 1 5 0 3 0 0 = 5 0 ( mm) , 高为1 5 0 ( mm) 的圆 锥, 所 以 积 水 厚 度 d = 1 3 π × 5 0 2× 1 5 0 π × 1 0 0 2 = 1 2 . 5 ( mm) , 属于中雨。故选 B 。 提醒: 以实际情 境 考 查 空 间 几 何 体 的 表 面积和 体 积 的 计 算 是 高 考 中 常 见 的 一 个 考 点。解决这类问题, 首先, 从实际情境中抽象 出简单几何体, 同时明确实际数据的几 何 意 义, 要熟练掌握各类空间几何体的表面 积 和 体积的计算公式; 其次, 要掌 握 一 定 的 技 巧, 如把不规则几何体分割成几个规则几何体的 技巧, 把一个空间几何体纳入一个更大 的 几 何体中的补形技巧。 对于求三棱锥的体积时 要注意等体积转化法的应用。 高考对立体几何部分的考查仍以主干知 识和基本方法为主, 难度适中。因此, 同学们 在复习备考时应熟练掌握基础知识、 基 本 概 念、 常见问题的处理方法, 培养空间想象能力 和逻辑推理能力, 适当加大训练难度, 强化空 间向量的应用意识。 ( 责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年2月 全科互知
立足于情境 凸显应用性 — — —以空间几何中常见的问题情境为例 ■陕西省西安市曲江第一中学 李 敏 在 “ 三 新 ” 背 景 下 , 高 考 试 题 突 出 对 应 用 性 的 考 查 , 强 调 学 以 致 用 , 通 过 创 设 自 然 真 实 的 生 活 实 践 、 学 习 探 索 等 问 题 情 境 , 将 理 论 知 识 与 实 际 问 题 相 结 合 , 考 查 同 学 们 运 用 所 学 知 识 方 法 分 析 问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 。 三 维 空 间 是 人 类 生 存 的 现 实 空 间 , 蕴 含 着 丰 富 的 几 何 图 形 , 同 学 们 在 复 习 备 考 的 过 程 中 应 注 重 创 设 真 实 情 境 , 用 数 学 语 言 对 某 些 位 置 关 系 进 行 描 述 或 者 论 证 , 培 养 和 发 展 空 间 想 象 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 , 凸 显 数 学 的 应 用 性 。 考向一、经验型生活情境 图1 例 1 如图1是一个装有 水的全封闭直三棱柱容器 A B C - A1 B 1 C 1, ∠A B C = π 2, A C = A A1=8 , 若 水 的 体 积 恰 好 是 该 容器体积的一半, 容器厚度忽略 不计, 则下列结论错误的是( ) 。 A. 转动容器, 当平面 A A1 C 1 C 水平放置 时, 容器内水面形成的截面为 D E F G, 则 D, E, F, G 都是所在棱的中点 B . 当底面 A A1 C 1 C 水平放置后, 将容器 绕着C C 1 转动( 转动过程中 C C 1 始终保持水 平) , 有水的部分是棱柱 C . 在翻滚、 转动容器的过程中, 有水的部 分不可能是三棱锥 D. 容器 中 水 的 体 积 与 直 三 棱 柱 外 接 球 体积之比至多为 3 2 1 6 π 图2 解 析:如 图 2 ,当 平 面 A A1 C 1 C 水 平 放 置 时, 假 设 D, E, F, G 都 为 所 在 棱 的 中 点, 设水面到底面的距离为h, A B=a, B C= b, 则 水 的 体 积 V= S△A B C · C C 1-1 2·1 2 a·1 2 b· C C 1= 4 a b - a b=3 a b, 又 因 为 转 动 前 水 的 体 积 为 V = S△A B C ·C C 1 2 =1 2 a b× 4 = 2 a b < 3 a b, 所以 D, E, F, G 不为所在棱的中点, 故 A 错误。 图3 如图 3 , 当 平 面 A A1 C 1 C 水平放置时( C C 1 始终保持水 平 ) ,则 平 面 A B C ∥ 平 面 A1 B 1 C 1, 所 以 有 水 的 部 分 是 棱柱, 故 B正确。 在翻滚、 转 动 容 器 的 过 程 中, 当 平 面 A1 B C 水平放 置 时, 三 棱 锥 A1 - A B C 的 体 积 图4 取 到 最 大 值,如 图 4 ,此 时 VA 1 - A B C =1 3S△A B C ·A A1= 1 3 × 1 2× a b× 8 =4 3 a b, 而水的体积 为V= 2 a b > 4 3 a b, 所以有水的 部分不可能是三棱锥, 故 C正确。 图5 如图 5 , 取 A C, A1 C 1 的 中 点为 D, D1, 连 接 D D1, 取 D D1 的中点 为 O, 连 接 O A, 则 D 为 R t △A B C 的 外 接 圆 的 圆 心, O 为三 棱 柱 A B C - A1 B 1 C 1 的 外 接 球的球心, 所以 O A 为外接球的 半径, 且 O A = 4 2+ 4 2 =4 2, 所 以 直 三 棱 柱的 外 接 球 的 体 积 V球 = 4 3π R 3 = 4 3 π · ( 4 2) 3=5 1 2 2 3 π 。由 选 项 A 可 知, 容 器 中 水的体积为V水 = 2 a b, 又a 2+ b 2= 8 2= 6 4 , 所 以6 4 = a 2+ b 2≥ 2 a b? a b≤ 3 2 , 当且仅当a= b= 4 2时等号成立, 所以V水 =2 a b≤6 4 , 则 水的体积与直三棱柱的外接球的体积之比为 2 a b 5 1 2 2 3 π ≤ 6 4 5 1 2 2 3 π =3 2 1 6 π, 即 容 器 中 水 的 体 积与直 三 棱 柱 的 外 接 球 的 体 积 之 比 至 多 为 3 2 1 6 π, 故 D 正确。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年2月 全科互知
故选 A。 评注: 该题是源于生活的立体几何问题, 要 求同学们结合生活经验, 构建出容器在不同的 摆放情况下水形成的几何体, 直击直观想象素 养。综合考查棱柱、 棱锥、 棱台的概念和体积公 式, 几何体的外接球, 以及利用基本不等式求最 值等相关知识。难点在于同学们要在具体情境 中提炼并分析问题, 准确地转换为数学问题, 并 利用立体几何的相关知识解决问题。 考向二、应用型生活情境 图6 例 2 图 6 为 三 角 形 简 易 遮 阳 棚, 其 中 A C =3 , B C=4 , A B =5 , 若 A, B 是 地面上南北方向上的两个定 点, 正西 方 向 射 出 的 太 阳 光 线 与 地 面 成 3 0 ° 角。试问: 遮 阳 棚 A B C 与 地 面 成 多 大 角 度 时, 才能 使 所 遮 影 面 A B D 的 面 积 最 大? 最 大面积是多少? 解析: 因为 A C=3 , B C =4 , A B=5 , 所 以△A B C 是直 角 三 角 形。由 点 C 引 A B 的 垂线, 垂足为 Q, 连接 C Q, D Q。因为 C D⊥ A B, 所 以 A B ⊥ 平 面 C Q D。 又 A B ? 平 面 A B D, 所以平面C Q D⊥平面 A B D, 所以 Q D 为C Q 在 面 A B D 上 的 射 影, 所 以 ∠ C D Q 为 太阳光线与地面所成的角, ∠ C Q D 为遮阳棚 与地面所成的角。在△ C Q D 中, 由正弦定理 知 C Q s i n 3 0 °= Q D s i n ∠Q C D, 又 C Q =1 2 5, 所 以 Q D= 2 4 5 × s i n ∠Q C D。因为当 Q D 最大时, △A B D 的面积最大, 所以当∠Q C D= 9 0 ° 时, Q D 最 大, 此 时 ∠ C Q D =6 0 ° , Q D = 2 4 5, S△A B D =1 2× 2 4 5× 5 = 1 2 。 评注: 这是一道 利 用 数 学 知 识 解 决 实 际 需求的问题。首先, 提炼题目中的信息, 将其 转化为数学图形语言、 符号 语 言; 其 次, 绘 制 出相应的几何图形, 添加适当的辅助线, 将几 何图形构造成有规则的、 常见的、 易于求解的 几何图形; 再次, 利用立体几何知识来解答问 题; 最后, 在实际情境中检验所得结果。重点 考查同学们的提炼转换信息能力、 抽象 概 括 能力, 以及直观想象素养, 需要同学们精准地 抽象出与实际情境相对应的数学问题。 考向三、数学文化型情境 例 3 正 多 面 体 也 称 柏 拉 图 立 体, 被 喻为最有规律的立体结构, 是其所有面 都 只 图7 由一种 正 多 边 形 构 成 的 多 面 体 ( 各面 都 是 全 等 的 正 多 边 形, 且 每一个顶点所接的面数都一样, 各相邻 面 所 成 二 面 角 都 相 等) 。 数学家 已 经 证 明 世 界 上 只 存 在 五种柏 拉 图 立 体, 即 正 四 面 体、 图8 正六面 体、 正 八 面 体、 正 十 二 面 体、 正二 十 面 体。已 知 一 个 正 四 面体 Q P T R( 图7 ) 和一个正八面 体 A E F BH C( 图 8 ) 的 棱 长 都 是 a, 把它们拼接 起 来, 使 它 们 一 个 表面重合, 得到一个新多面体。 ( 1 ) 求新多面体的体积。 ( 2 ) 求二面角 A - B F - C 的余弦值。 图9 解析: ( 1 ) 如图 9 , 在 正 四 面 体中, 分别取 P T, Q R 的中点为 N, G, 连 接 Q N, R N, N G, 则 P T⊥Q N, P T⊥R N, Q N ∩R N =N, 所以 P T⊥ 平面 Q N R, 所 以 正 四 面 体 的 体 积 为 V 1 = 1 3 S△Q N R · P T = 1 3 × 1 2a × 图1 0 3 2a 2 - 1 2 a 2 ×a= 2 1 2 a 3。 如 图 1 0 , 在 正 八 面 体 中, 连 接 A C, 交 平 面 E F BH 于 点 O, 则 A O ⊥ 平 面 E F BH , 所 以 S正方形E F BH = a 2, A O = A E 2-O E 2 = 2 2a, 所以正八面体的体积为 V 2= 2× 1 3 ×S正方形E F BH ×A O=2× 1 3 × a 2× 2 2a= 2 3a 3。因为新多面体的体积V 为正四 面体的体积V 1 与正八面体的体积V 2 之和, 所以V= V 1+ V 2= 5 2 a 3 1 2 。 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年2月 全科互知
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ( 2 ) 如 图 1 0 , 在 正 八 面 体 A C 中, 取 B F 的中点为 M , 连接 AM , C M , 易得 ∠AM C 为 二面角 A - B F - C 的平面角。易得 AM =M C = 3 2a, A C=2 A O=2 A E 2-O E 2 = 2 a。 在△AM C 中, 由 余 弦 定 理 得 c o s ∠AM C= MA 2+M C 2-A C 2 2 MA·M C =-1 3。 评注: 以数学文化为背景的情境问题, 蕴 含了浓厚的数学文化气息, 它将数学知识、 方 法、 文化融为一体, 有效地考查了同学们在新 情境下对知 识 的 理 解, 既 弘 扬 了 中 华 优 秀 传 统文化, 又检测同学们思维的广度和深度, 以 及进一步学习的潜能。同学们要以平常心对 待此类问题, 抓住“ 文化 名 词” 的 几 何 本 质 特 征, 借助立体几何知识分析求解。 随着新课 改 的 深 入, 高 考 数 学 命 题 越 来 越体现数学应用、 联系实际的学科特点, 设置 真实情境, 命制具有教育意义的试题, 充分发 挥数学考试的教育功能和引导作用。在复习 备考中, 切忌 始 终 如 一 地 引 用 已 经 抽 象 出 来 的数学问题情境, 同学们要落实“ 四基” 与“ 四 能” , 加强以 实 际 情 境 为 载 体, 训 练 并 提 升 自 己联系所学 知 识 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力, 培 养数学学科核心素养。 ( 责任编辑 王福华) ■ 陕西省礼泉县第一中学 康锋艳 立体几何是高中数学的主干知识之一, 重点研究现实世界中物体的形状、 大小 与 位 置关系。立体几何是培养同学们空间想象能 力的主要素材, 用直观感知、 操 作 确 认、 推 理 论证、 度量计算的方式认知和探索空间 图 形 的性质, 因而是高考的必考 点 和 热 点。纵 观 近几年高考试题, 解答题本着“ 大稳定, 小创 新” 的原则与设计理念, 考查方式稳中 有 新, 本文结合最新模考试题探索命题趋势, 希 望 能为同学们的备考提供一些帮助。 考向一、立体几何中的探索性问题与开 放问题 图1 例 1 如图1所示, 在四 棱锥 P - A B C D 中, B D ⊥P C, ∠A B C =6 0 ° , 四 边 形 A B C D 是菱形, P B= 2 A B= 2 P A, E 是棱P D 上的动点, 且 P E →= λ P D →。 ( 1 ) 证明: P A⊥平面 A B C D。 ( 2 ) 是否存在 实 数λ, 使 得 平 面 P A B 与 平面A C E 所成锐二面角的余弦值为2 1 9 1 9 ? 若存在, 求出λ 的值; 若不存在, 请说明理由。 解析: ( 1 ) 因为四边形 A B C D 是菱形, 所以 B D⊥A C。因 为 B D ⊥P C, A C, P C ? 平 面 P A C, 且A C∩P C=C, 所以 B D⊥平面 P A C。 因为 P A? 平 面 P A C, 所 以 B D⊥P A。因 为 P B= 2 A B= 2 P A, 所以P B 2= A B 2+ P A 2, 即 A B⊥ P A。因为 A B, B D?平面 A B C D, 且 A B ∩ B D= B, 所以P A⊥平面A B C D。 ( 2 ) 取 C D 的 中 点 为 F, 连 接 A F, 易 证 图2 A B, A F, A P 两两垂直, 故以 A 为坐标原点, A B, A F, A P 所在 直线分别为x 轴, y 轴, z 轴, 建 立如图2所示的空间直角坐标 系A - x y z。设 A B= 2 , 则 A( 0 , 0 , 0 ) , C( 1 , 3, 0 ) , D( - 1 , 3, 0 ) , P( 0 , 0 , 2) , 所 以 A C → = ( 1 ,3, 0) , P D → = ( - 1 , 3, - 2 ) , A P →=( 0 , 0 , 2 ) , 所以 A E →=A P →+ P E →= A P →+ λ P D →=( - λ , 3 λ , 2 - 2 λ ) 。 设平面 A C E 的法向量为n=( x, y, z) , 则 n·A C →= x+ 3 y= 0 , n·A E →=- λ x+ 3 λ y+( 2 - 2 λ) z= 0 , 令 x= 3, 得n= 3, - 1 ,3 λ 1 - λ 。 平面 P A B 的 一 个 法 向 量 为 m = ( 0 , 1 , 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年2月 全科互知