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■山东省济南市莱芜第一中学 朱明贞 高考数学中选择题占比非常大, 是拉开 考生之间差异的一个重要环节。选择题中的 基础题部分, 在新高考卷中一般是第 1 题至 第6 题, 在 全 国 卷 中 一 般 是 第 1 题 至 第 1 0 题, 以考查基础知识与基本技巧为主, 难度一 般维持在易、 中等层面。想要 正 确 快 速 地 破 解选择题中的基础题, 我们需要掌握必 要 的 解题方法与技巧。 一、直接法 直接法是从选 择 题 的 题 设 条 件 入 手, 结 合相关的概念、 性质、 公式、 定 理 及 法 则 等 相 关知识加以逻辑推理或数学运算, 进而 作 出 相应的选择与判断。 例 1 “ 李白斗酒诗百篇, 长安市上酒 图1 家眠” , 本 诗 句 中 的 “ 斗” 的本义是指盛酒的器具, 后又 作 为 计 量 粮 食 的 工 具。某 数 学 兴 趣 小 组 利 用相 关 材 料 制 作 了 一 个 如图1所示的正 四 棱 台 来 模 拟“ 斗” , 用 它 研 究“ 斗” 的相关几何性质, 已知该四棱台的上、 下底的边长分别是2 、 4 , 高为1 , 则该四棱台 的表面积为( ) 。 A. 1 2 2 B . 3 2 C . 2 0 + 1 2 2 D. 2 0 + 1 2 3 分析: 根据题意可知, 四棱台的侧面都是 上底边长为2 , 下底边长为4的等腰梯形, 利 用直接法, 通过求出侧面的斜高, 然后利用梯 形的面积公式即可求出侧面积, 进而求 解 表 面积即可。 解: 根据题意可知, 该四棱台的侧面都是 上底边长为2 , 下底边长为4的等腰梯形, 所 以侧面的斜高为h _= 1 + 1= 2, 则侧面积 为( 2 + 4 ) × 2×1 2= 3 2, 上下底的面积分 别为2 × 2 = 4 , 4 × 4 = 1 6 , 所以该四棱台的表 面积为4+1 6+3 2×4=2 0+1 2 2。故 选 C 。 点评: 直接法是 解 答 选 择 题 中 最 常 用 的 一种技巧方法, 抓住题设条件, 结合相关的数 学知识加以展开, 直接利用定义、 公式、 定理、 性质等来确定相应正确的答案。 二、特值法 特值法是结合 题 设 场 景, 选 取 相 应 的 特 殊数值、 特殊图形、 特殊模型( 函数、 数列 等) 及特殊位置等替代普遍性的条件, 进而 得 出 相应的特殊结论, 以特殊代替一般, 合理检测 加以判断。 例 2 函数f( x) = a s i n x+ b c o s 2 x+ c s i n 4 x( a, b, c∈R) 的最小正周期不可能是 ( ) 。 A. π 2 B . π C . 3 π 2 D. 2 π 分析: 对 题 设 中 参 数a, b, c∈R 的 取 值 进行特殊化处理, 取其中两个同时为0 , 另一 个不为0 , 借 助 三 角 函 数 的 基 本 性 质 可 以 快 速确定对应三角函数的最小正周期。 解: 取特殊值a= b=0 , c≠0 , 此 时 函 数 f( x) = c s i n 4 x 的 最 小 正 周 期 T=2 π 4 = π 2; 取特殊值a= c=0 , b≠0 , 此时函数 f( x) = b c o s 2 x 的最小正周期T=2 π 4 =π ; 取特殊值 b= c= 0 , a≠0 , 此时函数f( x) = a s i n x 的最 小正周期 T= 2 π 1 = 2 π 。故选 C 。 点评: 特值法可以简化运算与优化推理, 在解决一些含有字母或具有一般性结论的选 择题中比较适用。具体应用特值法时要注意 特值的选取尽可能简单, 同时在选取特 值 的 3 知识篇 方法技巧助提高 高考数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知 

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? a= 3 , b= 4 , c=5 4, 满足 Δ≥ 0 , 而 m a x { a, b, c } = 4 , 1 2( a+ b+ c) =3 3 8, 由于4<3 3 8, 所以 选项 A 错误; 取特殊值a= c= 1 , b= 1 0 0 , 满 足Δ≥ 0 , 而 m a x { a, b, c } = 1 0 0 , 1 4( a+ b+ c) =5 1 2, 由 于 1 0 0>5 1 2, 所 以 选 项 C 错 误; 又 1 3( a+ b+ c ) = 3 4 , 由于1 0 0 > 3 4 , 所以选项 D 错误。故选 B 。 点评: 特殊 值 思 维, 排 除 法 验 证, 这 是 破 解单项选择 题 比 较 常 用 的 一 种 技 巧 与 策 略, 特别是对一些比较陌生、 复杂的问题, 往往可 以采用此思维方法进行尝试与应用。在运用 验证法解题时, 若能根据题意确定代入顺序, 则能提高解题速度。 选择题中 的 基 础 题 的 解 题 原 则 就 是“ 小 题小做” , 要从“ 快” “ 准” “ 狠” 等视角切入, 在 难度中等及 偏 下 的 场 景 中, 节 约 宝 贵 的 时 间 是根本目 的, 但 同 时 也 不 能 降 低 准 确 率。这 样在保证准 确 率 的 前 提 下, 合 理 有 效 提 高 解 题速度, 为后续的解题节省时间。 ( 责任编辑 王福华) ■ 江苏省姜堰中学 林春斌 选择题中的压轴题部分, 在新高考卷中 一般是第7题与第8题, 在全国卷中一般是 第1 1题与第 1 2 题, 以考查知识交汇与综合 应用为主, 难度一般维持在中等及较难 的 层 面。该部分是拉开考生之间成绩差异最明显 的一个重要场所, 除了正常掌握选择题 中 的 基础题相应的解题方法与技巧, 还有一 些 特 殊的技巧与方法, 对于正确解答选择题 中 的 压轴题有非常大的帮助。 一、估算法 估算法是契合“ 能根据要 求 对 数 据 进 行 估计, 并能进行近似计算” 的考试要求, 对于 解决大小比较、 关系判断、 最值确定等问题有 奇效, 经常通过放缩估算、 整 体 估 算、 近 似 估 算、 范围估算、 特值估算等不同的技巧方法来 分析与处理。 例 1 ( 2 0 2 3 届 湖 北 省 鄂 东 南 省 级 示 范教育教学改革联盟学校高三( 上) 期中数学 试题) 已知a= e - 2 , b= 1 - l n 2 , c= e e- e 2, 则( ) 。 A. c> b> a B . a> b> c C . a> c> b D. c> a> b 分析: 在确定基本量 e与l n 2 的数值的 基础上, 结合不等式的性质加以估算与判断, 进而得以判断三个代数式的大小关系。 解: 由于e = 2 . 7 1 8 …, l n 2 = 0 . 6 9 3 …, 故 a= e - 2≈0 . 7 1 8 , b= 1 - l n 2≈0 . 3 0 7 , 而c= e e- e 2>e 2· e-e 2=e 2( e-1 ) >2 2(2- 1 ) > 1 , 则有c> a> b。故选 D。 点评: 估值法是 解 决 比 较 大 小 问 题 的 一 个特殊方法, 经常通过中间值的巧妙介 入 加 以合理估算。在实际解决问 题 时, 经 常 用 估 算法来判断两个容易比较大小的问题, 再 综 合其他的判定方法加以解决。 二、极限法 极限法是巧妙借助极限思维来解决“ 动” 态问题时比较常用的一种技巧方法, 借 助 变 量的极端值, 动点的极端点或极端位置等, 以 极限思维来代替一般情景, 对于优化解 题 过 程起到很好的效果。 例 2 ( 2 0 2 3 届 八 省 八 校 高 三 第 一 次 学业质量评价( T 8联考) 数学试题) 已知椭圆 C: x 2 a 2+ y 2 b 2 = 1 ( a> b> 0 ) , 直线l 过坐标原点 并交椭圆于P, Q 两点( P 在第一象限) , A 是 x 轴正半轴上一点, 其横坐标是点 P 横坐标 5 知识篇 方法技巧助提高 高考数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知 

复合函数的单调性及其性质, 得以确定 相 关 代数式的大小关系问题。 解: 设 函 数 f ( x) =x -s i n x, x ∈ 0 , π 2 , 求 导 有 f _( x) =1-c o s x>0 恒 成 立, 即函数f( x) 在 0 , π 2 上单调递增, 所以 f( x) >f( 0 ) =0 , 故 x>s i n x。 因 为 3 α - 2 s i n β=9 β - α, 所 以 3 α +α=2 s i n β+9 β = 2 s i n β+3 2 β <2 β+3 2 β。 构 造 函 数 g( x) = 3 x+ x, 则知g( α) < g( 2 β) , 结合指数函数与 一次函数 的 基 本 性 质, 易 得 函 数 g( x) 在 R 上单调递增, 所以α< 2 β。故选 A。 点评: 解 决 一 些 选 择 题 时, 通 过 构 造 函 数、 方程、 几何图形等数学模 型, 但 是 要 注 意 使用构造法的前提是所构造的函数、 方程、 几 何图形等数学模型要合理, 不能超出原 题 的 限制条件。 五、化归与转化法 化归与转化法是解决选择题时最常用的 技巧方法, 通过题设条件的合理转化与化归, 正确构建关系, 进而通过逻辑推理或数 学 运 算等来分析与处理, 进而得以寻找正确选项。 例 5 ( 2 0 2 3 届 广 东 省 广 州 市 高 三 一 模数学试题) 已知双曲线 C: x 2- y 2= 4的左 焦点和右焦点分别为 F 1, F 2, 过 F 2 作垂直于 x 轴 的 直 线 交 双 曲 线 于 A, B 两 点, △A F 1 F 2, △B F 1 F 2, △F 1A B 的内切圆圆心 分别 为 O1, O2, O3, 则 △O1 O2 O3 的 面 积 是 ( ) 。 A. 6 2- 8 B . 6 2- 4 C . 8 - 4 2 D. 6 - 4 2 分析: 根据题意合理作出图形, 利用双曲线 中参数值的确定, 寻找相关点的坐标, 利用三个 不同圆的圆心的确定, 结合等面积法来化归与 转化, 进而确定对应圆的半径, 结合三角形的性 质来分析与处理, 确定对应的面积问题。 解: 如图1所示, 由双曲线C: x 2- y 2= 4 可 得 a=b=2 , c= a 2+ b 2 =2 2, 所 以 F 2( 2 2, 0 ) , | F 1 F 2 |=2 c=4 2, 而 过 F 2 垂 直于x 轴的直线 为x=2 2, 代 入 双 曲 线 C 图1 中, 解 得 A ( 2 2, 2) , B( 2 2, -2) 。 由 题 知, △A F 1 F 2 与△B F 1 F 2 的 内切 圆 的 半 径 相 等, 且 | A F 1 | = | B F 1 | , △A F 1 F 2 与△B F 1 F 2 的 内切圆圆心 O1, O2 的连线垂直于 x 轴于点 P, 设其半径为r。在 △A F 1 F 2 中, 由等面积 法得1 2( | A F 1 | + | A F 2 |+| F 1 F 2 | ) r= 1 2 · | F 1 F 2 | · | A F 2 | , 由双曲线 的 定 义 知| A F 1 | - | A F 2|=2 a=4 , 结 合| A F 2|=2 , 所 以 | A F 1 | =6 , 所 以 1 2 ( 6+2+4 2) r= 1 2 × 4 2× 2 , 解 得 r=2 2-2 。 因 为 F 1 F 2 为 △F 1A B 中∠A F 1 B 的角平分线, 所以 O3 一 定在 F 1 F 2 上, 即x 轴上。令圆 O3 的半径为 R, 在△F 1A B 中, 由等面积法得1 2( | A F 1 | + | B F 1 | + | A B | ) R= 1 2| F 1 F 2 |·| A B | 。又 | A F 1 |=| B F 1|= | F 1 F 2 | 2+ | A F 2 | 2 =6 , 所以1 2( 6 + 6 + 4 ) R=1 2× 4 2× 4 , 解得 R= 2, 所 以| P F 2|=r=2 2 -2 , | O 3 P |= | O 3 F 2 | - | P F 2 | =R- r= 2-( 2 2- 2 ) = 2 - 2。 所 以 △ O 1 O 2 O 3 的 面 积 S = 1 2 | O 1 O 2 | | O 3 P | =1 2× 2 r× | O 3 P | =( 2 2- 2 ) ( 2 - 2) = 6 2- 8 。故选 A。 点评: 化归与转 化 法 就 是 通 过 题 设 条 件 的不断转化与变形, 朝着结论的方向不 断 化 归, 结合相关的数学知识及思想方法, 借助逻 辑推理与数学运算等方式, 进而实现问 题 的 变形与应用。 选择题中的压轴题的解题原则就是合理 化归与转化, 寻找合适的切入点, 在难度中等 及以上的场景中, 提高准确率, 为合理拉开考 生之间的成绩差异奠定基础。对于高考选择 题中压轴题的解答, 经常是多种方法与 技 巧 综合应用, 全面考查同学们的数学能力 与 数 学核心素养。 ( 责任编辑 王福华) 7 知识篇 方法技巧助提高 高考数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知