全科互知 

印刷：广西壮族自治区地质印刷厂 发行：广西教育出版社有限公司 发行范围：国内外公开发行 订阅：广西教育出版社有限公司 《中小学课堂教学研究》编辑部 定价：15.00元 刊训 立足课堂，面向教学； 立足纸媒，面向多媒； 立足当代，面向未来； 立足全国，面向世界。 本刊声明： ·本刊倡导原创，拒绝抄袭、剽窃及 其他侵权行为，作者文责自负，本刊概不 承担任何连带责任。 ·本刊对采用稿件有文字上的删改 权，不同意删改者，请于来稿中声明。 ·凡本刊录用的稿件，如无特别声 明，即视为作者同意授权本刊对其作品行 使网络传播、汇编出版等再使用的权利； 本刊按规定向作者支付的稿酬已包括上述 各项权利的报酬。 ·为适应我国信息化建设，扩大本刊 及作者知识信息交流渠道，本刊已被 《中 国基础教育期刊文献总库》及CNKI系列数 据库收录，其作者文章著作权使用费与本 刊稿酬一次性给付。免费提供作者文章评 价统计分析资料。如作者不同意文章被收 录，请在来稿时向本刊声明，本刊将做适 当处理。 ·来稿不退，三个月未收到录用通知 者可自行处理，本刊不再另行通知。 本刊微信公众号：搜索微信号“zxxktjxyj” 或“中小学课堂教学研究” ，或扫一扫微信 二维码： 47 运用“PDRT”模式拓展小学英语深度阅读的实践 研究 ——以故事Everybody is special教学为例 丁海英 52 化学课堂中指向科学推理能力培养的问题链设计 策略 张克龙 备考研究 57 高考数学情境化试题分析与教学启示 ——以2022—2023年全国高考数学试题为例 王智宇，张维忠 复习研究 61 大概念视域下初中数学复习课的设计策略 ——以“二次函数的图象和性质”为例 周 炼 66 基于大概念的初中历史单元教学探究 ——以“第一次世界大战和战后初期的世界” 单元复习课为例 牙雅楠 教学评价 71 合作学习素养及其评价实施探索 谢俊杰 作业分析 76 小学语文高学段阅读作业能力层级分析 ——以六年级《语文作业本》为例 胡 啸，俞向军 课堂内外 82 中学思政课教育研究年度透视与前瞻 ——基于2022年《中学政治及其他各科教与学》 转载情况的分析 孙 杰 全科互知 

2023年第9期 总第86期 术》是从配分比例的视角来解决问题。考虑从1开 始的正整数列 1，2，3，4，5，该数列前 3 项之和 为6，后2项之和为9，不满足所求数列所要求的条 件——前 3 项之和与后 2 项之和相等。在每项上加 一个数 p，得到数列 1+p，2+p，3+p，4+p，5+p， 使得 （ 1+p ） + （ 2+p ） + （ 3+p ） = （ 4+p ） + （ 5+p ） ，即 p= 9 - 6 3 - 2 =3，于是得到一个满足条件“前3项之和与后 2 项之和相等”的数列 4，5，6，7，8。这就是 说，所求数列各项之比为 4∶5∶6∶7∶8，因其各 项 之 和 为 5， 故 得 各 项 依 次 为 4 30 × 5， 5 30 × 5， 6 30 ×5， 7 30 ×5， 8 30 ×5。 问题 2 今有竹九节，下三节容四升，上四节 容三升。问：中间二节欲均容，各几何？ 问题2用今天的符号语言来表达就是：在等差 数列 a1，a2，…，a9 （ ai＞0，i=1，2，3，…，9 ） 中，已知 a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，求 ai。 《九章 算 术 》 的 解 法 是 先 求 出 公 差 d= a7 + a8 + a9 3 - a1 + a2 + a3 + a4 4 9 - ? è ? ? 3 2 + 4 2 = 7 66 （ 1 ） ，再由 a7+a8+ a9=4，求得a8= 4 3 ，于是可得其余各项。 （ 二 ） 任务设计 围绕 《九章算术》 中的上述两个等差数列问 题，教师可以编写阅读材料“《九章算术》中的等 差数列问题” ，然后设计系列任务，让学生深入思 考并加以解决。 任务 1 试用现代方法解 《九章算术》 中的两 个等差数列问题。 设公差为d，学生可能会分别建立方程组 ì í ? ? ? ? ? 3a1 + 3d = 5 2 2a1 + 7d = 5 2 （ 2 ） 和 ì í ? 4a1 + 6d = 3 3a1 + 21d = 4 （ 3 ） 来求解。 任务2 请用问题2的解法来解问题1，用问题 1的解法来解问题2。 刘徽在注文中给出了问题1的另一种解法：因 a1 + a2 + a3=a4 + a5= 5 2 ， 故 得 公 差 d= a4 + a5 2 - a1 + a2 + a3 3 5 - ? è ? ? 2 2 + 3 2 = 1 6 ，再由 a2= 5 6 ，即可依次求 得其余各项。 在没有代数符号的情况下，用配分比例法来解 问题2并非易事，因此，刘徽在注文中并未给出这 种解法。考虑正整数列 1，2，3，…，9 前四项之 和为10，后三项之和为24，两者之比并不等于3∶4。 于是，构造新的数列1+p，2+p，3+p，…，9+p，使 得 ( ) 1 + p + ( ) 2 + p + ( ) 3 + p + ( ) 4 + p ( ) 7 + p + ( ) 8 + p + ( ) 9 + p = 3 4 ，解得p= 32 7 。 于是得到满足前 4 项之和与后 3 项之和的比为 3∶4 的新数列 39 7 ， 46 7 ， 53 7 ，…， 95 7 ，这就是说，所 求数列各项之比为 39∶46∶53∶60∶67∶74∶81 ∶ 88∶95。由于所求数列的前4项之和等于3，故得a1= 39 39 + 46 + 53 + 60 ×3= 39 66 ，a2= 46 39 + 46 + 53 + 60 ×3= 46 66 ，从中求得公差，依次可求出其余各项。 任务 3 在问题 2 的解法中，古人是如何得出 公差的算法 （ 1 ） 的？ 今天的推导方法是：在方程组 （ 3 ） 中消去 a1，即得公差 d。虽然汉代数学家也能解出方程组 （ 3 ） ，但他们完全不是以这种方式来思考问题的。 实际上，刘徽在注文中解释说： “此上、下节各分 所容为率者，各其平率。上下以少减多者，余为中 间 五 节 半 之 凡 差 ， 故 以 为 实 也 。 ” 这 就 是 说 ， a7 + a8 + a9 3 是下三节的平均容积， a1 + a2 + a3 + a4 4 是 上四节的平均容积，两者之差是中间五节半的总 差。其中的 5 节半由 9 节中分别减去梢部 2 节和根 部 3 2 节得到的，如图1所示，故得等式 （ 1 ） 。 图1 “竹节均容” 问题 2 全科互知 

2023年第9期 总第86期 除、刍甍、刍童等多种立体图形的体积计算方法， 这些方法都是正确的。在这些立体图形中，最基本 的图形是鳖臑。刘徽在注文中指出： “不有鳖臑， 无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功 实之主也。 ” ［ 4 ］ 将长方体沿对角面分割，得到两个同样的堑堵 （如图3 ） ；将堑堵沿对角面分割，得到一个阳马和 一个鳖臑 （ 如图4 ） ；将阳马沿过垂直于底面的棱的 对角面分割，得到两个鳖臑，古人因此也将鳖臑称 为“半阳马” （ 如图5 ） 。 图3 一个长方体由两个堑堵组成 图4 一个堑堵由一个阳马和一个鳖臑组成 图5 一个阳马可以分割成两个鳖臑 关于阳马和鳖臑，刘徽有以下结论： （ 1 ） 阳马 与鳖臑的体积之比为 2∶1，今称“刘徽原理” ； （ 2 ） 长方体体积是阳马体积的3倍； （ 3 ） 长方体体 积是鳖臑体积的6倍。 利用长方体、堑堵、阳马和鳖臑的体积公式， 可以推导方亭、方锥、羨除、刍甍、刍童等立体图 形的体积，例如：一个方亭 （今称正四棱台） 可以 分割成一个长方体、四个堑堵和四个阳马 （如图 6 ） ，分别计算其体积，即可推导出正四棱台体积 公式。 图6 正四棱台的构成 （ 二 ） 任务设计 围绕阳马和鳖臑这两种基本立体图形，教师可 以编写阅读材料“中国古代立体几何中的阳马与鳖 臑” ，然后设计系列任务，让学生深入思考并加以 解决。 任务1 请给鳖臑下一个定义。 可以用以下两种方式来定义鳖臑。 定义 1：鳖臑是底面为直角三角形、有一条棱 过底面非直角顶点且垂直于底面的三棱锥。 定义2：鳖臑是各面均为直角三角形的四面体。 教师还可以让学生论证两种定义的等价性。 任务 2 如图 7，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1， 试分别将其分割成三个阳马和六个鳖臑。 图7 寻找长方体中的阳马和鳖臑 任务 3 有人构造了一个反例，说明“各面均 为直角三角形的四面体不一定是鳖臑” ：如图 8 所 示，在三棱锥 S-ABC 的底面和各侧面中，∠ABC= ∠SAB=∠SCB=∠ASC=90°。请问这样的三棱锥存在吗？ 图8 鳖臑定义的一个 “反例” 事实上，这样的三棱锥并不存在，因为异面直 线SA和BC之间不可能同时存在两条不同的公垂线 AB和SC。 任务 4 利用祖暅公理证明在同一个堑堵中， 4 全科互知 

2023年第9期 总第86期 推理素养，又可以从古人的角度来思考论证方法， 实现跨越时空的思想交流。 （ 四 ） 古法今用，留发现之白 古法今用指将中算史上的数学方法用于新情 境、新问题，以新知创获为目的，设置古法今用的 任务，即为学生留发现之白。人们比较熟悉的例子 是利用赵爽弦图来发现均值不等式，类似地，利用 刘徽的勾股容方图也可以发现均值不等式 ［ 5 ］ ，利用 出入相补原理可以发现两角和与差的正弦公式 ［ 6 ］， 等等。古法今用的留白策略，颇有点“无心插柳” 的意味。刘徽仅利用“凡差术”来求等差数列的公 差，并未试图将其用于前n项和公式的推导。事实 上，等差数列前n项和公式见于盈不足章“二马相 逢”问题的解法，用今日的代数符号来表达就是 Sn=n é ? ù ? a1 ± 1 2(n - 1)d （ d＞0 ） ，南宋数学家杨辉通过 构造“良马图”和“驽马图” ［ 7 ］，从几何的角度对 公式加以推导。然而，与几何方法截然不同的是， 利用“凡差术”也能发现求和公式 （“等差数列问 题”任务6 ） ，在这一全新的方法中，求和公式并非 建立在通项公式的基础之上，两者是平行的。可 见，站在古人的肩膀上，今人确实能做出创新。 （ 五 ） 古问今编，留问题之白 古问今编指从中算史上的数学问题出发编制新 的数学问题。一方面，中算史料为教师留下问题之 白：从中算史料出发，运用不同的问题编制策 略 ［ 8 ］ ，教师可以设计丰富多彩的数学问题，如利用 “条件式”策略，改变具体的条件或将条件一般化 来编制问题 （“等差数列问题”任务4和5 ） ；运用 “自由式”策略来编制问题 （“阳马和鳖臑问题” 任务 3、5 和 6 ） 。另一方面，教师设置古问今编的 任务，也为学生留了问题之白，如“等差数列问 题”任务7和“阳马和鳖臑问题”任务7。 除了有助于提升学生的问题提出能力，古问今 编还可以让学生跨越时空与古人对话，思考古人能 否和如何解决新题，拓展古人的解法和思路。例 如，在刘徽的“七人分七钱”问题中，已知前5人 和后2人所得钱数相等，则由数列1，2，3，…，7 构造满足条件的新数列 1+p，2+p，3+p，…，7+p 时，p=- 2 3 ，拓展了“五人分钱”问题中 p 取正数 的情形。 （ 六 ） 古算今思，留超越之白 古算今思指从中算史上有关数学问题的解法中 获取思想的启迪，设置古算今思的任务，即为学生 留超越之白。 “等差数列问题”任务8与“阳马和鳖 臑问题”任务8都属于这类留白形式。 “五人分钱” 问题的解法揭示了中国传统数学的构造性特征：首 先构造一个满足已知条件的数列，然后用配分比例来 解决问题。阳马和鳖臑问题则揭示了中国传统数学 的转化思想——化繁为简，把多面体转化为最基本 的立体“鳖臑”和“阳马” 。此外，中国传统数学 问题和术语都揭示了数学与现实生活的密切联系； 刘徽的注解则揭示了中算家的理性精神，并有力地 证明“中国古代数学没有演绎推理和证明”这样的 观点是完全错误的。 五、结语 中华优秀传统数学文化博大精深，本文所举， 不过沧海一粟；所呈现的任务设计，并不局限于一 两节课，也不局限于新授课或复习课。有了古名今 辩、古题今解、古术今推、古法今用、古问今编和 古算今思这六种策略，中算史进课程、进课堂，将 不再是理想的空谈，而是有法可依、易于落地的教 育工程。在留白创造式教学中，作为教学目标的中 算史，可以展示中华优秀传统文化之魅、达成数学 学科德育之效；而作为教学工具的中算史，则有助 于培养学生的核心素养和创新能力。另一方面，倘 若带着教育的眼光来研读中算文献，我们会深切地 感受到在那些冰冷、尘封的文字背后，竟蕴藏着勃 勃生机。留白创造式教学这一符合时代需求的教学 方式，将让中华优秀传统数学文化大放光彩。 参考文献： ［ 1 ］ 汪晓勤. 数学史上的留白与创新 ［ J ］ . 中学数学月 刊，2023 （ 4 ） ：1-4. ［ 2 ］ 汪晓勤，邹佳晨，王华. 数学史与留白创造式教学［ J ］. 数学通报，2023 （ 3 ） ：1-6. ［ 3 ］ 王华，汪晓勤. 中小学数学“留白创造式”教学： 理论、实践与案例 ［ M ］ . 上海：华东师范大学出版社，2023. ［ 4 ］ 郭书春. 汇校九章算术 ［ M ］ . 沈阳：辽宁教育出版 社，2004. ［ 5 ］ 汪晓勤. 从“勾股容方”到均值不等式 ［ J ］ . 数学通 报，2015 （ 2 ） ：7-9. ［ 6 ］ 汪晓勤，邵铭宇. 三角公式的若干几何模型 ［ J ］ . 数 学通报，2017 （ 6 ） ：1-5，49. ［ 7 ］ 汪晓勤，陈君煜. HPM 视角下数列教学中的直观想象 素养初探 ［ J ］ . 中小学数学 （ 高中版 ） ，2019 （ 4 ） ：57-60. ［ 8 ］ 汪晓勤. 基于数学史料的高中数学问题编制策略 ［ J ］ . 数学通报，2020 （ 5 ） ：9-15. （ 责任编辑：陆顺演 ） 6 全科互知 

2023年第9期 总第86期 STEAM 教育起源于国家需求，最先是美国为 提升国家竞争力提出来的，企图通过打破学科壁 垒，有机整合科学、技术、工程、数学、艺术等学 科，提升学生的学科素养和跨学科思维能力。 STEAM 的核心是跨学科整合，通过创设真实的问 题情境，引导学生在问题解决的过程中主动建构对 多学科知识的综合理解而非割裂的认知。虽然 STEAM 教育近年来逐渐在我国推广，但教师在一 线教学中存在很多困惑： （ 1 ） 缺乏着力点，导致教 学停留在理念层面。我国目前分科培养的教育体系 导致学科间的相互渗透和结合不够，具有跨学科背 景的专业师资力量也尤为匮乏。STEAM 课程由谁 开和如何开是亟待解决的问题，STEAM 教育找不 到合适的着力点，缺乏明晰的培养路径。 （ 2 ） 重知 识探究，轻动手实现，导致成果模式化，缺乏创 新。部分中小学在校本课程中开展 STEAM 教育， 鼓励学生基于探究提出方案，制作海报分享交流， 但问题的解决过程和成果呈现模板化，缺乏创意和 对可行性的验证。 创客教育是社会驱动的结果，传统 DIY 运动、 3D 打印、激光切割、开源软硬件、互联网社区等 新技术的发展，催生了创客活动和创客教育。伴随 着“大众创新，万众创业”的口号，创客教育在我 国中小学的普及甚至比 STEAM 教育更早。创客教 育的关键词为“造物” ，秉承“做中学”的理念， 融入创造情境，鼓励动手操作，鼓励创新，强调学 习成果实物化、可视化。近十年，创客教育看似发 展繁荣却又问题凸显： （ 1 ） 被技术“牵着”鼻子 走，缺乏对科学原理的关注。部分创客课程局限于 具体产品的教学，只教软硬件的使用，奔着某一比 赛的单一目标前进，换一个比赛换一批设备，换一 批设备换一批课程，对科学概念与原理关注不足， 导致学生知其然不知其所以然，迁移能力弱。 （ 2 ） 缺乏教学策略方法的指引，空心化、泡沫化、形式 化问题严重。学生看似参与度高，实则模仿跟做、 无效试错，缺乏对问题的分析和对解决过程的深入 探究，导致学生流于表面动手，缺乏深度理解，产 出的作品粗糙。 （二） 创客教育与 STEAM 教育的融合优势及 必要 虽然创客教育和 STEAM 教育在一线教学实践 中常表现出你中有我、我中有你的特征，但从表1 中可以看出，两者各有侧重。如果能将创客教育与 STEAM 教育有机整合在一起，实现创客与 STEAM 融合教学，那么两者可以实现优势互补，在一定程 度上解决各自面临的困境：一方面，STEAM 教育 的跨学科理念和基于项目学习的典型教学方法，有 利于改善创客教育缺乏系统学科知识体系支撑和缺 乏科学培养模式可借鉴的现状；另一方面，创客教 育立足于技术环境与“做中学”理论，在“造物” 过程中深度综合应用不同学科知识，实现创造性思 维与创新实践能力的培养，是实施 STEAM 教育的 一种有效方式。 ［ 2 ］ 实际上，创客教育和 STEAM 教育的整合是存 在一定必然性的，符合人才培养的内在发展需求。 目前有关创客教育与 STEAM 教育融合的课程建构 研究、教学实施研究也取得了一定进展。Bevan 提 出了创客与 STEAM 整合路径，基于科学实践与数 学概念开展工程实践，在过程中将技术工具与计算 实践结合起来。 ［ 3 ］ Kim 等提出了“基于创客的 STEAM 教育”这一概念，并构建了发现问题、设 计工件、开发原型、共享造物、深化反思的五步教 学法。 ［ 4 ］在教学层面推进创客教育与STEAM教育的 整合协调发展，关键之一在于提供一套与之匹配的 教学设计策略，并在实践中不断迭代优化。本研究 即从构建实施模型出发，旨在实现核心素养导向下 创客教育与STEAM教育的融合。 三、基于逆向设计理论的创客与STEAM融合 （ 一 ） 逆向设计理论 逆向设计 （ Backward Design） 是美国课程与教 学领域的专家Grant Wiggins和Jay Mctighe在1998年 提出的一种教学设计模式，意指将课程的终点 （学 习目标） 作为课程设计的起点。 ［ 5 ］逆向设计包含三 个阶段： 阶段一，明确预期的结果。在这个阶段，教师 需要对照课程标准、核心素养，确定学习目标。通 常情况下有较多的内容需要抉择，因此可以通过以 下筛选明晰哪些内容是值得学习的： （ 1 ） 概念、主 题或过程在多大程度上属于大概念并在课堂之外具 有持久的价值； （ 2 ） 概念、主题或过程在多大程度 上属于学科核心概念； （ 3 ） 概念、主题或过程在多 大程度上没有被教学覆盖； （ 4 ） 概念、主题或过程 在多大程度上能够吸引学生。 8 全科互知