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把握命题规律 提高备考效益 — — —三角函数专题命题分析 ■广东汕头华侨中学 张应楷 函数是描述客观世界中变量关系和规律 的最为基本的数学语言和工具, 在解决 实 际 问题时发挥着重要作用。三角函数是重要的 函数模型之一, 也是一类典型的周期函数, 是 高中数学重点学习的内容, 也是每年高 考 重 点考查的内容之一。近年来, 高 考 全 国 卷 中 三角函数试题突出基础性与综合性, 主 要 考 查三角公式和三角函数图像性质, 考查 同 学 们的分析问题、 解决问题、 运算求解及推理论 证等能力。本文结合实例, 对 近 年 来 高 考 全 国卷中三角函数的命题规律进行分析, 目 的 是帮助同学们把握好高考动向, 提高复 习 备 考效益。 一、利用主要三角公式的变形求值 例 1 若 α ∈ -π 2, 0 , s i n α = 2 - c o s α t a nα 2, 则t a n α= 。 解析: 依 题 意 可 得 2 s i nα 2c o sα 2 = ( 2- c o s α) s i nα 2 c o sα 2 。又α∈ -π 2, 0 , 故 s i nα 2 ≠ 0 , 所以2 c o s 2 α 2= 2-c o s α, 即 1+c o s α=2 - c o s α, 所 以 c o s α= 1 2。又α∈ -π 2, 0 , 故α=-π 3, 所以t a n α=- 3。 评注: 本题主要 利 用 三 角 函 数 的 二 倍 角 公式、 同 角 基 本 关 系、 降 幂 公 式 进 行 化 简 求 值, 试题难度不大, 属于基础题。 例 2 已 知α∈ 0 , π 2 , s i n 4 α 1 + c o s 4 α= s i n α c o s α- 2 , 则t a nα 2=( ) 。 A . 1 5 5 B . 5 3 C . 1 5 1 5 D . 5 5 解 析: 因 为 α ∈ 0 , π 2 , s i n 4 α 1 + c o s 4 α = s i n α c o s α- 2 , 所 以2 s i n 2 α c o s 2 α 2 c o s 2 2 α = s i n α c o s α- 2 , 化 简整理得s i n 2 α c o s α- c o s 2 α s i n α= 2 s i n 2 α , 可 得s i n α=4 s i n α c o s α , 则 c o s α= 1 4, s i n α= 1 5 4 , 所 以 t a n α= 1 5。 又 因 为 t a n α= 2 t a n α 2 1 - t a n 2 α 2 = 1 5, 所以 1 5 t a n 2 α 2+ 2 t a n α 2- 1 5= 0 , 解得t a n α 2= 1 5 5 。故选 A 。 评注: 本题主要 利 用 二 倍 角 公 式 和 两 角 差的正弦公式, 化简已知等式并可得t a n α= 1 5, 结合α∈ 0 , π 2 , 以及二倍角公式可求 出t a nα 2 的 值。试 题 突 出 基 础 性 与 综 合 性, 问题的求解不仅需要掌握主要的三角 公 式, 还需要较强的运算求解和推理论证能力。 例 3 已知θ∈ -π 2, 0 , 且c o s 2 θ- 3 s i nθ-π 2 = 1 , 则t a n π 4- θ =( ) 。 A. 2 6 B . 2 5 - 4 6 2 3 C . 3- 2 D. - 2 - 3 解析: 因 为 c o s 2 θ=2 c o s 2 θ-1 , 所 以 2 c o s 2 θ+ 3 c o s θ-2=0 , 所 以 ( 2 c o s θ-1 ) · ( c o s θ+ 2 ) = 0 , 所以c o s θ=1 2或c o s θ=- 2 ( 舍去) , 因为θ∈ -π 2, 0 , 所以θ=-π 3, 所 以t a n θ=- 3, 所以t a n π 4- θ =1 - t a n θ 1 + t a n θ = 1 + 3 1 - 3 =- 2 - 3。故选 D。 评注: 本题主要 利 用 诱 导 公 式 对 已 知 条 件进行化简, 再 通 过 因 式 分 解 求 得 c o s θ 的 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知 

3 1 - c o s ω x 2 - 3 + 1 = s i n ω x 2 - 3 c o s ω x 2 + 1 =2 s i n ω x 2 -π 3 +1 , 由 x 1, x 2 是f( x) 的两个极值点, 且| x 1-x 2 | m i n= π 2, 得f( x) 的最小正周期 T =2× π 2 =π , 所 以 2 π ω 2 = π , 解得ω= 4 , 故选项 A 正确; 对于选项 B : 因为ω= 4 , 所以 f( x) = 2 s i n2 x-π 3 + 1 , 令2 k π -π 2≤ 2 x-π 3≤π 2+ 2 k π , k∈Z , 得 k π - π 1 2≤x≤5 π 1 2+k π , k∈Z , 因 为 x∈ [ 0 , π ] , 所以x∈ 0 , 5 π 1 2 ∪ 1 1 π 1 2 , π , 所以 f( x) 在 [ 0 , π] 上 的 单 调 递 增 区 间 为 0 , 5 π 1 2 , 1 1 π 1 2 , π , 故选 项 B 错 误; 对 于 选 项 C : 因 为 f( x) 在 5 π 1 2 , 1 1 π 1 2 上 单 调 递 减, 在 1 1 π 1 2, π 上 单调递增, 且f( π ) = 1 - 3 > -4 5, f 1 1 π 1 2 = - 1 < -4 5, 结合数形结合可知f( x) =-4 5在 5 π 1 2 , π 上存在两个不相等的根, 故选项 C 正 确; 对于选项 D : 因为x∈ π 4, π 2 , 所以2 x- π 3∈ π 6, 2 π 3 , 所 以 2 s i n2 x-π 3 +1∈ [ 2 , 3 ] , 因为| f( x) -m | < 2 在 π 4, π 2 上 恒 成 立, 即 m- 2 < f( x) < 2 +m 在 π 4, π 2 上恒 成立, 所以 m- 2 < 2 , 2 +m > 3 , 解得1 < m < 4 , 故选项 D 正确。故选 B 。 评注: 本题综合性很强, 全面考查了三角 恒等变形, 三角函数的图像性质, 需要同学们 具有较强的分析问题、 解决问题、 运算求解与 推理论证等能力。 例 7 已 知 函 数 f( x) =s i n ( ω x+φ) 其中ω > 0 , | φ | < π 2 , T 为f( x) 的最 小 正 周期, 且 满 足 f 1 3T =f 1 2T 。 若 函 数 f( x) 在区间( 0 , π ) 上恰 有 2 个 极 值 点, 则 ω 的取值范围为 。 解析: 因为f( x) 的最小正周期 T=2 π ω , 又f 1 3T =f 1 2T , 且 1 2T - 1 3T = 1 6T < 1 2T, 得 x= 1 2T+1 3T 2 = 5 1 2 T 为f( x) 的 一条对称轴, 所以ω× 5 1 2 T+ φ=5 π 6 + φ= k π +π 2( k∈Z ) , 解得φ= k π -π 3( k∈Z ) 。又因 为 φ ∈ -π 2, π 2 , 则 k =0 , φ = - π 3, 故 f( x) = s i nω x-π 3 。因为x∈( 0 , π ) , 所以 ω x-π 3 ∈ -π 3, ω π -π 3 。若 函 数 f( x) 在 区间( 0 , π ) 上 恰 有 2 个 极 值 点, 则3 π 2 < ω π- π 3≤ 5 π 2 , 解得 1 1 6 < ω≤ 1 7 6, 故ω 的取值范围为 1 1 6, 1 7 6 。 评注: 本题具有一定的综合性、 灵活性、 创新性, 问题的求解不仅需要熟悉三角 主 要 公式和三角函数性质, 还需要有较强的 运 算 求解与推理论证等能力。 近年来, 高考全 国 卷 中 的 三 角 函 数 试 题 突出基础性与综合性, 很多时候一道试 题 涉 及多个知识点。因此, 在复习 三 角 函 数 时 一 定要理解三角函数概念的本质, 弄清三 角 公 式的来龙去脉, 熟练掌握三角公式, 并利用三 角公式对问题进行化简、 变形, 掌握三角函数 图像的性质, 平时要勤于思 考, 动 手 实 践, 积 累解题经验, 提升分析问题、 解 决 问 题、 运 算 求解及推理论证等能力, 只有这样才能 切 实 提升自身的数学能力, 发展自身的数学素养, 提高高考竞争力。 ( 责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知 

识。试题难度不大, 属于中档题。 二、以数学文化或实际问题为问题情境, 利用正余弦定理、三角公式解决问题 创设合适的问 题 情 境, 提 出 有 价 值 的 问 题是高考命题的重要特点, 以中国优秀 传 统 文化、 生活实际等为问题情境, 在近几年的高 考中尤为常见, 这类题对同学们的数学 综 合 能力和数学素养提出了更高的要求。 例 3 古代数学家刘徽编撰的《 重差》 是中国最早的一部测量学著作, 也为地 图 学 提供了数学基础。现根据刘徽的《 重差》 测量 图1 一个球体 建 筑 物 的高 度, 如 图 1 , 已知 A 是球体建 筑物与水平地面 的接触点( 切点) , 地面上B, C 两点与点 A 在同一条直线上, 且 在点A 的同侧。若在B, C 处分别测得球体建 筑物的最大仰角为6 0 ° 和2 0 ° , 且 B C= 1 0 0 m, 则该球体建筑物的高度约为( ) 。( c o s 1 0 ° ≈ 0 . 9 8 5 ) A. 4 9 . 2 5 m B . 5 0 . 7 6 m C . 5 6 . 7 4 m D. 5 8 . 6 0 m 图2 解 析: 如 图 2 , 设球的 半 径 为 R, 则 A B = 3 R, A C = R t a n 1 0 ° , 因为 B C = R t a n 1 0 ° - 3 R = 1 0 0 , 所 以 R = 1 0 0 1 t a n 1 0 ° - 3 = 1 0 0 s i n 1 0 ° c o s 1 0 ° - 3 s i n 1 0 ° = 1 0 0 s i n 1 0 ° 2 s i n ( 3 0 ° - 1 0 ° ) =5 0 s i n 1 0 ° s i n 2 0 ° = 5 0 s i n 1 0 ° 2 s i n 1 0 ° c o s 1 0 ° = 2 5 c o s 1 0 °= 2 5 0 . 9 8 5 ,所 以 2 R = 5 0 0 . 9 8 5 ≈ 5 0 . 7 6 。故选 B 。 评注: 本题以数学文化为情境, 提出与三 角有关的问题。试题着力考查同学们的数学 阅读理解 能 力、 分 析 问 题 能 力、 解 决 问 题 能 力、 运算求解能力与推理论 证 能 力。试 题 难 度不大, 属于中档题。 例 4 湿地公园是国家湿地保护体系 图3 的重 要 组 成 部 分, 某 市 计 划 在 如图3所示的四边形 A B C D 区 域 建 一 处 湿 地 公 园。 已 知 ∠D A B =9 0 ° , ∠D B A =4 5 ° , ∠B A C =3 0 ° , ∠D B C = 6 0 ° , A B= 2 2千米, 则C D= 千米。 解 析:在 △B A C 中,由 正 弦 定 理 得 A B s i n ∠A C B = A C s i n ∠A B C, 所 以 2 2 s i n ( 1 8 0 ° - 3 0 ° - 4 5 ° - 6 0 ° )= A C s i n ( 4 5 ° + 6 0 ° ) , 即 2 2 s i n 4 5 °= A C s i n 4 5 ° c o s 6 0 ° + c o s 4 5 ° s i n 6 0 ° , 所以 4= A C 6+ 2 4 , 所 以 A C = 6+ 2。 又 ∠D A B= 9 0 ° , ∠D B A=4 5 ° , 所以 △A B D 为 等腰直角三角形, 所以 A D =A B=2 2。在 △D A C 中, 由 余 弦 定 理 得 C D = A C 2+A D 2- 2 ·A C·A D c o s ∠D A C = 2 3, 所以C D= 2 3。 评注: 本题以生活实际问题为情境, 提出 三角有关的问题。试题考查主要的三角公式 和正余弦定理, 考查同学们运用数学知 识 解 决实际问题的能力。 三、函数与方程视角下的解三角形 利用正余弦定理、 主要的三角公式、 基本 不等式、 三角函数性质等知识, 通过转化与化 归、 函数与方程等思想方法解有关最值 等 问 题, 是高考对解三角形重点考查的题型。 例 5 已知△A B C 的内角 A, B, C 的 对边分别为a, b, c, 且 s i n B s i n A+ c o s B c o s A= 2 c a 。 ( 1 ) 求 A; ( 2 ) 若 2 a+ b= 2 c, 求s i n C。 解析: ( 1) 在 △A B C 中, 因 为s i n B s i n A + c o s B c o s A=2 c a , 由 正 弦 定 理 得s i n B s i n A +c o s B c o s A = 2 s i n C s i n A , 整 理 得s i n ( A+B) s i n A c o s A =2 s i n C s i n A 。 因 为 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知