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将捆绑的女生与男生一起全排列, 有 A 3 3 种, 则满足条件的排法共有 A 3 3A 3 3= 3 6 ( 种) , 故 B 正确; 对于选项 C : 先将女生全排列, 有 A 3 3 种, 此时共产生4个空, 由于男生互不相邻, 则2 个男生插空即可, 有 A 2 4 种, 则满足条件的排 法共有 A 3 3A 2 4= 7 2 ( 种) , 故 C正确; 对于选项 D : 甲不站排头, 乙不站排尾, 考 虑反面, 甲站排头的排法有 A 4 4 种, 乙站排尾的 排法有 A 4 4 种, 甲站排头, 乙站排尾的排 法 有 A 3 3 种, 从而甲不站排头, 乙不站排尾的排法共 有 A 5 5- 2 A 4 4+A 3 3= 7 8 ( 种) , 故 D错误。 故选 A B C 。 点评: 在解决有限制条件的排队问题时, 常用捆绑法、 插空法、 隔板法、 特 殊 元 素 优 先 法等。要理解问题的要求和 限 制, 快 速 地 确 定对象的性质和数量。因此, 我 们 要 对 不 同 的条件进行总结和归类, 这样有助于解 决 各 种有限制条件的排列组合问题。 2 . 几何要素的分组分类计数问题 例 4 以长方体 A B C D- A1 B 1 C 1D1 的 任意三个顶点为顶点作三角形, 从中随 机 取 出2个三角形, 则这2个三角形不共面的情 况共有( ) 。 A. 1 4 8 0种 B . 1 4 6 8种 C . 1 5 1 6种 D. 1 4 9 2种 解析: 因为长方体 A B C D- A1 B 1 C 1D1 的 8个顶点中任意3个均不共线, 所以从8个顶 点中 任 取 3 个 均 可 构 成 1 个 三 角 形, 共 有 C 3 8=5 6( 个 ) , 从 中 任 选 2 个, 共 有 C 2 5 6 = 1 5 4 0 ( 种) 。因为长方 体 有 6 个 面, 6 个 对 角 面, 所以8个顶点中有4个点共面的情况有 1 2种, 每个面的4个顶点共确定4个不同的 三角形, 从这 4 个 三 角 形 中 选 出 2 个 共 有 6 种选法, 所以随机取出2个三角形, 且这2个 三角形不共 面 的 情 况 共 有 1 5 4 0-1 2×6= 1 4 6 8 ( 种) 。故选 B 。 点评: 立体几何 中 的 排 列 组 合 问 题 是 一 个有趣 且 具 有 挑 战 性 的 问 题。 主 要 是 有 关 点、 线、 面的问题, 要考虑几何 体 的 结 构 特 征 及对称性。在对特定的几何要素进行分类研 究时, 需注意既不重复, 也不遗漏。 三、二项式定理 1 . 求特定项 例 5 1 + 1 x 2 ( x-2 ) 6 的 展 开 式 中 x 3 的系数为( ) 。 A. - 5 1 2 B . - 1 7 2 C . - 1 6 0 D. 1 9 2 解析: 已 知 1 + 1 x 2 ( x-2 ) 6 = ( x-2 ) 6 + 1 x 2( x- 2 ) 6, 因为( x- 2 ) 6 的展开式的通项 T k+1=C k 6 x 6 - k( - 2 ) k, 所以( x- 2 ) 6 的展开式 中含x 3 的项为 C 3 6 x 3( - 2 ) 3=- 1 6 0 x 3, 其系 数为-1 6 0 , 又 1 x 2 ( x-2 ) 6 的 展 开 式 中 含 x 3 的项为 1 x 2·C 1 6 x 5( -2 ) 1= -1 2 x 3, 其系数为 - 1 2 , 所以 1 + 1 x 2 ( x-2 ) 6 的 展 开 式 中 x 3 的系数为- 1 7 2 。故选 B 。 点评: 求展开式中的特定项是高考中考查 二项式定理最重要的一类问题。一定要牢记 通项公式 T k+ 1=C k n a n- k b k, 同时也要注意利用 排列组合的知识对所求项的次数进行分类。 2 . 整除类问题 例 6 若6 4 2 0 2 4+m 能被1 3整除, 则m 的最小正整数取值为 。 解析: 因 为 6 4 2 0 2 4 +m = ( 6 5-1) 2 0 2 4 + m=6 5 2 0 2 4 +C 1 2 0 2 4 ·6 5 2 0 2 3 · ( -1) + … + C 2 0 2 3 2 0 2 4· 6 5 · ( -1 ) 2 0 2 3+C 2 0 2 4 2 0 2 4( -1 ) 2 0 2 4+m = 6 5 2 0 2 4+C 1 2 0 2 4·6 5 2 0 2 3 · ( -1 ) + … +C 2 0 2 3 2 0 2 4 · 6 5 ·( - 1 ) 2 0 2 3+ 1 +m 能 被 1 3 整 除, 又 因 为 6 5 = 1 3 × 5 , 即 6 5 能被 1 3 整除, 则 1+m 能 被1 3整除, 所以 m 的最小正整数取值为1 2 。 故填1 2 。 点评: 在利用二 项 式 定 理 解 决 整 除 问 题 时, 需要对底数进行分解, 然后对展开式的余 项进行讨论。 总之, 高考数学 着 重 考 查 同 学 们 灵 活 运 用知识解决问题的能力。因 此, 复 习 时 需 要 不断强化对知识的理解和记忆, 不只是 死 记 硬背基本概念、 公式和定理, 而是要了解它们 的推导过程和实际应用, 要通过理解和 记 忆 来替代单纯的背诵。 ( 责任编辑 王福华) 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知 

P( A3 B 3) =P( B 3 | A1) P( A1) +P( B 3 | A2) P( A2) +P( B 3 | A3) P( A3) , 而 P( B 3 | A1) = P( B 3| A2) = 1 4, P ( B 3| A3 ) = 1 6, 所 以 P( B 3) =1 4×1 2 + 1 4 × 1 4 + 1 6 × 1 4 =1 1 4 8 , 故 B正确; 对于选项 C : 第二次抽到 的 是 3 号 球 来 自 1 号 盒 子 的 概 率 为 P ( A1 |B 3 )= P( B 3 | A1) P( A1) P( B 3) = 6 1 1 , 第 二 次 抽 到 的 是 3 号球来自 2 号 盒 子 的 概 率 为 P ( A2| B 3) = P( B 3 | A2) P( A2) P( B 3) = 3 1 1 , 第 二 次 抽 到 的 是 3 号球来自 3 号 盒 子 的 概 率 为 P ( A3| B 3) = P( B 3 | A3) P( A3) P( B 3) =2 1 1 , 所以第二次抽到的是 3号球来自1号盒子的概率最大, 故C正确; 对于选项 D : 设 B 2 表示第二次抽到2号 球, 则在第一次抽到3号球的条件下, 第二次抽 到2号球的概率为P( B 2 | A 3) =1 3, 故 D正确。 故选 B C D。 评注: 本题以最 常 见 的 取 球 游 戏 为 出 发 点, 重点考查条件概率的计算, 结合排列组合 知识进行求解, 具有很强的 综 合 性。解 答 的 关键是重点理解取球的游戏规则, 分情 况 讨 论, 求出对应的条件概率, 主要考查同学们的 逻辑推理与数学运算等核心素养。 考向三、离散型随机变量的分布列 例 3 ( 江西省南昌市2 0 2 4届高三摸底 测试) 迎“ 七一” 党建知识竞赛, 竞赛有两关, 某 学校代表队有四名队员, 这四名队员若有机会 参加这两关比赛, 通过的概率如表1所示: 表1 队员 第一关 第二关 甲 3 4 2 3 乙 3 4 2 3 丙 2 3 1 2 丁 2 3 1 2 比赛规则是: 从四名队员中随机选出两 名队员分别参加比赛, 每个队员通过第 一 关 可以得6 0分, 且有资格参加 第 二 关 比 赛, 若 没有通过, 得 0 分且没有资格参加第二关比 赛; 若通过第二关可以再得 4 0 分; 若 没 有 通 过, 不再加分。两名参赛队员 所 得 总 分 为 该 代表队的得分, 代表队得分不低于1 6 0分, 可 以获得“ 党建优秀代表队” 称号。假设两名参 赛队员不相互影响。 ( 1 ) 求这次比赛中, 该校获得“ 党建 优 秀 代表队” 称号的概率; ( 2 ) 若这次比赛中, 选中了甲乙两名队员 参赛, 记该代表队的得分为 X, 求随机变量 X 的分布列和期望。 解析: ( 1 ) 记选出甲乙两名队员参赛为事 件 A1, 选 出 甲 乙、 丙 丁 各 一 人 参 赛 为 事 件 A2, 选出丙丁两名队员参赛为事件 A3, 获得 “ 党建优秀代表队” 称号为事件 B。 所以 P( A1) =C 2 2 C 2 4=1 6; P( A2) =C 1 2C 1 2 C 2 4 =2 3; P( A3) =C 2 2 C 2 4=1 6。 所以 P( B) =P( A1 B+A2 B+A3 B) = 1 6 × 3 4 2 × 2 3 2 + 2 ×2 3×1 3 + 2 3 × 3 4×2 3× 2 3×1 2+1 3×1 2+2 3×1 2 +1 6× 2 3 2 × 1 2 2 + 2 ×1 2×1 2 = 1 1 2+ 5 1 8+ 1 1 8 =5 1 2 。 ( 2 ) 由 题 意 知 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0 , 6 0 , 1 0 0 , 1 2 0 , 1 6 0 , 2 0 0 。 则 P( X= 0 ) = 1 4 2 =1 1 6 ; P( X= 6 0 ) = 2 ×3 4×1 3×1 4=1 8; P( X= 1 0 0 ) = 2 ×3 4×2 3×1 4=1 4; P( X= 1 2 0 ) = 3 4 2 × 1 3 2 =1 1 6 ; P( X= 1 6 0 ) = 3 4 2 × 2 ×2 3×1 3=1 4; 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知 

体的正态分布, 求指定区间的概率, 结合正态 曲线图像, 数形结合, 考查同学们的直观想象 能力; 第二问求二项分布中概率的极大值点, 关键是弄清楚概率分布类型, 借助导数 这 一 重要工具, 考查同学们的逻辑推理与数 学 运 算能力; 第三问结合实例, 作 出 决 策, 借 助 二 项分布, 求出两种颁奖方式的成本期望值, 为 后面的决策提供数据支撑与依据, 考查 同 学 们的数学运算能力。 考向五、超几何分布 例 5 ( 湖北省武汉市华中师范大学第 一附属中学2 0 2 4届高三月考) 统计与概率主 要研究现实生活中的数据和客观世界中的随 机现象, 通过对数据的收集、 整理、 分析、 描述 及对事件发生的可能性进行刻画, 来帮 助 人 们作出合理的决策。 ( 1 ) 现有池塘甲, 已知池 塘 甲 里 有 5 0 条 鱼, 其中A 种鱼7条, 若从池塘甲中捉了2条 鱼。用ξ 表示 其 中 A 种 鱼 的 条 数, 请 写 出ξ 的分布列, 并求ξ 的数学期望E( ξ ) 。 ( 2 ) 另 有 池 塘 乙, 为 估 计 池 塘 乙 中 的 鱼 数, 某同学先从中捉了 5 0 条 鱼, 做 好 记 号 后 放回池塘, 再从中捉了 2 0 条 鱼, 发 现 有 记 号 的有5条。 ①请从分层抽样的角度估计池塘乙中的 鱼数。 ②统 计 学 中 有 一 种 重 要 而 普 遍 的 求 估 计 量 的 方 法 — — —最 大 似 然 估 计 , 其 原 理 是 使 用 概 率 模 型 寻 找 能 够 以 较 高 概 率 产 生 观 察 数 据 的 系 统 发 生 树 , 即 在 什 么 情 况 下 最 有 可 能 发 生 已 知 的 事 件 。 请 从 条 件 概 率 的 角 度 , 采 用 最 大 似 然 估 计 法 估 计 池 塘 乙 中 的 鱼 数 N ( X 表 示 捞 出 的 2 0 条 鱼 中 有 记 号 的 鱼 的 数 目 , 即 使 得 P ( X =5) 最 大 的 N 的 值 ) 。 解析: ( 1 ) 由题意知ξ 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 。 则 P( ξ= 0 ) =C 2 4 3 C 2 5 0= 1 2 9 1 7 5 ; P( ξ= 1 ) =C 1 4 3·C 1 7 C 2 5 0 =4 3 1 7 5 ; P( ξ= 2 ) =C 2 7 C 2 5 0= 3 1 7 5 。 故ξ 的分布列为表3 : 表3 ξ 0 1 2 P 1 2 9 1 7 5 4 3 1 7 5 3 1 7 5 所以 E( ξ) = 0 ×1 2 9 1 7 5+ 1 × 4 3 1 7 5+ 2 × 3 1 7 5 =7 2 5 。 ( 2 ) ①设 池 塘 乙 中 的 鱼 数 为 m, 则5 0 m = 5 2 0 , 解得 m= 2 0 0 , 所以可以估计池塘乙中的 鱼数为2 0 0条。 ②设池塘乙 中 的 鱼 数 为n, 令 事 件 B= “ 再捉2 0条鱼, 5条有记号” , 事件 C=“ 池塘 乙中 的 鱼 数 为 n” , 则 P n = P ( B| C) = C 5 5 0·C 1 5 n-5 0 C 2 0 n 。 由最大似然估计法, 即求p n 最大时n 的 值, 其中n≥ 6 5 , 所以p n+1 p n = ( n- 4 9 ) ( n- 1 9 ) ( n- 6 4 ) ( n+ 1 )。 当n= 6 5 , …, 1 9 8时, p n+1 p n > 1 ; 当n= 1 9 9时, p n+1 p n = 1 ; 当n= 2 0 0 , 2 0 1 , …时, p n+1 p n < 1 。 所以池塘乙中的鱼数为1 9 9或2 0 0条。 评注: 本题以超 几 何 分 布 与 试 验 观 察 法 为载体, 结合函数的性质, 以科学研究统计实 例为背景, 体现数学的基础 性。第 一 问 考 查 具体的超几何分布, 理清概率分布借助 组 合 知识即可解决; 第二问的第一小问考查 分 层 等比例抽样, 第二小问考查条件概率, 巧用相 邻两项概率的大小, 得出函数的单调性, 综合 性较强。本题着重考查同学们的逻辑推理与 数学运算等能力。 最 后 , 建 议 同 学 们 在 复 习 时 , 理 清 概 念 , 结 合 具 体 案 例 , 注 意 对 比 记 忆 , 性 质 和 公 式 需 要 理 解 性 记 忆 , 在 平 时 的 练 习 中 重 视 错 题 , 善 于 积 累 , 勤 于 思 考 , 不 断 提 升 数 学 解 题 能 力 , 从 而 提 高 高 考 竞 争 力 , 最 终 实 现 自 己 的 目 标 。 ( 责任编辑 王福华) 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知