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■黄海英 指数幂是研究指数函数的前提, 掌握了 指数幂的运算方法和技巧是进一步学习指数 函数的基础, 那么怎样才能提高指数幂 的 运 算技巧呢? 一、 平方与配方 指数运算与根 式 运 算, 从 本 质 上 看 都 是 实数运算, 因此它们的运算离不开实数 运 算 公式, 尤其是完全平方公式的灵活运用。 例1 已 知 m + 1 m =4 , 求 下 列 各 式 的值: ( 1 ) m+m -1。( 2 ) m 2+m -2。( 3 ) m 3+ m -3。 解: ( 1 ) 由 m + 1 m 2 =m + 1 m +2= 1 6 , 可得 m+1 m = 1 4 。 ( 2 ) 由 m+1 m 2 =1 9 6 , 可 得 m 2+ 1 m 2 + 2 = 1 9 6 , 所以 m 2+ 1 m 2= 1 9 4 。 ( 3 ) 易 得 m 3 +m -3 = ( m +m -1) ( m 2 + m -2- 1 ) = 1 4 × 1 9 3 = 2 7 0 2 。 二、 转化为指数幂的形式 指数式与根式 是 可 以 互 相 转 化 的, 将 根 式转化为指数幂的形式, 能更好地利用 指 数 幂的运算公式, 使运算更有效。 例2 ( 1 ) 计算: 7 3 3- 3 32 4- 6 3 1 9 + 4 3 3 3。 ( 2 ) 化 简: 3 a 7 2 a -3 ÷ 3a -8 · 3a 1 5 ÷ 3 a -3 · a -1 。 解: ( 1 ) 7 3 3- 3 32 4- 6 3 1 9 + 4 3 3 3 = 7 × 3 1 3 - 3 ×( 3 × 2 3) 1 3 - 6 × 3 -2 3 + 3 1 4 × 3 1 1 2= 7 × 3 1 3 - 6 × 3 1 3 - 2 × 3 1 3 + 3 1 3 = 0 。 ( 2) 3 a 7 2 a -3 ÷ 3a -8 · 3a 1 5 ÷ 3 a -3 · a -1 = 3 a 7 2a -3 2 ÷ a -8 3a 1 5 3 ÷ 3 a -3 2a -1 2 = 3a 2 ÷ a 7 3 ÷ 3a -2 =a 2 3 ÷ a 7 3 1 2 ÷( a -2) 1 3 = a 2 3 ÷ a 7 6 ÷ a -2 3 = a 2 3-7 6 ÷ a -2 3 = a -1 2+2 3 = a 1 6 = 6 a。 三、 整体代换 在指数幂运算 中, 有 时 在 条 件 中 会 出 现 多个字母的轮换式, 这时可利用整体代换, 使 得解题最有效、 简捷。 例3 已知x+ y= 1 2 , x y= 9 , 且x < y, 求 x 1 2 - y 1 2 x 1 2 + y 1 2 的值。 解: x 1 2 - y 1 2 x 1 2 + y 1 2 = x 1 2 - y 1 2 2 x 1 2 + y 1 2 x 1 2 - y 1 2 = ( x+ y) - 2 ( x y) 1 2 x- y 。由x+ y= 1 2 , x y= 9 , 且 x < y,可 得 x - y = - ( x- y) 2 = - ( x+ y) 2- 4 x y= - 1 2 2- 4 × 9 = - 6 3。所以 x 1 2 - y 1 2 x 1 2 + y 1 2 = 1 2 - 2 × 9 1 2 - 6 3 =- 3 3 。 四、 巧用“ 1 ” 的变形 在数学解题中, “ 1 ” 是一 个 万 变 高 手, 在 指数幂运算中, 它可转化为两个互为倒 数 的 数的积, 从而为利用有关运算公式创造条件。 例4 计算: 1 - a -1 a 1 2 - a -1 2 - 1 + a -1 2 1 + a 1 2 ( a > 0 ) 。 解: 原式=a -1( a- 1 ) a -1 2 ( a- 1 ) - a -1 2 a 1 2 + 1 1 + a 1 2 = a -1 - -1 2 - a -1 2 = 0 。 作者单位: 江苏省太仓市明德高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
■朱 梅 指数、 对数和幂的代数式的比较大 小 问 题, 是高考中的常考点, 高考主要以选择题的 形式出现, 考查指数、 对数、 幂的基本运算, 以 及相关的基本初等函数的图像与性质的应用。 一、 单调性法 例1 已知a= l o g 3 1 2, b= l nπ , c= b a, 则a, b, c 的大小关系是( ) 。 A. b > c > a B . b > a > c C . c > b > a D. c > a > b 分析: 根据题设条件, 利用对数函数的单 调性进行放缩处理, 分别确定参数a, b 的取 值范围, 在此基础上确定参数c 的取值范围, 从而得到a, b, c 的大小关系。 解: 因为- 1 = l o g 3 1 3 < l o g 3 1 2 < l o g 3 1 = 0 , 所以- 1 < a < 0 。因为l nπ > l n e = 1 , 所以 b > 1 。又0 < b a < b 0= 1 , 所以0 < c < 1 。 综上分析, 可得b > c > a。应选 A。 利 用 指 数 函 数、 对 数 函 数, 以及幂函数的单调性比较 代数式的大小, 首先要观察代数式形式 的 异 同, 底数相同时, 可考虑指数 函 数 的 单 调 性, 指数相同时, 可考虑幂函数的单调性, 当都不 相同时, 可分析代数式的大致范围, 进行比较 大小。比较代数式的大小的 两 个 思 路: 一 是 判断出各个数值所在的区间( 一般是三个区 间( -∞, 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , + ∞) ) , 二是利用函 数的单调性比较大小。 二、 媒介法 例2 若a= l o g 2 3 , b= l o g 3 4 , c= l o g 4 5 , 则a, b, c 的大小关系是( ) 。 A. a < b < c B . b < c < a C . b < a < c D. c < b < a 分析: 根据题设条件, 通过对数式的合理 放缩处理, 引入中间值3 2, 5 4作为媒介进行过 渡处理, 合理“ 串联” 起各参数a, b, c 所对应 的关系式与对应“ 媒介值” 之间的大小关系, 进而加以正确分析与判断。 解: 依题意知, a= l o g 2 3 > l o g 2 2 2=3 2, b= l o g 3 4 < l o g 3 3 3=3 2, 所以a > b。 由4 4 > 3 5, 两 边 同 取 以 3 为 底 的 对 数 可 得4 l o g 3 4 > 5 , 所 以 b=l o g 3 4 > 5 4。 而 c= l o g 4 5 < l o g 4 4 2=5 4, 所以b > c。 综上可知, a > b > c。应选 D。 指数、 对 数、 幂 的 比 较 大 小 问 题 , 要 注 意 一 些 特 殊 值 如0 , 1 , 1 2, e等 的应用, 通常可以借助媒介 这一特殊的“ 桥梁” 合理构建不等关系, 从而 实现比较大小的目的。 三、 数形结合法 例3 已知x, y, z 均为大于 0 的实数, 且2 x= 3 y= l o g 5 z, 则x, y, z 的大小关系正确 的是( ) 。 A. x > y > z B . x > z > y C . z > x > y D. z > y > x 分析: 根据题设条件, 将所求问题转化为 三个函 数 与 对 应 直 线 的 交 点 的 横 坐 标 的 关 系, 作出 函 数 的 图 像, 利 用 数 形 结 合 法 确 定 x, y, z 的大小关系。 解: 依题意可知x, y, z 均为大于0的实 数, 所以2 x= 3 y= l o g 5 z > 1 。 图1 所求问题可转化为函数 y=2 x, y=3 x, y= l o g 5 x 与 直 线y= t > 1 的 交 点 的 横 坐 标 的关系, 从而可比较x, y, z 的大小。 作出函数y= 2 x, y=3 x, y =l o g 5 x, 以 及直线y= t > 1 的 图 像, 如图1所示。 结合图像可知, 其 4 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
横坐标的关系为z > x > y。应选 C 。 利用 数 形 结 合 法 进 行 代 数式的比较大小时, 通过观察 相应的代数式的结构特征, 画出对应的 函 数 图像, 观察函数图像的交点位置, 从而确定所 给指数、 对数、 幂的大小关系。 四、 特殊值法 例4 已 知 a, b, c 满 足a= l o g 5 ( 2 b + 3 b) , c= l o g 3( 5 b- 2 b) , 则( ) 。 A. | a- c | ≥ | b- c | , | a- b | ≥ | b- c | B . | a- c | ≥ | b- c | , | a- b | ≤ | b- c | C . | a- c | ≤ | b- c | , | a- b | ≥ | b- c | D. | a- c | ≤ | b- c | , | a- b | ≤ | b- c | 分析: 根据题设条件, 利用特殊值法, 选 取特殊值b=2 , 代 入 相 应 的 关 系 式, 合 理 作 差比较, 从而结合对数运算, 排除不满足特殊 值的选项, 进而得到正确的结果。 解: 令 b=2 , 则 a =l o g 5 ( 2 b +3 b ) = l o g 5 1 3 , c= l o g 3( 5 b -2 b) = l o g 3 2 1 , 此 时 a < b < c, 即c- a > c- b > 0 , 也即 | a- c | > | b- c | , 排除 C 、 D。 因为b- a= 2 - l o g 5 1 3 = l o g 52 5 1 3 , c- b= l o g 3 2 1 - 2 = l o g 3 7 3, 又 5 > 3 > 1 , 2 5 1 3 < 7 3, 所 以c- b > b- a > 0 , 即 | a- b | < | b- c | , 排除 A。应选 B 。 特殊 值 法 是 “ 小 题 小 做” 的重要策略, 利用特殊值法进 行合理排除, 是一种常见的解题方法, 这种方 法既可以提高解题速度, 又能提高解题 的 准 确性。 五、 引入参数法 例5 已知l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z > 1 , 则 2 x , 3 y , 5 z 的大小排序为( ) 。 A. 2 x < 3 y < 5 z B . 3 y < 2 x < 5 z C . 5 z < 2 x < 3 y D. 5 z < 3 y < 2 x 分析: 根据题设 条 件 中 的 不 定 方 程 引 入 参数, 结合对数式与指数式的互化, 可得对应 代数式的指数幂形式, 利用幂函数的单 调 性 即可判断大小关系, 从而得到三个代数 式 的 大小排序。 解: 依题意可设l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z= k > 1 , 则 2 x = 2 2 k =2 1 - k, 3 y = 3 3 k =3 1 - k, 5 z = 5 5 k = 5 1 - k。因为 1- k < 0 , 所以 2 1 - k > 3 1 - k > 5 1 - k, 所以5 z < 3 y < 2 x 。应选 D。 当题 目 条 件 中 出 现 连 等 式时, 可通过引入参数把连等 式设为一个常数, 利用指数式与对数式 的 相 互转化, 进行大小比较。利用 此 方 法 解 决 问 题的关键是熟悉指数、 对数运算公式, 以及指 数函数与对数函数的图像与性质的应用。 1 . ( 多选 题) 已 知l o g 3 a > l o g 3 b, 则 下 列 不等式一定成立的是( ) 。 A. 0 < 1 b < 1 a B . l o g 3( a- b) > 0 C . 3 a- b > 1 D.1 3 a < 1 2 b 提示: 由l o g 3 a > l o g 3 b, 可得a > b > 0 , 所 以0 < 1 a < 1 b , A 错 误。 a- b > 1 不 一 定 成 立, 所以l o g 3( a- b) > 0不一定成立, B错误。 3 a- b > 3 0 =1 , C 正 确。 1 3 a < 1 3 b < 1 2 b , D 正确。应选 C D。 2 . ( 多 选 题 ) 已 知 函 数 m ( x) =2 x, h( x) = 3 x, 且 m( a) = h( b) , 则下列式子可能 成立的是( ) 。 A. a < 0 , b > 0 B . a < b < 0 C . a= b D. 0 < b < a 提示: 在 同 一 坐 标 系 下 画 出 函 数 m( x) 和h( x) 的 图 像 ( 图 略 ) 。 结 合 图 像 得, 当 m( a) = h( b) 时, a, b 的 关 系 可 能 为a < b < 0 , a= b= 0 , 0 < b < a。应选 B C D。 作者单位: 江苏省高邮第一中学 ( 责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
■刘长柏 对数的换底公式可以实现不同底数的对 数式之间的转化, 它可正用、 逆 用, 还 可 以 变 形应用。灵活应用对数的换 底 公 式, 有 利 于 提高解题能力和应变能力。 一、 换底公式的正用 例1 若l o g 1 4 2 = a, 1 4 b= 5 , 用a, b 表示 l o g 3 5 2 8 = 。 解: 因 为 1 4 b =5 , 所 以 b=l o g 1 4 5 , 所 以 l o g 3 5 2 8= l o g 1 4 2 8 l o g 1 4 3 5= l o g 1 4 1 4 + l o g 1 4 2 l o g 1 4 1 4 + l o g 1 4 5 - l o g 1 4 2= 1 + a 1 + b- a。 对数的换底公式中的底, 可由题中的条件决定, 也可换 为常用对数的底。用已知对数的值表示所求 对数的值的关键是灵活“ 换底” 。 练习1 : 已知l g 2 = a, l g 3 = b, 则l o g 4 7 5 =( ) 。 A. a- b+ 2 2 a B . b- 2 a+ 2 2 a C . b- a+ 2 2 a D. 2 a- b+ 2 2 a 提示: 因为l o g 4 7 5 = l g 7 5 l g 4 = l g3 × 5 2 2 l g 2 = l g 3 + 2 l g 5 2 l g 2 =l g 3 + 2 ( 1 - l g 2 ) 2 l g 2 , 又 l g2=a, l g 3 = b, 所以l o g 4 7 5 = b+ 2 - 2 a 2 a 。应选 B 。 二、 换底公式的逆用 例2 若 2 x =5 , l o g 3 5=y, 则x- y x+ y = 。 解: 因 为 2 x =5 , 所 以 x =l o g 2 5 , 所 以 x- y x+ y = 1 y -1 x 1 y +1 x =l o g 5 3 - l o g 5 2 l o g 5 3 + l o g 5 2= l o g 5 2 3 l o g 5 6 = l o g 6 2 3。 逆向 应 用 对 数 的 换 底 公 式是解答本题的关键。 练习2 : 已知 2 x =3 , l o g 2 8 9 =y, 则y x = 。 提示: 由 2 x =3 , 可 得 x=l o g 2 3 。 因 为 y=l o g 2 8 9, 所 以 y x = l o g 2 8 9 l o g 2 3 =l o g 3 8 9 = 3 l o g 3 2 - 2 。 三、 换底公式的变形应用 例3 若1 2 a = 3 b =m, 且1 a -1 b = 2 , 则 m= 。 解: 因为1 2 a = 3 b =m, 且1 a -1 b = 2 , 所以 m > 0且m≠ 1 , 所以a= l o g 1 2 m, b= l o g 3 m, 所以 1 a= l o g m1 2 , 1 b = l o g m3 , 所以1 a-1 b = l o g m1 2 - l o g m3 = l o g m4 = 2 , 所以m= 2 。 换底公式的变形式l o g a b = 1 l o g b a, 体 现 了 底 数、 真 数 交 换后, 两个对数的关系。本题 将 指 数 式 转 化 为对数式, 求出1 a , 1 b , 代入1 a - 1 b =2 , 再利 用对数的运算性质得到 m 的值。 练习3 : 已知3 a = 5 b =A, 且1 a +2 b =2 , 则 A 等于 。 提示: 由3 a= 5 b=A, 可得a= l o g 3A, b= l o g 5A, 且 A > 0 , 所以1 a = l o g A3 , 1 b = l o g A5 。 因为1 a + 2 b =2 , 所 以l o g A3+2 l o g A5=2 , 可 得l o g A3+l o g A2 5=2 , 即 l o g A7 5=2 , 所 以 A 2= 7 5 。因为 A > 0 , 所以 A= 5 3。 作者单位: 江苏省盐城市时杨中学 ( 责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
■金海平 对数是高中数学中的重要知识点, 对数 中的求值问题是同学们容易出错的地 方, 解 这类问题的关键是弄清题意, 选准公式, 细心 计算。 一、 利用两个同底的对数相等求值 例 1 设l ga+ l g b=2 l g( a-2 b) , 则 l o g 4 b a 的值为 。 解: 因为l g a+ l g b=2 l g ( a-2 b) , 所 以 a > 0 , b > 0 , a-2 b > 0 , 所以a b=( a-2 b) 2, 即a 2- 5 a b+ 4 b 2= 0 , 解得a= 4 b 或a= b( 舍 去) , 所以l o g 4 b a =- 1 。 利用 两 个 同 底 的 对 数 相 等, 得 到 真 数 相 等, 再 通 过 转 化即可求值, 但要注意对数的真数恒为正。 二、 利用对数的性质求值 例2 计算: l o g 1 32 7 + e l n e= 。 解: l o g 1 32 7 + e l n e= l o g 3 3 -3+ e =- 3 + e 。 利用 对 数 恒 等 式 l o g a a N =N( a > 0 , 且a≠1 , N ∈R) , a l o g aN =N( a > 0 , 且a≠1 , N > 0 ) 时, 一 定 要 注意公式的结构, 当指数的底数和对数 的 底 数是同一个数时, 才能用此公式。 三、 利用对数与指数的转化关系求值 例3 若 2 a =5 b =1 0 , 则 2 a + 2 b 的 值 为 。 解: 因为 2 a =5 b =1 0 , 所 以 a= l o g 2 1 0 , b= l o g 5 1 0 , 所以2 a +2 b = 2 l g 2 + 2 l g 5 = 2 。 对数源于指数, 对数与指 数互 为 逆 运 算。对 数 与 指 数 之间的关系: 当a > 0 , 且a≠1 时, a x =N ? x= l o g aN。 四、 利用对数的换底公式求值 例4 若x l o g 3 8 = 1 , 则8 x + 8 - x 的值为 。 解: 因为x l o g 3 8 = 1 , 所以x= l o g 8 3 , 所以 8 x+ 8 - x= 8 l o g 8 3+ 8 - l o g 8 3= 3 +1 3= 1 0 3。 对数换底公式为l o g a b= l o g c b l o g c a( a > 0 且 a ≠1 , b > 0 , c > 0 且 c ≠1) 。 特 别 地, l o g a b·l o g b a=1 ( a > 0且a≠1 , b > 0且b≠1 ) 。 五、 利用分段函数的性质求值 例 5 已 知 函 数 f ( x ) = 1 2 x , x≥ 4 , f( x+ 1 ) , x < 4 , 则 f ( 2+l o g 2 3) 的 值 为 。 解:( 方 法 1)因 为 函 数 f ( x )= 1 2 x , x≥ 4 , f( x+ 1 ) , x < 4 , 所以f( 2+ l o g 2 3 ) =f( 3 + l o g 2 3 ) = 1 2 3 + l o g 2 3 = 1 8 × 1 2 l o g 2 3 = 1 8× 2 -l o g 2 3=1 8× 2 l o g 2 3-1 =1 8×1 3=1 2 4 。 ( 方 法 2) 因 为 函 数 f ( x ) = 1 2 x , x≥ 4 , f( x+ 1 ) , x < 4 , 所 以 f ( 2 + l o g 2 3)= f( l o g 2 3 + 3 ) = f( l o g 2 2 4 ) = 1 2 l o g 2 2 4 = 2 - l o g 2 2 4 = 2 l o g 2 2 4-1 =1 2 4 。 解答 本 题 的 关 键 是 判 断 2 + l o g 2 3 是 大 于 4 还 是 小 于 4 , 再把2 + l o g 2 3代入分段函数的解析式中。 解题时容易出错的地方是直接把2 + l o g 2 3代 入 1 2 x 中进行计算。 六、 利用韦达定理求值 例6 设l o g a c, l o g b c 是 方 程x 2 -3 x+ 1 = 0的两个根, 则l o g a b c 的值为 。 7 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知
解: 由韦达定理 得 l o g a c + l o g b c = 3 , l o g a c · l o g b c = 1 , 所 以 1 l o g c a+ 1 l o g c b= 3 , 1 l o g c a· 1 l o g c b= 1 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 所以 l o g c a+ l o g c b l o g c a· l o g c b= 3 , 1 l o g c a· l o g c b= 1 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 所 以 l o g c a+ l o g c b= 3 , l o g c a· l o g c b= 1 。 所以( l o g c a- l o g c b) 2 = ( l o g c a+ l o g c b) 2 - 4 l o g c a· l o g c b= 3 2- 4 = 5 , 即l o g c a- l o g c b =± 5, 所以l o g c a b =± 5。 故l o g a b c= 1 l o g c a b =± 5 5 。 一 元 二 次 方 程 a x 2 + b x+ c=0 ( a≠0 ) 的 根 x 1、 x 2 与系数的关系为 x 1+ x 2=-b a , x 1 x 2=c a 。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 七、 利用函数的性质求值 例7 若 函 数 f( x) = l o g a x( a > 0 , 且 a≠1 ) 在区间[ a, 2 a] 上的最大值是最小值的 3倍, 则a 的值为 。 解: 当0 < a < 1时, f( x) = l o g a x 是定义 域为 ( 0 , + ∞ ) 的 减 函 数, 所 以 f ( x) m a x = l o g a a = 1 , f ( x ) m i n =l o g a 2 a,所 以 1 = 3 l o g a 2 a, 所以a=( 2 a) 3, 即a= 2 4 。 当a > 1 时, f( x) = l o g a x 是 定 义 域 为 ( 0 , + ∞) 的 增 函 数, 所 以 f( x) m i n= l o g a a= 1 , f( x) m a x =l o g a 2 a, 所 以 3=l o g a 2 a, 所 以 a 3= 2 a。因为a > 1 , 所以a= 2。 综上可 得, 满 足 条 件 的 a 的 值 为 2 4 或 2。 对数 函 数 f( x) = l o g a x ( a > 0且a≠1 ) 的单调性与底 数a 有关, 因此要注意分类讨论。 八、 利用函数的周期性求值 例8 设f( x) 是定义在 R 上的函数, 且 f( x+2 ) =f( x+1 ) -f( x) , 若 f( 1 ) = l g3 2, f( 2 ) = l g 1 5 , 则f( 2 0 2 3 ) = 。 解: 因为f( x) 是定义在 R 上的函数, 且 f( x+ 2 ) =f( x+1 ) -f( x) , f( 1 ) = l g3 2, f( 2 ) = l g 1 5 , 所 以 f( 3 ) =f( 2 ) -f( 1 ) = l g 1 5 - l g 3 2 =l g1 0=1 , f ( 4) =f ( 3) - f( 2 ) = 1-l g1 5=l g 2 3, f ( 5) =f ( 4) - f( 3 ) = l g2 3-1=l g 1 1 5 , f ( 6) =f ( 5) - f( 4 ) = l g 1 1 5- l g 2 3 = -1 , f( 7 ) =f( 6 ) - f( 5 ) =- 1- l g1 1 5 = l g 3 2, f( 8 ) =f( 7 ) - f( 6 ) = l g3 2+ 1 = l g 1 5 , …。所以函数f( x) 的周期为6 , 所以f( 2 0 2 3 ) =f( 6 × 3 3 7 + 1 ) = f( 1 ) = l g3 2= l g 3 - l g 2 。 由已 知 条 件 和 对 数 的 运 算性质, 找出函数值的变化规 律, 即可得到函数的最小正周期, 利用周期可 求得结果。 若- 1 < l o g a 3 4 < 1 ( a > 0且a≠1 ) , 求实 数a 的取值范围。 提 示: 因 为 -1 < l o g a 3 4 < 1 , 所 以 l o g a a -1 < l o g a 3 4 < l o g a a。当 a > 1 时, 不 等 式l o g a a -1 < l o g a 3 4 < l o g a a 等价于0 < a -1 < 3 4 < a, 解 得a > 4 3; 当 0 < a < 1 时, 不 等 式 l o g a a -1 < l o g a 3 4 < l o g a a 等 价 于a -1 > 3 4 > a > 0 , 解得0 < a < 3 4。故实数a 的取值范围 是 0 , 3 4 ∪ 4 3, +∞ 。 作者单位: 湖北省荆州市石首市第一中学 ( 责任编辑 郭正华) 8 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 1月 全科互知