全科互知
全科互知
全科互知
全科互知
本期邀请以总分7 0 5分考入清华大学的李明阳同学分享自己在高中学习、 生活的经验。李 明阳的数学老师是《 中学生数理化》 的核心作者赵剑涛( 特级教师) , 赵老师对李明阳同学有着怎 样的评价呢? 希望李明阳同学的学习经验分享和赵老师的点评能对同学们的学习有所帮助。 苦中作乐, 自信赢得高考 ■清华大学 李明阳( 毕业于河南省洛阳市孟津区第一高级中学) ( 2 0 2 3年高考成绩: 语文1 3 0分, 数学1 4 9分, 英语1 3 9分, 理综2 8 7分, 共计7 0 5分) 高中的生活可能是枯燥无味的, 往往会 让我们迷茫不知所措, 总有几个夜晚在路上独 自徘徊, 总有几次面对茫茫的人海踌躇彷徨。 每个人都可能身处泥泞, 但总有人仰望星空。 当你失意时, 心中所想的是不是波澜壮阔的大 海和漫天的星光? 熬得过万丈孤独才藏得下 星辰大海。唯 有 苦 中 作 乐, 才 能 自 信 赢 得 高 考。在此分享一下我的高中学习方法和一些 建议, 希望有助于各位同学备战高考。 第一, 摆正心态, 端正态度 我很喜欢这样 一 句 话: “ 高 考, 无 非 就 是 很多人同时做同一套卷子, 然后决定去 哪 一 座城市, 和谁一起过四年, 最 终 发 现, 错 的 每 一道题都是为了遇见对的人, 而对的每 一 道 题是为了遇见更好的自己。 ” 它较为完整地诠 释了高考对我们每个人的重要性, 那就 是 高 中三年的学习不是为了别人, 而是为了 遇 见 更好的自己。不论大家现在 处 于 哪 个 年 级, 什么位次, 我希望大家都能明白学习是 为 了 让自己拥抱更好的未来, 实现自己的理想, 为 中华民族百年之梦想贡献出自己的力量。所 以在这无比重要的高中时期, 我们更要 摆 正 心态, 为迎接更多的挑战做好准备。 第二, 充满自信, 乐观向上 著名心理学家彼得森在一次演讲中提到, 当人们害怕做不好停滞不前时, 我们应摒弃过 多的完美主义与自我怀疑, 开始去做, 并且边 做边调整, 最终往往会在前行的道路中获得意 想不到的结果。朋友们, 我从来不相信一个充 满乐观自信又勤奋努力的人结局会差。我的 一位朋友, 高一的时候经常考年级倒数, 但是 他不懂就问, 即使老师有时候因为他的问题很 抓狂, 但他总是每一天都笑对生活, 脸上无时 无刻不洋溢着微笑。经过三年乐观向上的不 懈努力, 最终他的高考成绩接近6 5 0分, 考入 理想的大学。有人说: “ 爱笑的人运气往往都 不会差” , 而我认为“ 笑对生活并且不懈努力的 人, 结局早已注定是好的” 。 第三, 内心专一, 停止内耗 有同学会问: “ 如果我现在就身处精神内 耗, 该怎么办呢?” 我也曾经纠结过这个问题, 幸运的 是 年 前 我 听 了 一 场 学 长 们 的 线 上 演 讲。我依稀记得其中有位学长在演讲中说了 一句话— — —“ 先 处 理 心 情, 再 处 理 事 情” 。我 们每天真正有效的学习时间顶多1 2个小时, 总时间不能扩充, 但效率可以提高。当杂事、 烦心事处理完毕, 心情好了, 那么做事就会事 半功倍。所以当你焦虑的时 候, 最 重 要 的 是 立刻解决掉你的烦心事, 一天之内解决, 不要 让它影响你接下来的学习和生活。 第四, 直面失败, 接受挑战 高中三年, 我们 总 要 面 对 各 种 各 样 的 考 试。而高考不仅是对知识储 备 的 考 查, 也 是 对应试心态的挑战。在高中 三 年 里, 我 的 成 绩也有起伏, 并不是每一次都能拿到年 级 第 一名, 甚至说我很少拿到第 一 名。面 对 成 绩 的起起伏伏, 相比其他同学的焦虑和难过, 我 会冷静地去面对这些问题。我不会把成绩的 某一次低谷, 当作我人生的失败; 也不会把成 绩的高峰, 当作我可以炫耀 的 资 本。高 中 三 年, 大大小小的考试, 让我学会了“ 天下有大 勇者, 猝然临之而不惊, 无故加之而不怒” 的 处变不 惊; “ 长 风 破 浪 会 有 时” 的 豁 达 恣 肆, “ 千金散尽还复来” 的无惧失败。有同学可能 3 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知
努力了, 但是成绩提升慢, 就 会 影 响 心 情, 这 时心态就变得无比重要。我们首先要看看自 己的努力是真的还是假的, 其次看考试 考 到 的知识点到底和我努力的方向是否一 致, 从 这两方面看下来, 心情往往就不会那么差了。 第五, 把握特点, 抓住重点 高中科目 不 同, 特 点 各 异。当 我 们 把 握 住这些特点, 往往能使我们的效率倍增。 比如语文, 我会 有 一 个 小 小 的 专 门 的 积 累本, 常见的文言文实词的含义, 小说题的答 题模板等, 我都会分门别类 地 归 纳。也 会 准 备一个作文的文件夹, 每一次老师发的 晨 读 作文背诵, 以及每一次考试的优秀范文, 我都 会圈圈点点, 然后收录在里 面。这 些 东 西 我 平常不会去看它, 但是在每一次考试前 我 都 会把它拿出来, 看一看, 背一背。在高考来临 的时候, 我所收录的东西, 都成了我通向未来 的路标, 开启成功之门的钥匙。 再比如数学, 我可能不像其他同学那样, 非常认真地整理纠错本, 我不会将每一 个 错 题都整理在本子上。在听课 的 时 候, 我 会 对 试卷中有疑问的题目, 在旁边简略地记 录 下 解题思路, 我只找思路上有问题的题目, 并将 它摘录到错题本上。我做数 学 题 时, 一 定 要 明白这道题真正考的知识点, 它的本质 是 什 么, 它的解题模型又是什么, 这样我做一道题 就可以触类旁通, 举一反三。除此之外, 一些 特殊的 二 级 结 论 我 们 也 可 以 适 当 地 接 触 一 下, 它们往往会在解题时起到意想不到 的 作 用, 尤其是在考试中会节省很多时间, 从而让 我可以从容地去面对压轴题。而我高三一年 的数学考试也证明了这一点, 每次完成选择、 填空题的时间常常保持在3 0分钟左右。 英语, 我会每天坚持练字, 因为作文的字 迹真的非常重要, 我也会时常回顾老师 讲 过 的阅读理解、 完形填空上面的知识点, 平常准 备一个英语单词小本, 看得多了自然就 记 住 了。如果我做题的思路有问 题, 那 我 就 会 专 门寻找一 些 比 较 难 的 题, 比 如 地 方 卷、 四 级 题, 锻炼自己的思维。除此之外, 英语的口语 也很重要, 多去听听, 这样不仅现在会增强我 们的语感, 而且将来带来的帮助会更大。 最后是理综, 我会严格分配我的时间。最 初阶段, 我会追求速度, 到了后期, 我的做题质 量就一步步提上来了。对于其中的物理, 我的 建议是多做题, 可以分题型去练习。当然, 我 也不是让大家盲目地刷题, 而是有选择性地、 有目的性地去做题。而化学和生物的话, 我会 准备一个积累本, 积累我 平 时 经 常 错 的 知 识 点, 还有一些易错易混的知识点, 考前的时候 翻一翻会有很大帮助。对于积累的习惯, 越早 形成越好, 到高三再去实行, 恐怕为时晚矣。 看时光, 一帧帧过去; 看未来, 一步步走来。 乘风好去, 长空万里, 直下看山河。祝学弟学妹 们前程似锦, 未来可期, 考入自己的理想大学。 名师点评: 河南 省 洛 阳 市 孟 津 区 第 一 高 级中学 赵剑涛( 特级教师) 与明阳同学三年的高中学习生活一路相 伴, 有太多的事记忆犹新, 用几个词来对他进 行评 价 的 话 就 是: 自 信、 狂 热、 淡 定、 追 求 卓 越! 在数学学习上尤为突出, 自信满满, 自诩 数学第一, 大多数情况下是如此。善于钻研, 他对数学抱有极致的热爱, 一方面做了 很 多 的题, 另一方面不断挖掘知识的深度, 在知识 体系和 学 科 素 养 上 有 较 高 的 层 次。在 2 0 2 2 年河南省数学竞赛中荣获一等奖, 这也 使 他 信心倍 增。在 高 三 最 后 一 个 月 的 所 有 练 习 中, 数学选择、 填空题几乎都 是 满 分, 所 以 他 在高考中有着必胜的信心, 也考出了如 他 所 愿的成绩。祝明阳同学在清华大学更上一层 楼! 也祝愿《 中学生数理化》 越办越好! 李明阳同学 ( 责任编辑 徐利杰) 4 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知
直线与圆的高考常见题型总结 ■河南省郸城县第一高级中学 靳 亭 直线与圆是高考的常考内容, 常考查直 线与圆的方程、 切线方程、 直线与圆的位置关 系, 并应用直线和圆的方程解决有关问题, 常 借助于几何法和代数法解决相关问题。下面 针对直线与圆的考查热点进行梳理总 结, 探 究题型命题规律, 揭示解题方法, 提供解题策 略, 希望对同学们的学习有所帮助。 高考热点1 直线与圆的方程 例 1 ( 2 0 2 2 年 全 国 乙 卷) 过 四 点 ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , ( - 1 , 1 ) , ( 4 , 2 ) 中的三点的一个圆 的方程为 。 解析: ( 方 法 一 ) 依 题 意 设 圆 的 方 程 为 x 2+ y 2+D x+E y+F=0( D 2+E 2-4 F > 0 ) 。 若过( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , ( - 1 , 1 ) , 则: F= 0 , 1 6 + 4 D+F= 0 , 1 + 1 -D+E+F= 0 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 解得 F= 0 , D=- 4 , E=- 6 。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 所以圆的方程为 x 2+ y 2-4 x-6 y=0 , 即( x- 2 ) 2+( y- 3 ) 2= 1 3 。 若过( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , ( 4 , 2 ) , 则: F= 0 , 1 6 + 4 D+F= 0 , 1 6 + 4 + 4 D+ 2 E+F= 0 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 即 F= 0 , D=- 4 , E=- 2 。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 所以圆的方程为 x 2+ y 2-4 x-2 y=0 , 即( x- 2 ) 2+( y- 1 ) 2= 5 。 若过( 0 , 0 ) , ( 4 , 2 ) , ( - 1 , 1 ) , 则: F= 0 , 1 + 1 - D+ E+ F= 0 , 1 6 + 4 + 4 D+ 2 E+ F= 0 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 即 F= 0 , D=-8 3, E=- 1 4 3。 ?? ?? ?? ???? ?? ???? ?? 所以圆的方程为x 2+ y 2-8 3 x-1 4 3y= 0 , 即 x-4 3 2 + y-7 3 2 = 6 5 9。 若过( - 1 , 1 ) , ( 4 , 0 ) , ( 4 , 2 ) , 则: 1 + 1 - D+ E+ F= 0 , 1 6 + 4 D+ F= 0 , 1 6 + 4 + 4 D+ 2 E+ F= 0 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 即 F=- 1 6 5, D=- 1 6 5, E=- 2 。 ?? ?? ?? ???? ?? ???? ?? 所以 圆 的 方 程 为 x 2+y 2-1 6 5x-2 y- 1 6 5= 0 , 即 x-8 5 2 +( y- 1 ) 2= 1 6 9 2 5。 故答案 为: ( x-2 ) 2 + ( y-3 ) 2 =1 3 或 ( x-2) 2 + ( y -1) 2 =5 或 x-4 3 2 + y-7 3 2 = 6 5 9或 x-8 5 2 +( y- 1 ) 2= 1 6 9 2 5。 ( 方法二) 由于只要求写出其中一个圆的 方程, 我们写最简单的一个。设O( 0 , 0 ) , A( 4 , 0 ) , B( 4 , 2 ) , 可知O A⊥A B, 所以以O B 为直径 的圆就是过点O, A, B 的圆。因为O B 的中点 为( 2 , 1 ) , | A B | = 2 5, 所以过点 O, A, B 的圆 的方程为( x- 2 ) 2+( y- 1 ) 2= 5 。 例 2 ( 2 0 1 9 年 江 西 高 考) 设 直 线 系 M : x c o s θ+( y- 2 ) s i n θ= 1 ( 0 ≤ θ≤ 2 π ) , 对 于下列四个命题: A. M 中所有直线均经过一个定点 B . 存在定点P 不在 M 中的任一条直线上 C . 对于任意整数n( n≥ 3 ) , 存在正n 边 形, 其所有边均在 M 中的直线上 D. M 中的 直 线 所 能 围 成 的 正 三 角 形 面 积都相等 其中真命 题 的 代 号 是 ( 写 出 所 有 真 命题的代号) 。 解析: 容易知道 M 表示圆x 2+( y- 2 ) 2 = 1的所有切线。 对于 A: 任 意 点 ( x, y) , 若 x 2 + ( y - 2 ) 2≥ 1 , 方 程 x c o s θ+( y-2 ) s i n θ=1 ( 0≤ θ≤ 2 π ) , θ 有有限个解; 若 x 2+( y-2 ) 2 < 1 , 方程x c o s θ+( y- 2 ) s i n θ= 1 ( 0 ≤ θ≤ 2 π ) , θ 无解。因此经过任意点的直线均为有限个。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知
对于 B : ( 0 , 2 ) 不在任一直线上。 对于 C : 做圆x 2+( y- 2 ) 2= 1的外切正 n 边形 即 可。( 将 正 n 边 形 的 中 心 置 于 ( 0 , 2 ) , 中心到边的距离设为1 , 此正n 边形即满 足题意) 对于 D: 注意到任意三条直线若能围 成 一个正三角形, 存在两种情况, 面积不一定相 等。填 B C 。 高考热点2 直线与圆的位置 例 3 ( 2 0 2 1年新高考Ⅱ卷) 已知直线 l : a x+ b y- r 2 =0 与 圆 C: x 2 +y 2 = r 2, 点 A( a, b) , 则下列说法正确的是( ) 。 A. 若点A 在圆C 上, 则直线l与圆C 相 切 B . 若点 A 在圆C 内, 则直线l与圆C 相 离 C . 若点 A 在圆C 外, 则直线l与圆C 相 离 D. 若点 A 在直线l 上, 则直线l 与圆C 相切 解析: 转化点与圆、 点与直线的位置关系 为a 2+ b 2、 r 2 的 大 小 关 系, 结 合 点 到 直 线 的 距离及直线与圆的位置关系即可求解。 圆心 C ( 0 , 0) 到 直 线 l 的 距 离 d = r 2 a 2+ b 2 。 若点 A( a, b) 在圆C 上, 则a 2+ b 2= r 2, 所以 d= r 2 a 2+ b 2 =| r | , 直 线l 与 圆 C 相 切, A 正确。 若点 A( a, b) 在圆C 内, 则a 2+ b 2 < r 2, 所以 d= r 2 a 2+ b 2 > | r | , 直 线l 与 圆 C 相 离, B正确。 若点 A( a, b) 在圆C 外, 则a 2+ b 2 > r 2, 所以 d= r 2 a 2+ b 2 < | r | , 直 线l 与 圆 C 相 交, C错误。 若点 A( a, b) 在直线l上, 则a 2+ b 2- r 2 = 0 , 即a 2+ b 2= r 2, d= r 2 a 2+ b 2 = | r | , 直线 l与圆C 相切, D 正确。 故选 A B D。 例 4 ( 2 0 2 0 年 全 国 Ⅱ 卷) 若 过 点 ( 2 , 1 ) 的 圆 与 两 坐 标 轴 都 相 切, 则 圆 心 到 直 线 2 x- y- 3 = 0的距离为( ) 。 A. 5 5 B . 2 5 5 C . 3 5 5 D. 4 5 5 解析: 因为圆上的点( 2 , 1 ) 在 第 一 象 限, 若圆心不在第一象限, 则圆至少与一条 坐 标 轴相交, 不 满 足 题 意, 所 以 圆 心 必 在 第 一 象 限。 设圆心的 坐 标 为 ( a, a) , 则 圆 的 半 径 为 a, 圆的标准方程为( x- a) 2+( y- a) 2= a 2。 由题 意 得 ( 2-a) 2 + ( 1-a) 2 =a 2, 即 a 2- 6 a+ 5 = 0 , 解得a= 1或a= 5 。 所以圆心的坐标为( 1 , 1 ) 或( 5 , 5 ) , 圆心 ( 1 , 1 ) 到 直 线 2 x-y-3=0 的 距 离 d 1 = | 2 × 1 - 1 - 3 | 5 = 2 5 5 。 圆心( 5 , 5 ) 到直线2 x- y- 3 = 0的距离 d 2= | 2 × 5 - 5 - 3 | 5 = 2 5 5 。 所以, 圆心到直线2 x- y- 3 = 0的距离 为 2 5 5 。选 B 。 高考热点3 直线与圆的对称和相切问 题 例 5 ( 2 0 2 2 年 新 高 考 Ⅱ 卷 ) 设 点 A( - 2 , 3 ) , B( 0 , a) , 若 直 线 A B 关 于y=a 对称的直线与圆( x+ 3 ) 2+( y+ 2 ) 2= 1有公 共点, 则实数a 的取值范围是 。 解析: A( - 2 , 3 ) 关于y= a 对称的点的 坐标为A _ ( - 2 , 2 a- 3 ) , B( 0 , a) 在直线y= a 上, 所以 A _ B 所 在 直 线 即 为 直 线l 。直 线l 的方程为y= a- 3 - 2x+ a, 即( a- 3 ) x+ 2 y- 2 a= 0 。 圆 C: ( x +3) 2 + ( y +2) 2 =1 , 圆 心 C( - 3 , - 2 ) , 半径r= 1 。由直线l与圆( x+ 3 ) 2+( y+ 2 ) 2= 1有公共点, 得圆心到直线l 的距离d= | - 3 ( a- 3 ) - 4 - 2 a | ( a- 3 ) 2+ 2 2 ≤ 1 , 即( 5 - 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知
5 a) 2≤( a- 3 ) 2+ 2 2, 解得1 3≤ a≤3 2。 例 6 ( 2 0 2 3 年 新 高 考 Ⅰ 卷) 过 点 ( 0 , - 2 ) 与圆x 2+ y 2- 4 x- 1 = 0相切的两条直 线的夹角为α, 则s i n α=( ) 。 A. 1 B . 1 5 4 C . 1 0 4 D. 6 4 解析: 圆 x 2 +y 2 -4 x -1=0 可 化 为 ( x- 2 ) 2+ y 2= 5 , 则圆心C( 2 , 0 ) , 半径r = 5。 设 P( 0 , - 2 ) , 切线为 P A, P B, 则 | P C | =2 2。 在 △P A C 中, s i n α 2 = 5 2 2 , 所 以 c o sα 2= 1 -5 8 = 3 2 2 , s i n α= 2 s i nα 2 c o sα 2 = 1 5 4 。选 B 。 例 7 ( 2 0 2 0 年 全 国 Ⅰ 卷) 已 知 ☉M : x 2+ y 2-2 x-2 y-2=0 , 直线l : 2 x+ y+2 = 0 , P 为l上的动点, 过点 P 作☉M 的切线 P A, P B, 切点为 A, B, 当 | PM| · | A B | 取最 小值时, 直线 A B 的方程为( ) 。 A. 2 x- y- 1 = 0 B . 2 x+ y- 1 = 0 C . 2 x- y+ 1 = 0 D. 2 x+ y+ 1 = 0 解析: 圆 的 方 程 可 化 为 ( x-1 ) 2+ ( y- 1 ) 2 = 4 ,点 M 到 直 线 l 的 距 离 d = | 2 × 1 + 1 + 2 | 2 2+ 1 2 = 5 > 2 , 所 以 直 线l 与 圆 相 离。依圆的知识可知, A, P, B, M 四点共圆, 且 A B⊥MP, 所以 | PM| · | A B | = 4 S△P AM = 4 ×1 2× | P A | × | AM| = 4 | P A | 。 而 | P A | = | MP | 2- 4, 当直线 MP⊥ l 时, | MP | m i n= 5, | P A | m i n= 1 , 此时 | PM| · | A B | 取最小值。 因此, MP: y-1= 1 2 ( x-1) , 即 y= 1 2 x+1 2。由 y=1 2 x+1 2, 2 x+ y+ 2 = 0 , 解得 x=- 1 , y= 0 。 所以以 MP 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ( x- 1 ) ( x+ 1 ) + y( y-1 ) =0 , 即 x 2+ y 2- y-1 = 0 。 两圆的方程相减可得2 x+ y+ 1 = 0 , 即 为直线 A B 的方程。 故选 D。 高考热点4 直线与圆的最值 例 8 ( 2 0 2 1年北京卷) 已知直线y= k x+m( m 为 常 数) 与 圆 x 2+y 2 =4 交 于 点 M , N, 当k 变化时, 若 | MN| 的最小值为 2 , 则 m=( ) 。 A. ± 1 B . ± 2 C . ± 3 D. ± 2 解析: 由题意得圆心为( 0 , 0 ) , 半径为2 , 则圆心到直线的距离d= | m | k 2+ 1 。 则弦长 | MN| = 2 4 - m 2 k 2+ 1 。当k= 0 时, | MN | 取得最小值为2 4 -m 2 = 2 , 解得 m=± 3。 故选 C 。 例 9 ( 2 0 1 8 年 全 国 Ⅲ 卷) 直 线 x+ y+ 2 = 0分别与 x 轴, y 轴交于 A, B 两点, 点 P 在圆( x-2 ) 2+ y 2=2 上, 则 △A B P 面 积的取值范围是( ) 。 A. [ 2 , 6 ] B . [ 4 , 8 ] C . [ 2, 3 2] D. [ 2 2, 3 2] 解析: 设 圆 ( x-2 ) 2 +y 2 =2 的 圆 心 为 C, 半径为r, 点 P 到直线x+ y+2=0 的距 离为d, 则圆心C( 2 , 0 ) , r= 2。所以圆心 C 到直线x+ y+ 2 = 0的距离为2 2, 可得dm a x = 2 2+ r= 3 2, dm i n= 2 2- r= 2。 由 已 知 条 件 可 得| A B|=2 2, 所 以 △A B P 面积的最大值为 1 2| A B |·dm a x=6 , △A B P 面积的最小值为1 2 | A B | · dm i n= 2 。 综上, △A B P 面积的取值范围是[ 2 , 6 ] , 选 A。 例 10 ( 2 0 1 2年北京大学等十三校联 考自主招生试题) 若点C 在圆x 2+ y 2- 2 x= 0上, 点 A 坐 标 为( -2 , 0 ) , 点 B 坐 标 为( 0 , 2 ) , 则△A B C 面积的最小值为( ) 。 ( 下转第1 2页) 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知
■福建省泉州市第七中学 赖呈杰 彭耿铃 圆是平面几何和解析几何中重要的内容 之一, 与圆有关的问题既可以从几何角 度 进 行思考, 又可以从代数角度 进 行 思 考。学 习 圆的目的是为后续学习圆锥曲线打好 基 础。 下面对圆的题型进行分类剖析, 探究其 考 查 方向, 揭示其解题规律, 希望同学们能体会到 “ 圆” 来如此精彩。 一、考查圆的方程 例 1 已知圆E 经过三点 A( 0 , 1 ) , B( 2 , 0 ) , C( 0 , - 1 ) , 则圆E 的标准方程为( ) 。 A. x-3 2 2 + y 2= 2 5 4 B . x+3 4 2 + y 2= 2 5 1 6 C . x-3 4 2 + y 2= 2 5 1 6 D. x-3 4 2 + y 2= 2 5 4 解析: ( 方 法 一, 待 定 系 数 法) 设 圆 E 的一 般 方 程 为 x 2 +y 2 +D x +E y +F = 0 ( D 2+E 2- 4 F > 0 ) 。 由 题 意 得 1 +E+F= 0 , 4 + 2 D+F= 0 , 1 -E+F= 0 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 解 得 D=-3 2, E= 0 , F=- 1 。 ?? ?? ?? ???? ?? ?? 所以圆E 的一般方程为x 2+ y 2- 3 2 x- 1 = 0 , 即 x-3 4 2 + y 2= 2 5 1 6 。选C 。 ( 方法 二, 几 何 法) 因 为 圆 E 经 过 点 A( 0 , 1 ) , B( 2 , 0 ) , 所 以 圆 E 的 圆 心 在 线 段 A B 的垂直平分线y-1 2= 2 ( x- 1 ) 上。 由题意知圆 E 的圆心在x 轴上, 所以圆 E 的 圆 心 坐 标 为 3 4, 0 。则 圆 E 的 半 径 为 | E B | = 2 -3 4 2 +( 0 - 0 ) 2 = 5 4, 圆 E 的 标准方程为 x-3 4 2 + y 2= 2 5 1 6 。选 C 。 点评: 求圆的方程有以下两种方法。 ( 1 ) 直接法, 直接求出圆 心 坐 标 和 半 径, 写出方程。 ( 2 ) 待 定 系 数 法: ① 若 已 知 条 件 与 圆 心 ( a, b) 和半径r 有关, 则设圆的标准方程, 求 出a, b, r 的值; ②选择圆的一般方程, 依据已 知条件列出关于 D, E, F 的方程 组, 进 而 求 出 D, E, F 的值。 二、考查与圆有关的轨迹问题 例 2 已 知 R t △A B C 的 斜 边 为 A B, 且 A( - 1 , 0 ) , B( 3 , 0 ) 。求: ( 1 ) 直角顶点 C 的轨迹方程; ( 2 ) 直角边 B C 的中点 M 的轨迹方程。 解析: ( 1 ) ( 方法一) 设 C( x, y) , 因为 A, B, C 三 点 不 共 线, 所 以 y ≠0 。 因 为 A C⊥ B C, 且 B C, A C 斜 率 均 存 在, 所 以k A C · k B C =- 1 。 又k A C = y x+ 1 , k B C = y x- 3 , 所 以 y x+ 1· y x- 3 =- 1 , 化简得x 2+ y 2- 2 x- 3 = 0 。 因此, 直 角 顶 点 C 的 轨 迹 方 程 为x 2 + y 2- 2 x- 3 = 0 ( y≠0 ) 。 ( 方法二) 设 A B 的中 点 为 D, 由 中 点 坐 标公式得 D ( 1 , 0 ) , 由 直 角 三 角 形 的 性 质 知 | C D | =1 2 | A B | = 2 。由圆的定义知, 动点 C 的轨迹 是 以 D ( 1 , 0 ) 为 圆 心, 2 为 半 径 的 圆 ( 因为 A, B, C 三点不共线, 所以应除去与 x 轴的交点) 。 所以直 角 顶 点 C 的 轨 迹 方 程 为 ( x - 1 ) 2+ y 2= 4 ( y≠0 ) 。 ( 2 ) 设 M ( x, y) , C( x 0, y 0) , 因为 B( 3 , 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 0月 全科互知