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本期邀请以总分6 8 9分考入北京大学的张建圆同学( 高考数学1 5 0分) 分享自己在高中学 习、 生活的经验, 张建圆的数学老师王冲对他有着怎样的评价呢? 希望张建圆同学的学习经验 分享和王老师的点评能对同学们的学习有所帮助。 ■北京大学 张建圆( 2 0 2 3年毕业于河南省扶沟县高级中学) ( 2 0 2 3年高考成绩: 语文1 3 4分, 数学1 5 0分, 英语1 3 0分, 理综2 7 5分, 共计6 8 9分) 2 0 2 3年高考早已拉下帷幕, 作为2 0 2 3年 高考数学满分的获得者, 我很乐意将自己的数 学学习经历分享给大家, 以期与大家共勉。 兴趣是最好的 老 师, 小 时 候 我 就 对 数 学 很感兴趣, 感受到了数学的 无 限 魅 力。但 小 学阶段, 我的数学成绩并不理想。随着我“ 攻 克” 一个又一个“ 难题” , 譬如短除、 比例、 阴影 区域面积等问题, 数学成绩才有所好转。 初中时期, 我的数学成绩更是起伏不定。 我曾困扰于平面直角坐标系, 徘徊于平行四边 形的证明, 好在这些问题后来都被我一一克服。 高中数学是一 个 转 折 点, 很 多 初 中 数 学 学霸在此折戟沉沙。我想, 高 中 数 学 和 初 中 数学不在一个维度。初中数学经过大量重复 训练, 基本上可以学好; 而高中数学更侧重思 维能力。高中数学的抽象函数、 立体几何、 圆 锥曲线、 概率与统计、 导数等 知 识, 都 会 难 住 很多同学。我们要及时调整, 以 便 更 好 地 适 应高中的数学学习。 我刚上高中时数学成绩并不优异, 但我有 一颗好奇钻研的心。我会经常抽时间看一些 趣味数学视频, 有时也会买一些相关书籍来拓 宽数学视野, 它们无形中 提 升 了 我 的 数 学 思 维。譬如说, 我曾经了解拉马努金、 佩尔数列、 庞加莱猜想、 黎曼猜想, 我从中感受到了顶级 数学家或者数学天才的思想。开始我并不能 完全理解他们解决问题的方法, 但过一段时间 学了一些其他的数学知识, 再回头想这些问题 时, 会发现那些数学家的思路是如此的自然、 简捷和美妙。我在高中时经常会研究一些趣 味数学题, 这对我确实有帮助。自习课上我也 会反复琢磨, 我并不认为这是浪费时间, 反而 认为是一种放松。我也会进一步进行挖掘、 改 编, 加深自己的印象。 高一上学期, 我的数学一直在进步, 并没 有感到特别吃力。高一下学 期, 我 意 识 到 必 须要克服粗心的习惯。我做 题 速 度 较 快, 所 以有充足时间检查, 于是我把做题速度 慢 下 来, 一字一字地看, 这样做效果立竿见影。 高二时, 我们学习了圆锥曲线, 计算量加 大; 学习了立体几何, 题目更棘手; 学习了导数, 思维量增加。圆锥曲线就是计算量大, 但我们 要知道圆锥曲线是几何题, 要善于观察几何图 形并利用有关性质解题。立体几何题需要我们 去想象、 去尝试, 但我们需要保持严谨的态度, 不能出现漏洞。导数试题较难, 有很多导数题 源自高等数学。切割线放缩、 极值点偏移、 洛必 达法则、 泰勒公式等, 都有高等数学的影子, 我 们不下一番功夫是不容易学好的。概率与统计 是我们经常忽略的一个重点, 它难的话可以作 压轴题, 简单的话可以作第1 7题或者第1 9题。 2 0 1 9年的高考试卷就以概率题作为压轴题, 它 以药物测验作为背景, 考查概率知识在生活中 的实际应用, 同时体现出了概率在实际生活中 3 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
的意义, 这样的题目耐人寻味。 高二数学难度确实比高一数学加大了很 多, 很多同学的数学成绩也 下 降 了 不 少。我 刚学圆锥曲线知识时, 连最简单的圆锥 曲 线 题都感觉十分困难。设而不 求、 转 化 思 想 全 都不太会用, 经常计算出错。但 当 我 一 遍 一 遍重复时, 会发现做题速度 明 显 加 快。比 如 说, 证明 垂 直 可 以 采 用 向 量 法、 斜 率 乘 积 为 - 1 ( 注意讨论斜率不存在的情况) , 也可以用 直线一般式求解; 定值、 定点 问 题 可 以 猜 测, 或者说先猜后证; 最值问题一般是先列 出 表 达式, 再利用相关知识、 方法求解( 一般最值 会在特殊情况下取得) 。高二下学期的 导 函 数虽然难, 但也是有规律的。就 像 上 面 提 到 的, 导数题中蕴含着高等数学的思想。 进入高 三 后, 基 本 上 都 是 综 合 性 问 题。 我在学习时, 特别喜欢将知识融会贯通、 举一 反三。比如, 向量与三角形面积, 圆锥曲线中 经常遇到求三角形面积的最值问题, 我 会 采 用三角形面积的向量公式辅助解题。 高三一轮复习很重要。一轮复习我们可以 打好基础, 多回顾知识点。那些导数常用不等 式, 圆锥曲线二级结论, 立体几何中公理、 定理 及推论, 我们最好可以熟练运用。在高三后期, 我对数学是拥有绝对的自信, 同时, 我还会对数 学试题进行挖掘。经验是愚者之智, 智者之得。 刷题固然重要, 总结也很重要。以我为例, 我不 喜欢摘抄错题, 一般是记住失误点, 了解题目构 成。这样做, 对试题套路会多了解一些, 数学水 平也会提高。我会培养自己的数学思想, 多了 解一些数学基础公式及其证明方法, 从而提高 自己的数学思维水平。 2 0 2 3年全国高考乙卷变化很大, 不少人 说立体几何题需要用几何法去解决。但是建 系法足够熟练的话, 建系也可以, 我考试时就 用的建 系 法, 的 确 可 以 做, 也 不 算 太 麻 烦。 2 0 2 3年的全 国 乙 卷, 命 题 风 格 变 化 很 大, 让 人做着 有 一 种 身 陷 沼 泽 的 感 觉, 十 分 别 扭。 考的题目很新颖, 告别了传统考法, 冲击死记 硬背、 盲目刷题的学习方法, 但 追 根 溯 源, 我 们就会发现考的还是数学思维。 善思近乎知, 力行近乎仁。我想说, 学习 数学要学习数学的思想, 不要把学习做 数 学 题称作学数学。数学绝非是 一 潭 死 水, 数 学 之中蕴含着创新, 这绝不是盲目刷题可 以 感 悟到的。在学习高中数学知 识 时, 我 们 要 大 胆尝试, 积极探索。在做题之余, 我们不妨真 正地去理解数学思想, 发现 问 题、 提 出 问 题、 解决问题。 以上这些, 就是我对数学及数学学习的感 悟和体会, 希望对正在进行数学学习的同学们 有所帮助。不当之处, 还请大家批评指正! 教师点评: ( 河南省扶沟县高级中学 王 冲) 本篇文章言简意赅, 朴素自然。张建圆同 学把自己的求学经历清晰、 真实地呈现给了大 家, 使大家能够从中了解到他学习、 研究数学的 过程, 也使我们感悟到了何为数学, 应该如何学 习和研究数学。张建圆同学的求学经历及对数 学的深度理解给了我们很多启迪, 使我们更加 明确了学习和研究数学的方向。 作为张建圆同 学 的 高 中 数 学 老 师, 我 觉 得他有非常明显的三个特点。 1 . 善于思考, 在平时的学习过程中, 他非常 善于思考。对于一个新的概念、 定义、 定理、 公 式等, 他一定会弄清楚其产生、 发展的来龙去 脉。纵向, 向前联想到小学、 初中知识, 向后联 系大学知识。横向, 将相关联的知识进行联系, 多角度、 全方位地进行思考和理解。他经常会 根据目前所具备的知识, 提出自己的问题和疑 惑, 甚至提出目前科学领域没有研究到的问题, 具备很强的质疑、 创新精神。 2 . 执着追求。如他本人所言, 他在学习 过程当中也遇到过各种各样的困难, 但 他 总 有股打破砂锅问到底的劲头, 想方设法 把 自 己存在的疑惑弄明白。在求 学 路 上, 这 种 对 知识的执着追求, 是非常难能可贵的。 3 . 以学为乐。无论是遇到难以解决的问 题, 还是对知识主动的探索、 拓 展, 他 都 会 觉 得是非常有趣的事情。他会觉得学习数学是 一种享受, 思考数学问题是 一 种 放 松。这 种 以学为乐的精神, 也是非常值得我们学习的。 最后, 祝《 中学生数理化》 越办越好! ( 责任编辑 徐利杰) 4 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 从近年高考命题情况来看, 对椭圆定义、 标准方程、 几何性质的考查常以选择题、 填空 题的形式出现, 而直线与椭圆的位置关 系 主 要出现 在 解 答 题 中。 同 学 们 应 能 够 熟 练 从 “ 数” 与 “ 形” 两 个 角 度 来 探 究 椭 圆 的 取 值 范 围、 对称性、 顶点、 离心率等几何性质, 且熟练 利用代数法解答直线与椭圆有关的最 值、 定 点、 定值等问题。下面我们结合2 0 2 3年高考 真题, 对椭圆的考点进行解读。 考点1 对椭圆的方程及简单几何性质 的考查 例 1 ( 1 ) 【 2 0 2 3 年全国甲卷文数第 7 题】 设 F 1, F 2 为椭圆C: x 2 5 + y 2= 1的两个焦 点, 点 P 在 椭 圆C 上, 若 P F 1 →·P F 2 →=0 , 则 | P F 1 | · | P F 2 | =( ) 。 A. 1 B . 2 C . 4 D. 5 ( 2 ) 【 2 0 2 3年全国新课标Ⅰ卷第5题】 设 椭圆C 1: x 2 a 2 + y 2=1 ( a > 1 ) , C 2: x 2 4 +y 2=1 的离心率分别为e 1, e 2, 若e 2= 3 e 1, 则a= ( ) 。 A. 2 3 3 B . 2 C . 3 D. 6 ( 3 ) 【 2 0 2 3年全国甲卷理数第1 2题】 设O 为坐标原点, F 1, F 2 为椭圆 C: x 2 9 +y 2 6 = 1的 两个焦点, 点 P 在椭圆C 上, c o s ∠F 1 P F 2= 3 5, 则 | O P | =( ) 。 A. 1 3 5 B . 3 0 2 C . 1 4 5 D. 3 5 2 命题意图: 本例 的 3 个 题 目 都 是 考 查 椭 圆的方程及简单的几何性质, 考查同学 们 逻 辑推理、 直观想象及数学运算等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 方法一, 根 据 焦 点 三 角 形 面积公式 求 出 △P F 1 F 2 的 面 积, 即 可 求 解; 方法二, 可根据椭圆的定义及勾股定理 进 行 解答。( 2 ) 由给定的椭圆方程, 结合离心率的 定义进行解答。( 3 ) 方法一, 根据焦点三角形 的面积公式求出△P F 1 F 2 的面积, 可得点 P 的坐标, 从而得 | O P | 的值; 方法二, 先利用椭 圆的定 义 及 余 弦 定 理 求 出| P F 1 |·| P F 2 | , | P F 1 | 2+ | P F 2| 2 的 值, 再 结 合 中 线 的 向 量 公式及数量积可得解; 方法三, 先利用椭圆的 定义及余 弦 定 理 求 出| P F 1| 2 +| P F 2| 2 的 值, 再根据中线定理求解。 解析: ( 1 ) 方法一: 因为 P F 1 →·P F 2 →=0 , 所以∠F 1 P F 2= 9 0 ° 。 从 而 S△F 1 P F 2 =b 2 t a n 4 5 °=1= 1 2 × | P F 1 | · | P F 2| , 解 得| P F 1|·| P F 2|=2 。 故选 B 。 方 法 二: 因 为 P F 1 → · P F 2 → =0 , 所 以 ∠F P 1 F 2= 9 0 ° 。 由椭圆方程可知, c 2= 5 - 1 = 4 ? c= 2 。 故 | P F 1 | 2+ | P F 2 | 2= | F 1 F 2 | 2= 1 6 。 又 | P F 1 | + | P F 2 | = 2 a= 2 5, 则: | P F 1 | 2+ | P F 2 | 2+ 2 | P F 1 | · | P F 2 | = 1 6 + 2 | P F 1|·| P F 2|=2 0 , 解 得| P F 1|· | P F 2 | = 2 。 故选 B 。 ( 2 ) 由e 2= 3 e 1, 得e 2 2= 3 e 2 1, 因此 4 - 1 4 = 3 × a 2- 1 a 2 。而a > 1 , 所以a= 2 3 3 。故选 A。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
( 3 ) 方法一: 设∠F 1 P F 2= 2 θ, 0 < θ < π 2, 所以S△P F 1 F 2 = b 2 t a n∠F 1 P F 2 2 = b 2 t a n θ。 由c o s ∠F 1 P F 2= c o s 2 θ=c o s 2 θ- s i n 2 θ c o s 2 θ+ s i n 2 θ = 1 - t a n 2 θ 1 + t a n 2 θ=3 5, 解得t a n θ=1 2。 由椭圆方程知, a 2= 9 , b 2= 6 , c 2= a 2- b 2 = 3 。 因此, S△P F 1 F 2 = 1 2 ×| F 1 F 2|×| y P|= 1 2× 2 3× | y P| = 6 ×1 2, 解得y 2 P = 3 。 则x 2 P = 9 × 1 -3 6 =9 2。 因此, | O P | = x 2 P + y 2 P = 3 0 2 。选 B 。 方法二: 因 为| P F 1|+| P F 2|=2 a=6 ①, 且 | P F 1 | 2+| P F 2 | 2-2 | P F 1 | | P F 2 |· c o s∠F 1 P F 2 =| F 1 F 2| 2, 所 以|P F 1| 2 + | P F 2 | 2-6 5 | P F 1 | | P F 2 | = 1 2 。② 联立 ① ②, 解 得| P F 1| | P F 2|=1 5 2, | P F 1 | 2+ | P F 2 | 2= 2 1 。 而 P O →=1 2( P F 1 →+P F 2 →) , 所 以| O P |= | P O → | =1 2 | P F 1 →+P F 2 → | 。 故 |P O → | = 1 2 |P F 1 → + P F 2 → | = 1 2 | P F 1 → | 2+ 2 P F 1 →·P F 2 →+ | P F 2 → | 2 = 1 2 2 1 + 2 ×3 5× 1 5 2 = 3 0 2 。选 B 。 方法三: 因 为| P F 1|+| P F 2|=2 a=6 ①, 且 | P F 1 | 2+| P F 2 | 2-2 | P F 1 | | P F 2 |· c o s∠F 1 P F 2 =| F 1 F 2| 2, 所 以|P F 1| 2 + | P F 2 | 2-6 5 | P F 1 | | P F 2 | = 1 2 。② 联立①②, 解得 | P F 1 | 2+ | P F 2 | 2= 2 1 。 由中线定理知, ( 2 | O P | ) 2+| F 1 F 2 | 2= 2 ( | P F 1 | 2+| P F 2| 2) =4 2 , 易 知| F 1 F 2|= 2 3, 解得 | O P | = 3 0 2 。故选 B 。 考点解 读: 在 本 例 ( 1 ) 、 ( 3 ) 的 解 答 过 程 中, 有效地利用了椭圆中焦点三角形的 面 积 公式的二级结论, 使得问题易解。 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧如 下。 ( 1)椭 圆 的 定 义 具 有 双 向 作 用,若 | M F 1 | + | M F 2|=2 a( 2 a > | F 1 F 2| ) , 则 点 M 的轨迹是 椭 圆; 反 之, 椭 圆 上 任 意 一 点 M 到两焦点的距离之和必为2 a。 ( 2 ) 涉 及 焦 点 三 角 形 面 积, 可 把| P F 1 | , | P F 2 | 看作一个整体, 运用 | P F 1 | 2+ | P F 2 | 2 =( | P F 1 |+| P F 2 | ) 2-2 | P F 1 |·| P F 2 |及 余弦定理求出 | P F 1 | · | P F 2 | , 无须单独求解。 与椭圆有关的 二 级 结 论 比 较 多, 由 本 例 ( 1 ) 、 ( 3 ) 的解答过程可以看出, 恰当地掌握、 应用常用的二级结论可为我们的解题打开便 利之门。 考点2 对直线与椭圆位置关系的考查 例 2 【 2 0 2 3 年 全 国 新 课 标 Ⅱ 卷 第 5 题】 已知椭圆 C: x 2 3 + y 2=1 的左、 右焦 点 分 别为 F 1、 F 2, 直线 y=x+m 与 椭 圆C 交 于 A, B 两 点, 若 △F 1A B 面 积 是 △F 2A B 面 积 的2倍, 则 m=( ) 。 A. 2 3 B . 2 3 C . - 2 3 D. -2 3 命题意图: 本例 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关系、 点到直线的距离及与椭圆有关的 三 角 形的面积, 同时考查同学们直观想象、 逻辑推 理及数学运算等核心素养。 解题思路: 首先 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程, 利用 Δ > 0 , 求 出 m 的 取 值 范 围, 再 根 据 三角形面 积 比 得 到 关 于 m 的 方 程, 从 而 得 解。 解 析:由 y= x+m, x 2+ 3 y 2= 3 , 消 去 y 可 得 4 x 2+ 6 m x+ 3 m 2- 3 = 0 。 因为直线与椭圆相交于 A, B 点, 所以Δ = 3 6 m 2- 4 × 4 ( 3 m 2- 3 ) = 4 8 - 1 2 m 2 > 0 , 解 得- 2 < m < 2 。 设 F 1 到 A B 的距离为d 1, F 2 到 A B 的 距离为d 2, 易知 F 1( - 2, 0 ) , F 2( 2, 0 ) , 则 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
d 1 =| - 2+m | 2 , d 2 =|2+m | 2 , S△F 1 A B S△F 2 A B = | - 2+m | 2 |2+m | 2 =| - 2+m | |2+m | =2 , 解 得 m = - 2 3 或- 3 2( 舍去) 。故选 C 。 考点解读: 解答直线与椭圆相交的问题, 常用到“ 设而不求” 的方法, 即联立直线和椭 圆的方程, 消去y( 或x) 得到一元二次方程, 然后借助根与系数的关系, 并结合题设条件, 建立有关参变量的等量关系求解。利用公式 计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的 情况下进行的, 不要忽略方程根的判别式。 考点3 对椭圆的综合应用的考查 例 3 【 2 0 2 3 年 全 国 乙 卷 文 数 第 2 1 题】 已知椭圆 C: y 2 a 2 +x 2 b 2 =1 ( a > b > 0 ) 的 离 心率是 5 3 , 点 A( - 2 , 0 ) 在椭圆C 上。 ( 1 ) 求椭圆C 的方程; ( 2 ) 过点( - 2 , 3 ) 的直线交椭圆 C 于P, Q 两点, 直线 A P, A Q 与y 轴的交点分别为 M , N, 证明: 线段 MN 的中点为定点。 命题意图: 本例 是 考 查 与 椭 圆 有 关 的 定 点问题, 考查同学们逻辑推理、 直观想象及数 学运算等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 依 题 意 列 式 求 解a, b, c, 进而得结果; ( 2 ) 设直线 P Q 的方程, 进而可 求 点 M , N 的 坐 标, 结 合 韦 达 定 理 验 证 y M + y N 2 为定值即可。 解 析: ( 1) 由 题 意 得 b= 2 , a 2= b 2+ c 2, e=c a = 5 3 , ?? ?? ?? ???? ?? ???? 解 得 a= 3 , b= 2 , c= 5。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 所以椭圆C 的方程为 y 2 9+ x 2 4 = 1 。 ( 2 ) 由题意 知, 直 线 P Q 的 斜 率 存 在, 设 P Q: y= k( x+ 2 ) + 3 。 联立 y= k( x+ 2 ) + 3 , y 2 9+ x 2 4 = 1 , 消去y 得( 4 k 2+ 9 ) x 2+ 8 k( 2 k+ 3 ) x+ 1 6 ( k 2+ 3 k) = 0 。 则 Δ=6 4 k 2 ( 2 k+3 ) 2 -6 4( 4 k 2 +9 ) · ( k 2+ 3 k) =- 1 7 2 8 k > 0 , 解得k < 0 。 设P( x 1, y 1) , Q( x 2, y 2) , 可得x 1+ x 2= - 8 k( 2 k+ 3 ) 4 k 2+ 9 , x 1 x 2= 1 6 ( k 2+ 3 k) 4 k 2+ 9 。 因为 A ( -2 , 0) , 所 以 直 线 A P: y = y 1 x 1+ 2 ( x+ 2 ) 。 令x= 0 , 解得y= 2 y 1 x 1+ 2 , 即 M 0 , 2 y 1 x 1+ 2 。 同理可得, N 0 , 2 y 2 x 2+ 2 。 则 2 y 1 x 1+ 2 + 2 y 2 x 2+ 2 2 = [ k( x 1+ 2 ) + 3 ] x 1+ 2 + [ k( x 2+ 2 ) + 3 ] x 2+ 2 = [ k x 1+( 2 k+ 3 ) ] ( x 2+ 2 ) +[ k x 2+( 2 k+ 3 ) ] ( x 1+ 2 ) ( x 1+ 2 ) ( x 2+ 2 ) = 2 k x 1 x 2+( 4 k+ 3 ) ( x 1+ x 2) + 4 ( 2 k+ 3 ) x 1 x 2+ 2 ( x 1+ x 2) + 4 = 3 2 k( k 2+ 3 k) 4 k 2+ 9 -8 k( 4 k+ 3 ) ( 2 k+ 3 ) 4 k 2+ 9 + 4 ( 2 k+ 3 ) 1 6 ( k 2+ 3 k) 4 k 2+ 9 -1 6 k( 2 k+ 3 ) 4 k 2+ 9 + 4 = 1 0 8 3 6= 3 。 所以线段 MN 的中点是定点( 0 , 3 ) 。 考点解读: 近年高考命题对圆锥曲线中的 定点、 定值问题考查较多, 是近年高考命题的 热点, 且 常 考 常 新, 试 题 综 合 性 较 强, 难 度 较 大。圆锥曲线中定点问题的常用解法: ( 1 ) 引 进参数法, 引进动点的坐标或动直线中系数为 参数表示变化量, 再研究变化的量与参数何时 没有关系, 找到定点; ( 2 ) 特殊到一般法, 根据 动点或动直线的特殊情况探索出定点, 再证明 该定点与变量无关。圆锥曲线中定值问题的 常用解法: ( 1 ) 从特殊入手, 求出定值, 再证明 这个值与变量无关; ( 2 ) 直接推理、 计算, 并在 计算推理的过程中消去变量, 从而得到定值。 ( 责任编辑 徐利杰) 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
例说解析几何中的经典解法 ■河南省南阳市一中 王喜朝 解析几何是考查“ 数学运算, 逻辑思维, 数学建模” 等数学素养的绝佳载体, 是对同学 们的数学思维、 科学思维影响最大的一 个 模 块。解 析 几 何 是 “ 多 思 考 少 计 算 的 最 佳 代 表” , 研究解析几何中的经典解法很有 意 义, 用一句话来概括就是: 几何 优 先, 代 数 为 本, 优化算法, 熟记结论。下面笔 者 结 合 实 例 来 说明, 以期能够抛砖引玉。 一、巧用图形性质捕捉几何解法 解析几何是数 形 结 合 的 典 范, 不 同 的 题 型侧重点有所不同, 由于几何解法不易 严 谨 地表达出来, 故几何解法更多地在填空、 选择 题中体现。很多圆锥曲线题如果能够找到几 何解法, 就会比代数解法简便。 例 1 ( 2 0 2 2 年 新 高 考 Ⅰ 卷 第 1 6 题) 已知椭圆 C: x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ( a > b > 0 ) , 椭 圆 C 的上顶点为A, 两个焦点为 F 1, F 2, 离心率为 1 2。过F 1 且垂直于 A F 2 的直线与椭圆C 交 于 D, E 两点, | D E | = 6 , 则△A D E 的周长是 。 解析: 椭圆 C: x 2 a 2 +y 2 b 2 =1( a > b > 0 ) 的 离心率为1 2, 我们不妨假设椭圆 C: x 2 4 c 2+y 2 3 c 2 = 1 , a= 2 c。 如图1 , 因为椭圆 C 的上顶点为 A, 两个 焦点为F 1, F 2, 所以△A F 1 F 2 为等边三角形。 图1 因过 F 1 且垂直于 A F 2 的直线与椭圆 C 交于D, E 两点, 故k D E = t a n 3 0 ° = 3 3 。 由等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得, | A D|= | D F 2 | , | A E | = | E F 2 | 。 设直线 D E 的 方 程 为y= 3 3 ( x+ c) , D( x 1, y 1) , E( x 2, y 2) 。 将直线方程与 椭 圆 方 程 联 立, 化 简 可 得 1 3 x 2+ 8 c x- 3 2 c 2= 0 。 由韦达 定 理 可 得, x 1 +x 2 = -8 c 1 3 , x 1 x 2 =- 3 2 c 2 1 3 。 因此, |D E|= k 2+ 1| x 1 -x 2|= k 2+ 1 ( x 1+ x 2) 2- 4 x 1 x 2 = 1 3+ 1· - 8 c 1 3 2 + 1 2 8 c 2 1 3 = 4 8 1 3 c= 6 , 解得 c= 1 3 8。 △A D E 的周 长 等 于| D E|+| D F 2|+ | E F 2 | = 4 a= 8 c = 8 × 1 3 8= 1 3 。 点评: 利 用 等 腰 三 角 形 三 线 合 一, 得 出 △A D E?△F 2D E, 进而用椭圆定义求周长, 避免了直接计算三边长的烦琐计算。 二、厘清图形生成过程,找到解题思路 解析几何的基本思想是用代数解析方法 解决几何问题, 因此解析法是处理解析 几 何 问题的 根 本 方 法。 通 过 厘 清 图 形 的 生 成 过 程, 依据正确的画图顺序来顺藤摸瓜, 是找到 解析几何解题思路的一种常用方法。 例 2 ( 2 0 1 6年天津卷) 设椭圆x 2 a 2 + y 2 3 = 1 ( a > 3) 的右焦点为 F, 右顶点为 A。已 知 1 | O F | + 1 | O A |= 3 e | F A | , 其 中 O 为 原 点, e 为椭圆的离心率。 ( 1 ) 求椭圆的方程。 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知