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本期邀请以总分6 9 4考入清华大学的张林强同学分享自己在高中学习、 生活的经验, 张林 强的数学老师是《 中学生数理化》 的核心作者高尤琼老师。高老师对张林强同学有着怎样的评 价呢? 希望张林强同学的学习经验分享和高老师的点评能对同学们的学习有所帮助。 合理规划，赢得高考 ■清华大学 张林强( 毕业于河南省罗山高级中学) ( 高考成绩: 语文1 2 9分, 数学1 3 6分, 英语1 4 0分, 理综2 8 9分, 共计6 9 4分) 高中的学习生活充满着困难与挑战, 有 时候我们或许会感到失望、 伤心甚至迷茫, 但 在高中日复一日的学习中, 我们总在仰 望 星 空, 期盼着赢得高考上岸后 的 硕 果 累 累。在 通往高考的路上, 我们需要一些合理规划, 在 此分享一下我高中的学习心得, 希望对 大 家 有所帮助。 一、课前预习,课堂听讲,课后复习 在高中, 上课是学生学习知识的最主要方 式, 课堂是高中学习的主阵地, 抓住了课堂才 能追求高分。但不是上课认真听讲就够了, 课 前预习和课后复习同样重要。课前预习需要 我们熟悉课本, 了解老师下一节课要讲什么, 并提出一些问题等上课时解决。但很多同学 往往忽视了这一环节, 在学习新知识时遇到大 量新概念新定义时就有可能吃不消了, 所以课 前预习要重视。课后复习则是介于课上与写 作业之间的重要环节, 复习可以巩固课上的内 容, 从而更高效率地完成作业与自我检测。我 一般会在前一天预习新知识, 首先我会阅读目 录, 了解下一节课要讲什么, 再去看新的基本 概念, 不懂的地方标记出来, 等到课堂上解决。 课堂上我会做一些笔记, 并积极与老师互动。 课后我会先复习新学的内容, 再去写作业, 遇 到不清楚的知识点再看 书。做 到“ 上 课 三 部 曲” , 学习才更有效率。 二、认真完成作业,认真对待考试 前面已经说过, 课 后 复 习 之 后 就 要 完 成 作业, 同 样, 对 待 作 业 也 需 要 一 个 认 真 的 态 度。作业是课堂学习的及时 检 测, 通 过 完 成 作业我们才能发现自己知识上存在的漏洞和 技巧上的缺陷, 即“ 查漏补缺 _ 。我做作 业 会 尽量独立思考, 用自己能想到的办法去尝试, 有时一道数学题我可能会做半个小时。实在 做不出来时才会去问同学或老师, 做了 的 题 我一般不会和其他同学对答案, 亲眼看 到 自 己的错印象才会更加深刻。最后, 牢记“ 今日 事, 今日 毕” , 当 天 的 作 业 当 天 完 成, 不 要 拖 延, 否则越积越多, 最后只能有心无力。 同样, 对待考试最重要的是态度, 平时考试 都是为高考做准备, 只有通过考试了解自己的 水平, 才能制定适合自己的目标, 找到自己进步 的方向。我考试时会努力忘掉分数, 眼前只有 题目。考试成绩出来后, 对于分数我不太在意, 我最看重的是我的扣分点, 我会把这些整理成 注意事项记在错题本上, 争取下一次考试不再 犯此类错误。最后, 牢记“ 平时考试高考化, 高 考考试平时化” , 在高考中才能调整好自己的心 态, 考出自己的理想成绩。 三、关于数学和理综的学习心得 首先说数学, 上课时老师讲的都能听懂, 写作业时总迷惑这与老师讲的有什么 关 系。 实际上, 数学基本概念很简 单, 很 容 易 理 解。 在我看来, 最重要的是解题方法与数学思维, 这时我会准备一个错题本, 记录易错的 题 目 和解题思路新颖的好题。记 录 一 道 题, 学 习 的是一类题的解题方法。当 然, 数 学 的 内 容 博大精深, 适当的刷题也是很有必要的, 我在 高中时会跟随老师讲的进度自己挑选 试 题, 正是因为见到了许多类型的题目, 我才 逐 步 形成了有效的数学思维。数学最注重的就是 训练, 我的数学老师经常给我们安排一 些 限 时训练, 称之为“ 短平快” , 题目选的都是易错 和解题方法很精妙的题, 这些训练很大 程 度 上提高了我的数学思维能 力。除 此 之 外, 老 师还专门印一些拓展学案, 也让我学到 了 基 础知识的灵活运用, 在高考前几个月, 我和几 3 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 4年1月 全科互知
位同学每天中午去高老师办公室做一道选填 压轴题, 做完看名师的讲解。这 些 题 目 出 自 最新的模拟题, 这不仅节约了很多时间, 而且 对高考方向有一定的猜测。此 外, 我 们 还 可 以尝试一题多解, 也许很多意想不到的 方 法 会浮出水面。对于一些压轴 题, 可 以 尝 试 以 更高层次的数学观点来看待, 我在高中 数 学 课本学完后, 就找了一本微积分教材来钻研, 从中学到了很多方便的解题方法, 对压 轴 题 我也有了很多思路。也正是这些高层次观点 让我在清华大学“ 自强计划” 初试中因为数学 成绩良好而进入复试。当然, 这 些 高 层 次 观 点可以用来做选择、 填空题, 解答题尽量不要 用。最后高考冲刺阶段, 多做 一 些 各 地 出 的 最新模拟题, 这些可能有高考出题的方向, 想 要考高分的同学就要多关注一下压轴题了。 再说说理综, 合理分配时间非常重要, 我分 配的时间是物理6 0分钟、 化学5 0分钟、 生物4 0 分钟, 这些时间是大致分配, 考试时最好不要分 科做, 否则极有可能出现一科做得非常好, 但另 外两科失误多的情况。做理综切记不要磨难 题, 否则后面的简单题没时间做, 得不偿失。就 算是压轴题, 比如物理第2 5题, 至少第一问很 简单, 这个分一定要拿到, 遇到一分钟内没思路 的题直接跳过, 不要犹豫, 考试不是试卷写得越 满分越高, 把自己会写的题做对, 也能取得不错 的成绩。我做理综试题的顺序一般先是选择 题, 再是选做题, 最后从前往后做。物理我也会 有一个错题本积累一些模型, 化学我有一个笔 记本积累一些常用操作目的要领等, 生物我天 天啃课本, 把课本烂熟于心。 四、调整心态,相信自己 高中阶段, 我们不可避免地会遇到一些挫 折和困难, 我也不例外。高一的时候我成绩并 不是特别优秀, 基本上没考过第一, 当时我就 一度怀疑自己能不能实现考上清华大学的愿 望。后来又经 过 几 次 考 试, 面 对 不 理 想 的 成 绩, 我突然发现总怀疑自己好像没什么用, 慢 慢地放下了逼迫自己考第一的想法, 之后每次 考试我都告诉自己尽力就好, 保持自己的学习 节奏, 成绩也慢慢地有了一些进步。在高二一 年我都保持在年级前三名的位置, 但到了高三 全面复习的时候, 很多同学也追赶上来, 我的 成绩起伏也变得非常大, 最差的一次排在了第 1 2名。我又陷入了自我怀疑之中, 经常被各科 老师和班主任喊去谈话。这时我也尝试了很 多办法摆脱浮躁的心态, 对我而言最有用的是 转移注意力, 确切来说, 就是那本微积分教材, 每次考试没考好时, 看半小时, 我感觉浑身轻 松, 就这样我度过了那段最艰难的阶段。 通过这些经历, 我想说的是调整心态在学 习过程中真的很重要。不管是学习还是考试, 我们都要相信自己, 在最后几次大考中, 我只 考了一次第一名, 但我仍然相信自己能考上清 华大学, 即使是在高考第一天数学没考好的情 况下, 第二天我仍自信用剩下两科弥补数学的 失误。所以, 在高考结束之前, 一切还未成定 局, 我们要相信自己, 还有机会。我们常在雨 中赶路, 难免被雨水迷住眼睛, 有许多次几乎 看不见前方。终有一日抵达了山巅, 自顶峰望 去, 云在 脚 下, 耳 畔 唯 有 清 风 袅 袅, 真 正 的 高 山, 真正的空明澄澈之心。 以上是我高中 三 年 的 学 习 心 得, 希 望 能 对学弟学妹们有所帮助。俱 往 矣, 数 风 流 人 物, 还看今朝, 祝愿学弟学妹们在高考中金榜 题名, 折桂蟾宫, 考上自己的理想大学。 名师点评: ( 数学老师兼年级主任高尤琼 老师) 张林强同学是我县2 0 2 3年高考理科第一 名, 被清华大学数理实验班录取, 也是我的数学 课代表, 朝夕相处了三年, 教学相长了三年。该 生有以下几个优点, 值得同学们学习。 一是几乎没有精神内耗。他的生活非常简 单, 性格十分豁达洒脱, 不会因为小事郁结于 心, 不会因为受挫而踌躇不前。不拘小节, 不在 生活琐事和人际关系上浪费时间, 消耗精力。 二是听从并接受老师对他的建议。他会 按照老师的要求去落实学习环节, 比如 答 题 卡要零涂 改, 书 写 要 认 真 规 范, 考 后 要 写 反 思, 错题要整理成册, 他都付 诸 实 施, 不 会 因 为成绩好而自以为是。 他志向远 大, 梦 想 成 为 芯 片 专 家! 孺 子 可教! 希望他早日成为祖国 栋 梁! 也 祝 《 中 学生数理化》 杂志越办越好! ( 责任编辑 徐利杰) 4 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 4年1月 全科互知
2 0 2 3年高考之导数考点解读 ■许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 导数是研究函数的有力工具, 导数与函 数、 不等式、 向量、 解析几何、 数列等知识的交 汇是高考命题的热点和难点, 主要考查 导 数 的工具性, 同学们的综合解题能力、 数学的应 用意识及数学素养。 从高考命题形 式 及 内 容 来 看: 选 填 题 主 要考查导数概念、 运算、 性质 与 几 何 意 义 等; 解答题主要是以函数为载体, 利用导数 研 究 函数的单调性、 极值、 最值, 利 用 导 数 证 明 不 等式或探讨方程的根, 利用导数求解参 数 的 值或取值范围等。从高考命 题 难 度 来 看: 导 数高考试题一般采取分层设问和螺旋式上升 的方式, 即先以较易的问题考查同学们 对 基 础知识的掌握情况, 再逐步增加难度, 以逐步 提高同学们的解题能力和思维水平。总体而 言, 导数高考命题具有较高的难度和综合性, 需要大家具备扎实的基础知识和较强的解题 能力。 下面我们结合2 0 2 3年高考真题, 对导数 高考考点进行解读。 考点一 对导数的几何意义的考查 例 1 【 2 0 2 3年全国甲卷文科第8题】 曲线y= e x x+ 1在 点 1 , e 2 处 的 切 线 方 程 为 ( ) 。 A. y=e 4 x B . y=e 2 x C . y=e 4 x+e 4 D. y=e 2 x+ 3 e 4 命题意图: 本题 考 查 导 数 计 算 及 导 数 的 几何意义等知识, 考查数学运算的核心素养。 解题思路: 先求函数的导函数, 代入切点 的横坐标可得切点处的导数值, 即切点 处 的 切线斜率, 由直线方程的点斜式可得所 求 切 线的方程。 解 析:因 为 y = e x x + 1 ,所 以 y _ = e x( x + 1 ) - e x ( x + 1 ) 2 = x e x ( x + 1 ) 2, k= y _ | x=1=e 4。 曲线y= e x x+ 1 在点 1 , e 2 处的切线方程 为y-e 2=e 4( x- 1 ) , 即y=e 4 x+e 4。选C 。 考点解读: 应用 导 数 的 几 何 意 义 解 题 时 应注意: 1 . 求曲线的切线方程时要注意“ 过点 P 的切线” 与“ 在 点 P 处 的 切 线” 的 差 异, 过 点 P 的切线, 点 P 不一定是切点, 点 P 也不 一定在已知 曲 线 上, 而 在 点 P 处 的 切 线, 必 以点 P 为切点; 2 . 函数在某点处的导数值就 是对应曲线在该点处切线的斜率, 切点 既 在 原函数的图像上也在切线上。 考点二 利用导数研究函数的单调性 例 2 【 2 0 2 3 年 全 国 乙 卷 理 科 第 1 6 题】 设a∈ ( 0 , 1 ) , 若 函 数 f( x) = a x + ( 1+ a) x 在( 0 , + ∞) 上 单 调 递 增, 则a 的 取 值 范 围是 。 命题意图: 本题 是 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数的单调性, 考查逻辑推理及数学运算 的 核 心素养。 解 题 思 路: 原 问 题 等 价 于 f _( x) = a x l n a+( 1 + a) x l n ( 1+ a) ≥0 恒成立, 据此 将所得不等式进行恒等变形, 可得 1 + a a x ≥ - l n a l n ( 1 + a) 。由函数的单调性构建实数a 的 不等式, 解不等式得实数a 的取值范围。 解析: 由 函 数 的 解 析 式 可 得 f _( x) = a x l n a+ ( 1+a) x l n( 1+a) ≥0 在 区 间 ( 0 , +∞) 上 恒 成 立, 则 ( 1+a) x l n( 1+a) ≥ - a x l n a, 即 1 + a a x ≥ - l n a l n ( 1 + a) 在 区 间 ( 0 , +∞) 上恒成立。 故 1 + a a 0 = 1 ≥- l n a l n ( 1 + a) 。 而a+ 1 ∈( 1 , 2 ) , 故l n ( 1 + a) > 0 , 则: l n ( a+ 1 ) ≥- l n a, 0 < a < 1 , 即 a( a+ 1 ) ≥ 1 , 0 < a < 1 。 解得 5- 1 2 ≤ a < 1 , 故 实 数a 的 取 值 范 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 4年1月 全科互知
围是 5- 1 2 , 1 ?? ?? ?? ?? 。 考点解读: 已知函数的单调性, 求参数的 取值范围, 利用条件 f _( x) ≥0 ( 或 f _( x) ≤ 0 ) , x∈( a, b) 恒 成 立, 解 出 参 数 的 取 值 范 围 ( 一般可用不等式恒成立的理论求解) , 应注 意参数的取值是f _ ( x) 不恒等于0的参数的 范围。 例 3 【 2 0 2 3 年 全 国 乙 卷 文 科 第 2 0 题】 已知函数f( x) = 1 x + a l n ( 1 + x) 。 ( 1 ) 当a=- 1时, 求曲线y= f( x) 在点 ( 1 , f( 1 ) ) 处的切线方程; ( 2 ) 若 函 数 f( x) 在 ( 0 , + ∞) 上 单 调 递 增, 求实数a 的取值范围。 命题意图: 本题考查导数的几何意义、 利 用导数研究函数的单调性等知识, 还考 查 逻 辑推理及数学运算的核心素养。 解题思路: ( 1 ) 由题意首先确定导函数的 解析式, 由导数的几何意义确定切线的 斜 率 和切点坐标, 再求切线的方程; ( 2 ) 原问题即 f _ ( x) ≥ 0在区间( 0 , +∞) 上恒成立, 整理变 形可得g( x) = a x 2+ x-( x+ 1 ) l n ( x+ 1 ) ≥ 0在区间( 0 , +∞) 上恒成立, 分a≤ 0 , a≥1 2, 0 < a < 1 2三种情况进行讨论, 可得实数a 的 取值范围。 解 析: ( 1)当 a = - 1 时, f ( x)= 1 x - 1 l n ( x+ 1 ) ( x > - 1 ) 。 则 f _ ( x)= - 1 x 2 ·l n ( x + 1)+ 1 x - 1 · 1 x+ 1 , 据 此 可 得 f( 1 ) =0 , f _( 1 ) =- l n 2 。 函数在( 1 , f( 1 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 y- 0 =-( x- 1 ) l n 2 , 即x l n 2 + y- l n 2 = 0 。 ( 2) 由 函 数 的 解 析 式 可 得 f _( x) = - 1 x 2 · l n ( x+1 ) + 1 x + a · 1 x+ 1( x > - 1 ) , 满足题意时f _ ( x) ≥ 0在区间( 0 , +∞) 上恒成立。 令 -1 x 2 · l n ( x+ 1 ) + 1 x+ a · 1 x+ 1 ≥ 0 , 则-( x+ 1 ) l n ( x+ 1 ) +( x+ a x 2) ≥ 0 。 令g( x) = a x 2+x-( x+1 ) l n ( x+1 ) , 原问题等价于 g( x) ≥0 在 区 间( 0 , +∞) 上 恒成立, 则g _ ( x) = 2 a x- l n ( x+ 1 ) 。 ①当a≤ 0时, 由于2 a x≤ 0 , l n ( x+ 1 ) > 0 , 故g _ ( x) < 0 , g( x) 在 区 间( 0 , + ∞) 上 单 调递减, 此时g( x) < g( 0 ) = 0 , 不符合题意。 令h( x) =g _( x) =2 a x- l n ( x+1 ) , 则 h _ ( x) = 2 a- 1 x+ 1 。 ②当a≥1 2, 2 a≥ 1时, 因为 1 x+ 1 < 1 , 所 以h _ ( x) > 0 , h( x) 在区间( 0 , +∞) 上单调递 增, 即g _( x) 在 区 间 ( 0 , + ∞) 上 单 调 递 增, g _ ( x) > g _ ( 0 ) =0 , g( x) 在区间( 0 , +∞) 上 单调递增, g( x) > g( 0 ) = 0 , 满足题意。 ③当0 < a < 1 2时, 由h _ ( x) = 2 a- 1 x+ 1 = 0 , 可得x= 1 2 a- 1 。 当x∈ 0 , 1 2 a- 1 时, h _ ( x) < 0 , h( x) 在 0 , 1 2 a- 1 上单调递减, 即g _ ( x) 单调递减。 注意到g _ ( 0 ) = 0 , 故当x∈ 0 , 1 2 a- 1 时, g _ ( x) < g _ ( 0 ) = 0 , g( x) 单调递减。 由于g( 0 ) =0 , 故 当 x∈ 0 , 1 2 a- 1 时, g( x) < g( 0 ) = 0 , 不符合题意。 综上可知, 实数a的取值范围是 a | a ≥1 2 。 考点解读: 1 . 由 函 数 的 单 调 性 求 参 数 的 取值范 围 常 见 题 型 如 下。 ( 1) 若 可 导 函 数 f( x) 在 区 间 M 上 单 调 递 增, 则 f _( x) ≥ 0 ( x∈M) 恒成 立; 若 可 导 函 数 f( x) 在 区 间 M 上单 调 递 减, 则 f _ ( x) ≤0( x∈M ) 恒 成 立; ( 2 ) 若可导函数在某区间上存在单调递增 ( 减) 区间, 则f _( x) > 0 ( 或 f _( x) < 0 ) 在该 区间上存在解集; ( 3 ) 已知 f( x) 在区间I 上 的单调性, 当区间I 中含有参数时, 可先求出 f( x) 的单调区间, I 是其单调区间的子集。 2 . 利用导数研究函数单调性的关键: ( 1 ) 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 4年1月 全科互知
在利用导数讨论函数的单调区间时, 要 确 定 函数的定义域; ( 2 ) 单调区间的划分要注意对 导数等于零的点的确认; ( 3 ) 已知函数单调性 求参数范围, 要注意导数等于零的情况。 考点三 利用 导 数 研 究 函 数 的 极 值、最 值 例 4 ( 1 ) 【 2 0 2 3年新课标全国Ⅱ卷第 1 1题】 ( 多选) 若函数f( x) = a l n x+b x +c x 2 ( a≠0 ) 既有极大值也有极小值, 则( ) 。 A. b c > 0 B . a b > 0 C . b 2+ 8 a c > 0 D. a c < 0 ( 2 ) 【 2 0 2 3年新课标全国Ⅱ卷第6题】 已 知函数f( x) = a e x - l n x 在区间( 1 , 2 ) 上单 调递增, 则a 的最小值为( ) 。 A. e 2 B . e C . e -1 D. e -2 命题意图: 本题 是 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数的极值、 最值等知识, 考查逻辑推理及数学 运算的核心素养。 解题思 路: ( 1 ) 求 出 函 数 f( x) 的 导 数 f _ ( x) , 由已知可得f _ ( x) 在( 0 , +∞) 上有两 个变号零点, 从而将问题转化为一元二 次 方 程有两个不等的正根进行解答。( 2 ) 根据f _ ( x) = a e x-1 x ≥ 0在( 1 , 2 ) 上恒成立, 分离参数求 最值即可。 解析: ( 1 ) f( x) = a l n x+b x +c x 2的定义 域为 ( 0 , + ∞ ) , f _( x) = a x - b x 2 -2 c x 3 = a x 2- b x- 2 c x 3 。因为函 数 f( x) 既 有 极 大 值 也有极小值, 所以函数 f _( x) 在( 0 , + ∞) 上 有两 个 变 号 零 点。 而 a ≠0 , 故 方 程 a x 2 - b x- 2 c= 0有两个不等的正根x 1, x 2。 则 Δ= b 2+ 8 a c > 0 , x 1+ x 2=b a > 0 , x 1 x 2=- 2 c a > 0 。 ?? ?? ?? ???? ?? ???? ?? 故b 2 +8 a c > 0 , a b > 0 , a c < 0 。 显 然 a 2 b c < 0 , 即 b c < 0 , A 错 误, B C D 正 确。 选 B C D。 ( 2 ) 依 题 意 知, f _( x) =a e x - 1 x ≥0 在 ( 1 , 2 ) 上恒成立, 显然a > 0 , 所以x e x≥1 a 。 设g( x) =x e x, x∈ ( 1 , 2 ) , 则 g _( x) = ( x+ 1 ) e x > 0 , 所以 g( x) 在( 1 , 2 ) 上单调递 增, g( x) > g( 1 ) =e , 即a≥ 1 e=e -1, a 的最 小值为e -1。选 C 。 考点解读: 1 . 利用导数研究函数极值、 最 值的方法: ( 1 ) 若求极值, 则先求方程 f _( x) = 0的根, 再检查f _ ( x) 在方程根的左右时函 数值的符 号; ( 2 ) 若 已 知 极 值 大 小 或 存 在 情 况, 则转化为已知方程f _ ( x) = 0根的大小或 存在情况来求解; ( 3 ) 求函数f( x) 在闭区间 [ a, b] 上的最值时, 在求得极值的基础上, 结 合区间端点的函数值f( a) , f( b) 与f( x) 的 各个极值比较得到函数的最值。 2 . 利用导数研 究 函 数 的 极 值、 最 值 应 注 意的问题: ( 1 ) 不能忽略函数f( x) 的定义域; ( 2 ) f _ ( x 0) = 0是可导函数f( x) 在x= x 0 处 取得极值的必要不充分条件; ( 3 ) 函数的极小 值不一定比极大值小; ( 4 ) 函数在区间( a, b) 上 有 唯 一 极 值 点, 则 这 个 极 值 点 也 是 最 大 ( 小) 值点, 此结论在导数的实际应用中经常 用到。 考点四 利用导数研究函数的零点问题 例 5 【 2 0 2 3年全国乙卷文科第8题】 函数f( x) = x 3+ a x+ 2存在3个零点, 则a 的取值范围是( ) 。 A. ( -∞, - 2 ) B . ( -∞, - 3 ) C . ( - 4 , - 1 ) D. ( - 3 , 0 ) 命题意图: 本题 是 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数的零点的知识内容, 考查逻辑推理及 数 学 运算的核心素养。 解题思路: 求得f _ ( x) = 3 x 2+ a, 并求出 极值点, 转化为极大值大于0且极小值小于0 即可。 解 析: 因 为 f( x) =x 3 +a x+2 , 所 以 f _ ( x) = 3 x 2+ a。若f( x) 存在3个零点, 则 f( x) 要存在极大值和极小值, 即a < 0 。 令f _ ( x) = 3 x 2+ a= 0 , 解得x=- - a 3 或 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 4年1月 全科互知
- a 3 。 当 x ∈ -∞, - - a 3 ∪ - a 3 , +∞ 时, f _ ( x) > 0 ; 当 x ∈ - - a 3 , - a 3 , f _ ( x) < 0 。故f( x) 的极大 值为f - - a 3 , 极小值为f - a 3 。 若f( x) 存在3个零点, 则: f - - a 3 > 0 , f - a 3 < 0 。 ?? ?? ?? ???? ?? ?? 故 a 3 - a 3 - a - a 3 + 2 > 0 , - a 3 - a 3 + a - a 3 + 2 < 0 , ?? ?? ?? ???? ?? ?? a < - 3 。 选 B 。 考点解读: 1 . 判断、 证明函数零点个数的 方法: ( 1 ) 令f( x) = 0 , 则方程解的个数即为 零点的个数; ( 2 ) 利用单调性与零点存在性定 理求解; ( 3 ) 化原函数为两个函数, 利用两个 函数图像交点的个数来求解。 2 . 根据函数零 点情况求参数范围的常用方法: ( 1 ) 分离参数 ( a= g( x) ) 后, 将原问题转化为y=g( x) 的 值域( 最值) 问题或转化为直线y= a 与y= g( x) 图像的 交 点 个 数 问 题 ( 优 选 分 离、 次 选 分类) 求解; ( 2 ) 利用零点存在性定理构建不 等式进行求解; ( 3 ) 转化为两个熟悉的函数图 像的位置关系问题, 从而构建不等式求解。 考点五 导数与不等式 角度 1 利 用 导 数 研 究 不 等 式 的 恒 成 立、 存在性问题 例 6 【 2 0 2 3年全国甲卷理数第2 0题】 已知函数f( x) = a x- s i n x c o s 3 x , x∈ 0 , π 2 。 ( 1 ) 当a= 8时, 讨论f( x) 的单调性; ( 2 ) 若f( x) < s i n 2 x 恒成立, 求a 的取 值范围。 命题意图: 本题 是 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单调性及不等式的恒成立问题, 考查逻 辑 推 理、 数学运算及数学建模的核心素养。 解题思 路: ( 1 ) 求 导, 然 后 令t=c o s 2 x, 讨论导数的符号得所求; ( 2 ) 构造函数 g( x) = f( x) - s i n 2 x, 计算g _ ( x) 的最大值, 然后 与0比较大小, 得出a 的分界点, 再对a 进行 讨论即可。 解 析: ( 1 ) f _ ( x ) = a - c o s x c o s 3 x+ 3 s i n x c o s 2 x s i n x c o s 6 x = a - c o s 2 x+ 3 s i n 2 x c o s 4 x = a- 3 - 2 c o s 2 x c o s 4 x 。 令c o s 2 x= t , 则t ∈( 0 , 1 ) 。 则 f _ ( x )= h ( t)= a - 3 - 2 t t 2 = a t 2+ 2 t - 3 t 2 。当 a=8 时, f _( x) =h( t) = 8 t 2+ 2 t - 3 t 2 = ( 2 t - 1 ) ( 4 t + 3 ) t 2 。 当 t ∈ 0 , 1 2 ,即 x ∈ π 4, π 2 时, f _ ( x) < 0 ; 当t∈ 1 2, 1 , 即 x∈ 0 , π 4 时, f _ ( x) > 0 。 所以 f ( x) 在 0 , π 4 上 单 调 递 增, 在 π 4, π 2 上单调递减。 ( 2 ) 设g( x) = f( x) - s i n 2 x。 则g _( x) =f _( x) -2 c o s 2 x=h( t) - 2 ( 2 c o s 2 x- 1) =a t 2+ 2 t - 3 t 2 -2( 2 t-1) = a+ 2 - 4 t +2 t -3 t 2 。 设φ( t ) = a+ 2 - 4 t +2 t -3 t 2 。 则φ _ ( t ) =- 4 -2 t 2 +6 t 3 = - 4 t 3- 2 t + 6 t 3 =- 2 ( t - 1 ) ( 2 t 2+ 2 t + 3 ) t 3 > 0 。 所以φ( t ) < φ( 1 ) = a- 3 。 ①若a∈( - ∞, 3 ] , 则 g _( x) = φ( t ) < a- 3 ≤0 , 即 g ( x) 在 0 , π 2 上 单 调 递 减, g( x) < g( 0 ) = 0 。 所以当a∈( -∞, 3 ] 时, f( x) < s i n 2 x, 符合题意。 ②若a∈ ( 3 , + ∞) , 当t→0 , 2 t - 3 t 2 = 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 4年1月 全科互知