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■江苏省华罗庚中学 强 源 三角函数是高中重要的函数模型之一, 也是每年高考必考的内容, 主要考查利 用 主 要三角公式进行恒等变形, 考查三角函 数 的 单调性、 对称性、 周期性等性质。虽然近年来 高 考 全 国 卷 中 三 角 函 数 很 少 考 解 答 题, 但 2 0 2 3 年 教 育 部 教 育 考 试 院 给 四 省 联 考 的 试 题出现三角函数的解答题, 因此, 同学们在备 考这部分内容时要引起足够重视。本文结合 例题梳理三角函数解答题的常考问题, 目 的 是帮助同学们了解高考命题趋势, 把握 备 考 方向, 从而提高备考效率。 例 1 已知函数f( x) = c o s 4 x- s i n 4 x + s i n2 x-π 6 。 ( 1 ) 求函数f( x) 的最小正周期; ( 2 ) 将 函 数 f ( x) 的 图 像 向 左 平 移 φ 0 < φ < π 4 个单位长 度 后 得 到 函 数 g( x) 的图像, 若函数g( x) 的图像关于点 π 3, 0 成 中 心 对 称, 在 区 间 -π 4, α 上 的 值 域 为 -1 2, 1 , 求α 的取值范围。 解 析: ( 1) f ( x)=c o s 4 x - s i n 4 x + s i n2 x-π 6 = 1 2 c o s 2 x + 3 2 s i n 2 x = s i n2 x+π 6 。 所以函数f( x) 的最小正周期为 2 π 2 = π 。 ( 2)由 题 意 可 知,函 数 g ( x )= s i n2 x+ 2 φ+π 6 。 因为函数g( x) 的图像关于点 π 3, 0 成 中心对称, 所以2 × π 3 + 2 φ+ π 6 = k π , k∈Z , 解得φ=- 5 π 1 2+ k π 2 , k∈Z 。 因为0 < φ < π 4, 所以k= 1 , φ= π 1 2 。 所以g( x) = s i n2 x+π 3 。 当 x ∈ -π 4, α 时,有 2 x + π 3 ∈ -π 6, 2 α+π 3 。 因为g( x) 在区间 -π 4, α 上的值域为 -1 2, 1 , 所以 π 2 ≤2 α+ π 3 ≤7 π 6 , 解 得 π 1 2≤ α≤ 5 π 1 2。 所以α 的取值范围为 π 1 2 , 5 π 1 2 。 评注: 本题主要 考 查 三 角 函 数 的 恒 等 变 形, 以及三角函数的周期性、 对 称 性 等 知 识, 试题难度不大, 比较基础。 例 2 已知函数f( x) =A s i n ( ω x+ φ) A > 0 , ω > 0 , 0 < φ < π 2 同 时 满 足 下 列 四 个 条件中 的 三 个: ①f -π 6 =0 ; ②f( 0) = - 1 ; ③最大值为2 ; ④最小正周期为π 。 ( 1 ) 请写出函数 f( x) 的解析式, 并说明 理由; ( 2 ) 若函数 f( x) 在区间[ 0 , α) 上 恰 有 3 个极值点, 求α 的取值范围。 解析: ( 1 ) 依题意, 若函数f( x) 满足条件 ②, 则f( 0 ) =A s i n φ= -1 , 这与 A > 0 , 0 < φ < π 2矛盾, 所以f( x) 不能满足条件②。 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 全科互知
所以f( x) 应满足条件①③④。 由条件④得 2 π ω =π , 且ω > 0 , 所以ω= 2 , 由 条 件 ③ 得 A = 2 ,再 由 条 件 ① 得 f -π 6 = 2 s i n -π 3+ φ = 0 , 且0 < φ < π 2, 所以φ=π 3, 所以f( x) = 2 s i n2 x+π 3 。 ( 2 ) 因 为 x ∈ [ 0 , α) , 所 以 2 x + π 3 ∈ π 3, 2 α+π 3 。 因为函数f( x) 在区间[ 0 , α) 上恰有3个 极值 点, 所 以5 π 2 < 2 α+ π 3 ≤7 π 2 , 解 得1 3 π 1 2 < α≤ 1 9 π 1 2 。 所以α 的取值范围为 1 3 π 1 2 , 1 9 π 1 2 。 评注: 本题以结构不良的形式呈现问题, 涉及的内容丰富, 试题很好地体现了基 础 性 和综合性, 需要同学们熟练掌握三角函 数 的 必备知识和关键能力, 试题的难度不大, 比较 基础。 例 3 已 知 函 数 f ( x ) = 2 3 c o sω x-π 4 s i n ω x+π 4 +2 c o s ω x · s i nω x-π 2 - 3+1 ( ω > 0 ) 的 最 小 正 周 期 为π 。 ( 1 ) 求ω 的值; ( 2 ) 求f( x) 在 0 , π 上的单调区间; ( 3 ) 若 方 程 f( x) = - 4 3 在 π 2, π 上 的 解为α, β, 求c o s ( α+ β) 的值。 解 析:( 1) 由 题 意 知, f ( x ) = 2 3 c o s -π 2+ ω x+π 4 s i n ω x+π 4 - 2 c o s 2 ω x - 3 +1=2 3s i n 2 ω x+π 4 - 2 c o s 2 ω x- 3+1=2 3× 1 - c o s2 ω x+π 2 2 - 2 c o s 2 ω x- 3+1= 3× ( 1+s i n 2 ω x) - 2 ×1 + c o s 2 ω x 2 - 3 +1= 3s i n 2 ω x - c o s 2 ω x= 2 s i n2 ω x-π 6 。 因为f( x) 的最小正周期为π , 所以2 π 2 ω= π , 即ω= 1 。 ( 2 ) 由 ( 1) 知, ω =1 , 所 以 f ( x) = 2 s i n2 x-π 6 。 令2 k π -π 2≤ 2 x-π 6≤ 2 k π + π 2, k∈Z , 得k π -π 6≤ x≤ k π +π 3, k∈Z , 因为0 ≤ x≤ π , 所以0 ≤ x≤π 3或 5 π 6 ≤ x≤ π 。 令2 k π +π 2≤ 2 x-π 6≤ 2 k π +3 π 2 , k∈Z , 得k π +π 3≤ x≤ k π + 5 π 6 , k∈Z , 因为0 ≤ x≤ π , 所以π 3≤ x≤ 5 π 6 。 所以f( x) 在[ 0 , π ] 上的单调递增区间为 0 , π 3 ,5 π 6 , π , 单调递减区间为 π 3, 5 π 6 。 ( 3 ) 由( 2 ) 知 f( x) 在 π 3, 5 π 6 上 单 调 递 减, 在 5 π 6 , π 上单调递增。 又因为f( x) 的图像关于直线 x=5 π 6 对 称, 且f π 2 = 1 , f 5 π 6 = -2 , f( π ) = -1 , -4 3∈( - 2 , - 1 ) , 所以 α+ β 2 =5 π 6 , 即α+ β= 5 π 3 , 所以c o s ( α+ β) =-1 2。 评注: 本题的第 一 问 主 要 考 查 三 角 恒 等 变形, 涉及的公式较多, 最后落在函数的周期 性上; 第二问主要考查三角函数在闭区 间 上 的单调性; 第三问主要考查三角函数的 单 调 性与对称性。试题的综合性 很 强, 但 涉 及 知 识都很基础, 试题难度不大, 具有良好的信度 和效度, 值得深入研究、 探讨。 例 4 近年来, 为“ 加大城市公园绿地 建设力度, 形成布局合理的公园体系” , 许 多 城市陆续建起众多“ 口袋公园” 。现计划在一 块边长为2 0 0米的正方形的空地上按以下要 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 全科互知
图1 求建造“ 口袋公园” , 如图 1 所示, 以 E F 的中点A 为圆 心, F G 为 半 径 的 扇 形 草 坪 区A B C, 点 P 在 弧 B C 上 ( 不 与 端 点 重 合 ) , A B、 弧 B C、 C A、 P Q、 P R、 R Q 为步 行 道, 其 中 P Q 与 A B 垂 直, P R 与A C 垂直。设∠P A B= θ。 ( 1 ) 如果点 P 位于弧B C 的中点, 求三条 步行道 P Q、 P R、 R Q 的总长度; ( 2 ) “ 地摊经 济” 对 于“ 拉 动 灵 活 就 业、 增 加多源 收 入、 便 利 居 民 生 活” 等 都 有 积 极 作 用。为此街道允许在步行道 P Q、 P R、 R Q 上 开辟临时摊点, 积极推进“ 地摊经济” 发展, 预 计每年能 产 生 的 经 济 效 益 分 别 为 每 米 5 万 元、 5 万 元 及 5 . 9 万 元, 试 问: 这 三 条 步 行 道 每年能产生的经济总效益最高为多少? ( 精 确到1万元) 解 析: ( 1) 由 题 意 知 A C =2 0 0 , E A = 1 0 0 , E C =1 0 0 3, 所 以 ∠E A C = π 3。 同 理 ∠F A B=π 3, 故∠B A C=π 3。 由于点 P 位于弧B C 的中点, 所以点 P 位于∠B A C 的角平分线上。 则 | P Q |=| P R |=| P A|·s i n ∠P A B =2 0 0×s i n π 6 =1 0 0 , |A Q|=|A P|· c o s ∠P A B= 2 0 0 × 3 2 = 1 0 0 3。 因 为 ∠B A C = π 3, | A Q|=| A R|= 1 0 0 3, 所 以 △A R Q 为 等 边 三 角 形, 所 以 | R Q | = | A Q | = 1 0 0 3。 因此三 条 街 道 的 总 长 度 为l=| P Q |+ | P R |+| R Q |=1 0 0+1 0 0+1 0 0 3=2 0 0+ 1 0 0 3( 米) 。 ( 2 ) 由 图 可 知, | P Q|=| A P| s i n θ= 2 0 0 s i n θ。 | P R | = | A P | s i n π 3- θ = 2 0 0 s i n π 3- θ = 1 0 0 3 c o s θ- 1 0 0 s i n θ。 | A Q | = | A P | c o s θ= 2 0 0 c o s θ。 | A R | = | A P | c o s π 3- θ = 2 0 0 c o s π 3- θ = 1 0 0 c o s θ+ 1 0 0 3 s i n θ。 在△A R Q 中, 由余弦定理可得 | R Q | 2= | A Q| 2 +| A R| 2 -2 | A Q| | A R| c o s π 3 = ( 2 0 0 c o s θ) 2 + ( 1 0 0 c o s θ+1 0 0 3 s i n θ ) 2 - 2 × 2 0 0 c o s θ ( 1 0 0 c o s θ+ 1 0 0 3 s i n θ ) c o sπ 3= 3 0 0 0 0 , 则 | R Q | = 1 0 0 3。 设三条步行道每年能产生的经济总效益 为 W , 则 W =( | P Q | + | P R | ) × 5 + | R Q | × 5 . 9 =( 2 0 0 s i n θ+ 1 0 0 3 c o s θ-1 0 0 s i n θ) × 5 + 5 9 0 3= 1 0 0 0 s i nθ+π 3 + 5 9 0 3。 当s i nθ+π 3 =1 , 即θ= π 6 时, W 取 最 大值, 最 大 值 为 1 0 0 0+5 9 0 3 ≈2 0 2 2( 万 元) 。 所以三条步行道每年能产生的经济总效 益最高约为2 0 2 2万元。 评注: 试题将三角知识融入实际生活中, 体现数学的应用性。第一问需要在阅读理解 题意的基础上建立数学模型, 体现数学 建 模 过程; 第二问利用余弦定理进行建模, 最后落 在三角函数的图像性质问题上。试题的综合 性很强, 对数学能力要求比较高。 三角函数解答题主要考查利用主要三角 公式进行恒等变形, 考查三角函数的单调性、 对称性、 周期性等性质, 试题具有很强的基础 性和综合性。解答此类问题时, 首先, 同学们 要掌握三角函数的必备知识, 包括三角 函 数 的基本公式, 三角函数的图 像 与 性 质; 其 次, 要多积累基本活动经验, 熟练掌握解决 问 题 的基本思想方法; 最后, 要提升自己的推理能 力。本文的4个例题基本涵盖了所有三角函 数的必备知识和常见考法, 试题与高考 全 国 卷的命题风格完全吻合, 希望同学们在 复 习 备考时能 勤 于 思 考, 多 动 手 实 践, 多 反 思 总 结, 全面提升自己的数学解题能力。 ( 责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 全科互知
■郑州市第十一中学 刘素芳 解三角形解答题是每年高考全国卷必考 的内容之一, 考查的内容不是很多, 也不复杂, 并且很稳定。主要包括正余弦定理、 三角形面 积公式、 和角与差角公式、 诱导公式、 同角公式 与基本关系、 三角形有关角的函数值等解三角 形的核心内容。试题的呈现一般是限定条件 构造一个三角形便自然地给出了一个三角函 数背景, 通过解三角形并解决有关问题, 不仅 能兼顾对三角函数、 三角变换等知识的考查, 还能考查代数推理能力, 以及转化与化归、 函 数与方程等思想方法。 一、方程视角下的解三角形 利用主要的三角公式、 正余弦定理、 三角形 面积公式、 三角形的特征线等列相关元素的方 程, 而后解三角形, 这是高考全国卷的命题热点 问题, 不仅能很好地考查三角基本公式、 正余弦 定理、 三角形面积公式等基本知识, 还可以考查 考生综合运用基础知识解决问题的能力。 例 1 记△A B C 的内角 A, B, C 所对 的边分别为a, b, c, 若b+ c= 2 a s i nC+π 6 。 ( 1 ) 求 A; ( 2 ) 设 A B 的 中 点 为 D, 若 C D =a, 且 b- c= 1 , 求△A B C 的面积。 解析: ( 1 ) 由 已 知 得b+ c= 3 a s i n C+ a c o s C, 由 正 弦 定 理 得 s i n B +s i n C = 3 s i n A s i n C+ s i n A c o s C。 因为 A+B+C=π , 所以s i n B= s i n ( A + C) = s i n A c o s C+ c o s A s i n C。 所以s i n A c o s C+ c o s A s i n C+ s i n C= 3 s i n A s i n C+ s i n A c o s C, 即c o s A s i n C+ s i n C= 3 s i n A s i n C。 又因为 C∈( 0 , π ) , 所以s i n C ≠0 , 所以 3 s i n A- c o s A= 1 , 即s i n A-π 6 =1 2。 因为 A ∈ ( 0 , π ) , 所 以 - π 6 < A - π 6 < 5 π 6 , 所以 A-π 6=π 6, 解得 A=π 3。 ( 2 ) 在△A C D 中, 由余弦定理得, C D 2= b 2+ c 2 4- 2 b·c 2c o s A。因为 A= π 3, C D = a, 所以a 2= b 2+ c 2 4- b c 2。 在 △A B C 中, 由 余 弦 定 理 得, a 2 = b 2 + c 2- b c, 所 以 b 2 +c 2 4 -b c 2 =b 2 + c 2 -b c, 即 3 c 2= 2 b c, 所以b= 3 c 2。 因为b- c= 1 , 所以b= 3 , c= 2 。 所以 △A B C 的 面 积 S = 1 2b c s i n A = 3 3 2 。 评注: 本题第一问的求解, 首先利用正弦 定理将边化角, 然后利用三角公式化简 求 得 角 A 的大小; 第二问引入三角形的中线得出 “ 爪形” 三角形, 再在两个三角形中利用余弦 定理列方程, 然后解方程求得三角形的边, 最 后问题落在三角形的面积公式上。在本题的 求解过程中, 方程思想的味道很浓, 对运算求 解能力要求较高。 例 2 已知△A B C 的内角 A, B, C 所 对的边分别为a, b, c, 且 A 为 锐 角, s i n B- c o s C= c 2- a 2 2 a b 。 ( 1 ) 求 A; ( 2 ) 若b= 3 4 c, 且 B C 边上的高为2 3, 求△A B C 的面积。 解析: ( 1 ) 因 为 s i n B-c o s C= c 2- a 2 2 a b , 所以2 a b s i n B- 2 a b c o s C= c 2- a 2。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 全科互知
由余弦定理得2 a b s i n B+ c 2- a 2- b 2= c 2- a 2, 所以2 a s i n B= b。 由正弦定理得2 s i n A s i n B= s i n B, 因为 B 是 三 角 形 的 内 角, 所 以 s i n B ≠0 , 所 以 s i n A=1 2。又因为 A 为锐角, 所以 A=π 6。 ( 2 ) 由 ( 1 ) 及 余 弦 定 理 得 a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c c o s A=3 1 6 c 2+ c 2- 2 × 3 4 c· c· c o sπ 6= 7 1 6 c 2, 所以a= 7 4 c。 所以S△A B C =1 2 b c s i n A=1 2 a× 2 3, 即 1 2× 3 4c 2 × 1 2 = 1 2 × 7 4c×2 3, 解 得c= 4 7, 所以b= 3 4 c= 2 1。 所以 S△A B C = 1 2b c s i n A = 1 2 × 2 1× 4 7×1 2= 7 3。 评注: 本题第一问的求解, 首先利用正弦 定理将边化角, 然后利用三角公式化简 求 得 角 A 的大小; 第二问由三角形的面积公式列 相关方程。本题主要考查正 弦 定 理、 余 弦 定 理、 三角形的面积公式。三角 形 的 面 积 采 取 了二次计算, 通过不同的计算方法得出等式, 从而求解。这也是解此类问题的一种技巧。 二、函数视角下的解三角形 例 3 已知△A B C 的内角 A, B, C 所 对的边分别为a, b, c, 且a= b+ 2 b c o s C。 ( 1 ) 求证: C= 2 B; ( 2 ) 求 a+ c b 的取值范围。 解析: ( 1) 在 △A B C 中, 已 知 a=b+ 2 b c o s C, 由 正 弦 定 理 得 s i n A =s i n B + 2 s i n B c o s C。 又因为 A=π-( B+C) , 所 以 s i n A = s i n [ π -( B+C) ] = s i n ( B+C) = s i n B c o s C + c o s B s i n C。 所以s i n B c o s C+ c o s B s i n C= s i n B+ 2 s i n B c o s C, 即 c o s B s i n C-s i n B c o s C= s i n B, 即s i n ( C-B) = s i n B。 因为0 < s i n B=s i n( C-B) , 所 以 0 < C-B < C < π 。 因为 B+( C-B) = C < π , 所以 B=C- B, 所以C= 2 B。 ( 2 ) 由( 1 ) 得 C= 2 B, 所以 B+C= 3 B∈ ( 0 , π ) , 所以0 < B < π 3, 所以1 2 < c o s B < 1 。 由a= b+ 2 b c o s C, C= 2 B, 以及正弦定 理 可 得 a+ c b = b+ 2 b c o s C+ c b = s i n B+ 2 s i n B c o s C+ s i n C s i n B = s i n B+ 2 s i n B c o s C+ s i n 2 B s i n B = s i n B+ 2 s i n B c o s C+ 2 s i n B c o s B s i n B = 1 + 2 c o s C+ 2 c o s B= 1 + 2 c o s 2 B+ 2 c o s B= 1 + 2 ( 2 c o s 2 B-1 ) +2 c o s B=4 c o s 2 B+2 c o s B - 1 = 4c o s B+1 4 2 -5 4。 因 为 1 2 < c o s B < 1 ,所 以 1 < 4c o s B+1 4 2 -5 4 < 5 , 即1 < a+ c b < 5 。 故 a+ c b 的取值范围为( 1 , 5 ) 。 评注: 本题第一问的求解, 首先利用正弦 定理将边化角, 然后利用三角公式化简 求 得 C= 2 B; 第二问利用正弦定理将边化角, 然后 将问题转化为三角函数问题, 最后利用 二 次 函数求最值。整道试题函数 的 味 道 很 浓, 主 要体现函数与方程的思想。 例 4 已 知 在 △A B C 中, a, b, c 分 别 是内角A, B, C 所对的边, 且 c 2 b- a=c o s C c o s A。 ( 1 ) 求C; ( 2 ) 若a c o s B+ b c o s A= 2 , 且△A B C 为 锐角三角形, 求△A B C 面积的取值范围。 解析: ( 1 ) 已知 c 2 b- a=c o s C c o s A, 由正弦定 理 得 s i n C 2 s i n B- s i n A =c o s C c o s A, 所 以 s i n C · c o s A= 2 s i n B c o s C- s i n A c o s C, 即s i n ( A + C) = 2 s i n B c o s C, 所 以 s i n B=2 s i n B· c o s C。 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 全科互知
因为s i n B≠0 , 所以c o s C=1 2。 因为0 < C < π , 所以C=π 3。 ( 2 ) 设△A B C 的外接圆半径为R。 因为a c o s B +b c o s A =2 , 所 以 2 R · s i n A c o s B+ 2 R s i n B c o s A=2 , 即 2 R s i n C = 2 = c。 由正弦定理可得 b s i n B = a s i n A = 2 3 2 , 所 以a=4 3 3 s i n A, b=4 3 3 s i n B =4 3 3 · s i n2 π 3 -A 。 所 以 △AB C 的 面 积 S= 1 2a b s i n C = 4 3 3 s i n A s i n2 π 3 -A = 4 3 3 s i n A 3 2 c o s A+1 2 s i n A = 4 3 3 3 4 s i n 2 A-1 4 c o s 2 A+1 4 = 2 3 3 s i n2 A-π 6 + 3 3 。 因为△A B C 是锐角 三 角 形, 所 以 0 < A < π 2, 0 < 2 π 3 -A < π 2, 所以 π 6 < A < π 2, 所以 π 6 < 2 A- π 6 < 5 π 6 , 所以 1 2 < s i n2 A-π 6 ≤ 1 , 所以S∈ 2 3 3 , 3 ?? ?? ?? ?? 。 故 △A B C 面 积 的 取 值 范 围 是 2 3 3 , 3 ?? ?? ?? ?? 。 评注: 本题第一问的求解, 首先利用正弦 定理将边化角, 然后利用三角公式化简 求 得 角C; 第二问结合射影定理与正 弦 定 理 将 问 题转化为三角函数问题, 最后利用三角 函 数 的性质求得最值。 三、几何形态下的解三角形 例 5 在平 面 四 边 形 A B C D 中, 已 知 ∠A B C=π 3, ∠A D C=π 2, B C= 2 。 ( 1 ) 若 A B →· C B →= 3 , 求 A C; ( 2 ) 若 A D =2 3, ∠A C B = ∠A C D + π 3, 求t a n ∠A C D。 解析: ( 1 ) 因为A B →· C B →= | A B → | · | C B → | · c o s ∠A B C= | A B → | = 3 , 所以 A B= 3 。 在 △A B C 中, 由 余 弦 定 理, 得 A C 2 = A B 2+B C 2- 2 A B·B C· c o s ∠A B C= 7 , 所 以 A C= 7。 ( 2 ) 设∠A C D= α, 则∠A C B=∠A C D+ π 3= α+π 3。 在 R t △A C D 中, 因 为 A D =2 3, 所 以 A C= A D s i n α=2 3 s i n α。 在 △A B C 中, ∠B A C =π- ∠A C B - ∠A B C= π 3 - α, α∈ 0 , π 3 , 由 正 弦 定 理 得 B C s i n ∠B A C = A C s i n ∠A B C, 即 2 s i n π 3- α = 2 3 3 2 s i n α , 所 以 2 s i n π 3- α =s i n α, 所 以 2 3 2 c o s α- 1 2 s i n α = s i n α, 整 理 得 3 c o s α= 2 s i n α,所 以 t a n α = 3 2 ,即 t a n ∠A C D= 3 2 。 评注: 本题的求 解 需 要 对 几 何 图 形 进 行 分析, 寻找关联元素并建立相关元素的方程, 整个求解过程主要利用三角公式进行 化 简, 最后求得角的三角函数值。试题聚焦几何图 形, 建立并解关于角的方程, 几何形态下的方 程思想味道浓重。 解三角形解答 题 考 查 的 内 容 不 是 很 多, 也不复杂, 主要包括正余弦定理、 三角形的面 积公式、 和角与差角公式、 诱 导 公 式、 同 角 公 式与基本关系、 三角形有关角的函数值 等 内 容。试题主要考查分析问题 能 力、 解 决 问 题 能力、 运算推理能力, 以及转 化 与 化 归、 函 数 与方程等思想方法。 ( 责任编辑 王福华) 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 全科互知