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■甘肃省教育科学研究院 卞 蕾 在高考中, 常用逻辑用语一般与其他知 识相结合, 主要考查命题及其关系、 含逻辑联 接词的命题的真假判断、 存在量词命题 与 全 称量词命题的判断及其否定的书写、 充 要 条 件的判定, 通常有以下六个命题方向。 一、充分条件与必要条件的判断 充分条件、 必要条件、 充要条件的考查范 围广, 需要同学们注重对综合知识的积累。 例 1 已知p: 方程x 2- 4 x+ 4 a= 0有 实根; q: 函数f( x) =( 2 - a) x 为增函数。则 p 是q 的( ) 。 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: 因 为 方 程 x 2 -4 x+4 a=0 有 实 根, 所以 Δ=1 6-1 6 a≥0 , 所 以 a∈ ( - ∞, 1 ] ; 因为函数 f( x) =( 2- a) x 为 增 函 数, 所 以2 - a > 1 , 所以a∈( -∞, 1 ) 。因为( -∞, 1 ) 真包含于( -∞, 1 ] , 所以 p 是q 的必要不 充分条件。故选 B 。 例 2 已知圆C 1: x 2+ y 2= 1和圆 C 2: ( x- a) 2+ y 2= 1 6 , 其中a > 0 , 则使得两圆相 交的一个充分不必要条件可以是( ) 。 A. 3 < a < 5 B . 3 < a < 6 C . 4 < a < 5 D. 2 < a < 5 解析: 由题意知 C 1( 0 , 0 ) 且 半 径r 1=1 , C 2( a, 0 ) 且 半 径r 2 =4 , 结 合 a > 0 , 可 知 当 r 2- r 1 < a < r 2+ r 1 时, 两圆相交, 则3 < a < 5 , 所以 A 选项为3 < a < 5的充要条件; B , D 选项为3 < a < 5 的必要不充分条件; C 选项 为3 < a < 5的充分不必要条件。故选 C 。 例 3 若x > 0 , y > 0 , 则“ x+ y < 4 ” 的 一个必要不充分条件是( ) 。 A. x 2+ y 2 < 8 B .x < 4 - y C . x y < 4 D. 1 x +1 y < 1 解析: 对 于 选 项 A: 若 x 2 +y 2 < 8 , 则 ( x+y) 2 =x 2 +y 2 +2 x y < 8+2 x y≤8+ 2x+ y 2 2 , 所以( x+ y) 2 < 1 6 , 又因为x > 0 , y > 0 , 所以0 < x+y < 4 , 所 以“ x 2+y 2 < 8 ” 是“ x+ y < 4 ” 的充分条件, 所以选项 A 错误; 对于 选 项 B : 若 x < 4 - y, 则 (x ) 2 < ( 4 - y) 2, 所以x < 4 - y, 即0 < x+ y < 4 , 所以“x < 4 - y ” 是“ x+ y < 4 ” 的充分条 件, 所以选项 B错误; 对于选项 C : 由x+ y < 4得x y≤ x+ y 2 2 < 4 , 令x=1 4, y= 8 , 满足 x y < 4 , 但 x+y > 4 , 所 以 “ x y < 4 ” 是 “ x+ y < 4 ” 的 一 个 必 要 不 充 分 条 件, 所 以 选 项 C 正确; 对于选项 D: 令x=1 5, y= 3 , 满足x+ y < 4 , 但1 x + 1 y > 1 , 所 以 “ 1 x + 1 y < 1 ” 不 是 “ x+ y < 4 ” 的必 要 条 件, 故 选 项 D 错 误。故 选 C 。 二、根 据 充 分 必 要 条 件 求 参 数 的 取 值 范围 在由充分必要条件求解参数的取值范围 问题时, 一定要注意端点是否能取到。 例 4 若 “ 1 < x < 2 ” 是 “ 不 等 式 ( x- a) 2 < 1 成 立” 的 充 分 不 必 要 条 件, 则 实 数 a 的取值范围为( ) 。 A. [ 1 , 2 ) B . ( 1 , 2 ] C . [ 1 , 2 ] D. ( 1 , 2 ) 解析: 由( x- a) 2 < 1得a- 1 < x < a+ 1 , 因为1 < x < 2是不等式( x- a) 2 < 1成立 的 充 分 不 必 要 条 件,所 以 a- 1 ≤ 1 , a+ 1 ≥ 2 , 即 a≤ 2 , a≥ 1 , 解得1 ≤ a≤ 2 。故选 C 。 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年9月 全科互知
例 5 设 p: 2 x 2-3 x+1 < 0 , q: x 2- ( 2 a+ 1 ) x+ a( a+ 1 ) < 0 , 若q 是p 的必要不 充分条件, 则实数a 的取值范围为( ) 。 A.0 , 1 2 B . 0 , 1 2 C . ( -∞, 0 ] ∪ 1 2, +∞ D. ( -∞, 0 ) ∪ 1 2, +∞ 解析: 由题设可得, p: 1 2 < x < 1 , q: a < x < a+ 1 , 因为q 是p 的必要不充分条件, 所 以 a≤1 2, a+ 1 ≥ 1 , 解得0 ≤ a≤1 2。故选 A。 三、全 称 量 词 命 题 与 存 在 量 词 命 题 的 真假 例 6 已知命题p: ? x∈N, 使得e x < 0 ( e为 自 然 对 数 的 底 数) ; q: ? x∈R, 都 有 x 2+ | x | ≥ 0 , 则下列判断正确的是( ) 。 A. p 真, q 假 B . p 真, q 真 C . p 假, q 真 D. p 假, q 假 解析: 因为 ? x∈N, 都有 e x > 0 , 所以 命 题p 为 假 命 题; 因 为 ? x∈R, 都 有 x 2 ≥0 , | x | ≥ 0 , 所以x 2+ | x | ≥ 0 , 所以命题q 为真 命题。故选 C 。 例 7 下列命题中为假命题的是( ) 。 A. ? x∈R, s i n x= 2 2 B . ? x∈R, l n x=- 1 C . ? x∈R, x 2 > 0 D. ? x∈R, 3 x > 0 解析: 对于选项 A, 因为- 1 ≤ s i n x≤ 1 , 所以? x∈R, s i n x= 2 2 , 所以选项 A 的命题 为真命题; 对 于 选 项 B , 当 x= 1 e 时, l n x= - 1 , 所以选项 B 的命题为真命题; 对于选项 C , 当x= 0时, x 2= 0 , 所以选项 C 的命题是 假命题; 对 于 选 项 D, 因 为 y=3 x 的 值 域 为 ( 0 , +∞) , 所以 ? x∈R, 3 x > 0 , 所 以 选 项 D 的命题为真命题。故选 C 。 四、全 称 量 词 命 题 与 存 在 量 词 命 题 的 否定 全称量词命题与存在量词命题的否定是 将条件中的全称量词和存在量词互换, 结 论 变否定。全称量词命题和存在量词命题的否 定要注意是全否, 而不是半否。 例 8 命题“ ? x∈[ - 1 , 2 ] , x 2 < 1 ” 的 否定是( ) 。 A. ? x∈[ - 1 , 2 ] , x 2≥ 1 B . ? x?[ - 1 , 2 ] , x 2 < 1 C . ? x∈[ - 1 , 2 ] , x 2 < 1 D. ? x∈[ - 1 , 2 ] , x 2≥ 1 解析: 由存在量 词 命 题 的 否 定 知 原 命 题 的否定为“ ? x∈[ - 1 , 2 ] , x 2≥ 1 ” 。故选 D。 例 9 命题“ ? a, b > 0 , a+1 b ≥ 2和b +1 a ≥ 2至少有一个成立” 的否定为( ) 。 A. ? a, b > 0 , a+1 b < 2和b+1 a < 2至 少有一个成立 B . ? a, b > 0 , a+1 b ≥ 2和b+1 a ≥ 2都 不成立 C . ? a, b > 0 , a+1 b < 2和b+1 a < 2至 少有一个成立 D. ? a, b > 0 , a+1 b ≥ 2和b+1 a ≥ 2都 不成立 解析: 由全称量 词 命 题 的 否 定 知 原 命 题 的否定为“ ? a, b > 0 , a+1 b ≥ 2和b+1 a ≥ 2 都不成立” 。故选 D。 五、根据命题的真假求参数的取值范围 在解决求参数 的 取 值 范 围 问 题 时, 可 以 先假设两个命题都为真命题, 如果哪个 是 假 命题, 去求真命题的补集即 可。由 全 称 量 词 命题和存在量词命题的真假判断来求参数问 题相对较难, 要注意端点是否可以取到。 例 10 已 知 命 题 p: ? x ∈ R, a < 3 x 2 0 2 4+ 1 , 若p 为真命题, 则实数a 的取值范 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年9月 全科互知
围为 。 解析: 若“ ? x∈R, a < 3 x 2 0 2 4+ 1 ” 为真命 题, 则等价 于 a < ( 3 x 2 0 2 4 +1 ) m i n。因 为 x 2 0 2 4 ≥ 0 , 当 且 仅 当 x =0 时, 等 号 成 立, 所 以 3 x 2 0 2 4+ 1 ≥ 1 , 即( 3 x 2 0 2 4+ 1 ) m i n= 1 , 所以a 的 取值范围为( -∞, 1 ) 。 例 11 已知命题“ 若x > a, 则x- 1 x > 0 ” 是真命题, 则实数a 的取值范围为 。 解析: 由 x- 1 x > 0可得x( x- 1 ) > 0 , 解得x > 1或x < 0 。因为“ 若x > a, 则 x- 1 x > 0 ” 是真 命题, 所以x > a 能使x > 1或x < 0成立, 即a ≥ 1 , 故实数a 的取值范围为[ 1 , +∞) 。 例 12 已知命题 p: ? x∈ 2 2 , 2 , x+1 x > a。若 p 是假命题, 则实数a 的取 值范围为 。 解析: 因为 p 是假命题, 所以p 是真命 题。因为x∈ 2 2 , 2 , 所 以 由 均 值 不 等 式 可得x+ 1 x ≥2 x·1 x =2 , 当 且 仅 当 x= 1 x , 即x= 1时, 等号成立, 所以a < 2 , 即实数 a 的取值范围为( -∞, 2 ) 。 例 13 若 命 题 “ ? x ∈ [ 1 , 2] , 使 得 x 2+ l n x- a≤ 0 ” 为假命题, 则实数a 的取值 范围为 。 解析: 由 命 题 “ ? x∈ [ 1 , 2 ] , 使 得 x 2 + l n x- a≤ 0 ” 为假命题, 可知当x∈[ 1 , 2 ] 时, x 2+ l n x > a 恒 成 立, 所 以 只 需 a < ( x 2 + l n x) m i n。设f( x) = x 2+ l n x, 则f( x) 在[ 1 , 2 ] 上单调递增, 所以a < f( 1 ) = 1 。故实数a 的取值范围为( -∞, 1 ) 。 六、有关命题的综合性问题 例 14 下列说法正确的是( ) 。 A. 命题“ ? x > 0 , x 2 +x > 1 ” 的 否 定 是 “ ? x 0 > 0 , x 2 0+ x 0 < 1 ” B . “ α > β” 是“ s i n α > s i n β” 的必要不 充 分条件 C . 命题 “ ? α, β∈R, 使 得 s i n( α+ β) = s i n α+ s i n β 成立” 为真命题 D. “ a > b” 是“ 2 a > 2 b” 的充分不必要条件 解析: 对于选项 A, “ ? x > 0 , x 2+ x > 1 ” 是全称量词命题, 其否定是存在量词命题, 该 命题的否定为“ ? x 0 > 0 , x 2 0+ x 0≤ 1 ” , 所以选 项 A 错误; 对于选项B , “ 若s i n α > s i n β, 则α > β” 是假命题, 如s i nπ 3 > s i n5 π 6 , 而π 3 < 5 π 6 , 所以选项B错误; 对于选项C , 取α= β= 0 , 则 s i n ( α+ β) =s i n 0=s i n 0+s i n 0=s i n α+ s i n β, 所以选项 C 正确; 对于选项 D, 因为函 数y=2 x 是 R 上的增函数, 则“ a > b” 是“ 2 a > 2 b” 的 充 要 条 件, 所 以 选 项 D 错 误。 故 选 C 。 例 15 若 “ b∈ ( 1 , 2 ) ” 是 “ 函 数 y= l o g 2 x 2+ a b x+ a 2 4-b 2 对 一 切 x ∈R 恒 有意义” 的充分条件, 则实数a 的取值范围为 。 解 析: 因 为 函 数 y = l o g 2 x 2+ a b x+ a 2 4-b 2 对 一 切 x ∈R 恒 有意义, 即x 2+ a b x+ a 2 4-b 2 > 0在x∈R 上 恒 成 立, 所 以 Δ =a b - 4 a 2 4-b 2 = ( a+ 2 ) b- a 2 < 0 恒 成 立。因 为 “ b∈ ( 1 , 2 ) ” 是“ 函数y= l o g 2 x 2+ a b x+ a 2 4-b 2 对一 切 x ∈ R 恒 有 意 义 ” 的 充 分 条 件, 所 以 ( a+ 2 ) b- a 2 < 0在b∈( 1 , 2 ) 上恒成立。令 f( b) =( a+ 2 ) b- a 2, f( b) 为关于b 的一次 函数, 要使f( b) < 0 在b∈( 1 , 2 ) 上恒成立, 只需 f( 1 ) ≤ 0 , f( 2 ) ≤ 0 , 即 2 + a- a 2≤ 0 , 4 + 2 a- a 2≤ 0 , 注 意 到 a ≥ 0 , 解得a≥ 1 + 5。所以实数a 的取值范 围是[ 1 + 5, +∞) 。 综上可知, 能否 准 确 作 答 常 用 逻 辑 用 语 问题取决于与之关联的知识是否掌握 牢 固。 而与之 综 合 的 知 识 一 般 都 是 较 为 基 础 的 知 识, 所以只要明确每一种命题方向的核 心 问 题, 即可顺利解答。 ( 责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年9月 全科互知
■西北师范大学附属中学 缑小锋 函数作为高中数学内容的一条主线, 对 整个高中数学的学习有着重要的意义, 每 年 高考卷都将其作为必考题, 出现在选择 题 或 填空题中, 常以基本函数、 基本函数组成的复 合函数及抽象函数为载体, 对函数内容 和 性 质进行考查, 考查的内容有函数的定义域、 值 域、 单调性、 奇偶性、 对称性、 周期性、 图像等, 且常与导数、 不等式、 方程等 知 识 交 汇 命 题, 考查数形结合、 分类讨论、 转化与化归和函数 与方程等思想方法。 本文着重梳理高考中函 数四大性 质 ( 单 调 性、 奇 偶 性、 对 称 性、 周 期 性) 的命题方向分析。 一、函数的单调性及其应用 1 . 利用单调性求复合函数的单调区间 复合函数的单调性问题, 基本遵从“ 同增 异减” 的原则, 常用到的结论有: ①若f( x) 是 增函数, 则- f( x) 为减函数; 若f( x) 是减函 数, 则- f( x) 为增函数; ②若f( x) 和 g( x) 均为增( 或减) 函数, 则在f( x) 和 g( x) 的公 共定义域上f( x) +g( x) 为增( 或减) 函数; ③若f( x) > 0且f( x) 为增函数, 则 f( x) 为增函数, 1 f( x) 为减函数; ④若 f( x) > 0且 f( x) 为减函数, 则 f( x) 为减函数, 1 f( x) 为 增函数。 例 1 函数y= l g ( 2 c o s x- 3) 的单调 递增区间为( ) 。 A. ( 2 k π + π , 2 k π + 2 π ) ( k∈Z ) B . 2 k π + π , 2 k π + 1 1 6π ( k∈Z ) C . 2 k π -π 6, 2 k π ( k∈Z ) D. 2 k π , 2 k π +π 6 ( k∈Z ) 解析: 根据题意可知2 c o s x- 3 > 0 , 解 得2 k π -π 6 < x < 2 k π +π 6, k∈Z 。因为函数 y= l g x 在 定 义 域 内 为 单 调 递 增 函 数, 且 函 数y= 2 c o s x- 3在 2 k π -π 6, 2 k π ( k∈Z ) 内为单调递增函数, 根据复合函数的单 调 性 可知函数y= l g ( 2 c o s x- 3) 的单调递增区 间为 2 k π -π 6, 2 k π ( k∈Z ) 。故选 C 。 2 . 利用单调性求函数的值域 在利用函数的单调性求函数的值域时应 先判断函数的单调性, 再求值域。 例 2 已知函数 f( x) 为定 义 在 R 上 的单调函数, 且 f( f( x) -2 x -2 x) =1 0 , 则 f( x) 在[ - 2 , 2 ] 上的值域为 。 解析: 因为 f( x) 为 定 义 在 R 上 的 单 调 函数, 所以存在唯一的t ∈R, 使得f( t ) = 1 0 , 则f( x) - 2 x - 2 x= t , 所以f( t ) - 2 t- 2 t= t , 即f( t ) = 2 t+ 3 t= 1 0 。因为函数y= 2 t+ 3 t为增函数, 且 2 2 +3×2=1 0 , 所 以t=2 , f( x) = 2 x+ 2 x+ 2 。易知f( x) 在[ - 2 , 2 ] 上 为增函数, 且 f( -2 ) = - 7 4, f( 2 ) =1 0 , 故 f( x) 在[ - 2 , 2 ] 上的值域为 -7 4, 1 0 。 3 . 利用单调性求参数的范围 利用函数的单 调 性 求 参 数 时, 通 常 要 把 参数视为已知数, 依据函数的图像或单 调 性 定义, 确定函数的单调区间, 与已知单调区间 比较, 利 用 区 间 与 端 点 之 间 的 关 系 求 参 数。 同时注意函数定义域的限制, 遇到分段 函 数 时要注意分点与左右端点处的函数值的大小 关系。 例 3 已 知 函 数 f ( x ) = ( 3 a- 1 ) x+ 4 a( x < 1 ) , a x ( x≥ 1 ) , 满 足 对 任 意 的 实 数 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年9月 全科互知
x 1, x 2, 且x 1 ≠x 2, 都有[ f( x 1) - f( x 2) ] ( x 1 - x 2) < 0 , 则实数a 的取值范围为( ) 。 A. 1 7, 1 B .0 , 1 3 C . 1 6, 1 3 D. 1 6, 1 解析: 由[ f( x 1) - f( x 2) ] ( x 1- x 2) < 0 , 知 f( x 1) - f( x 2) x 1- x 2 < 0成立, 可得函数图像上 任意两点连线的斜率小于0 , 说明f( x) 是减 函数, 则 3 a- 1 < 0 , a > 0 , 3 a- 1 + 4 a≥ a, ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 解得a∈ 1 6, 1 3 。 例 4 已 知 函 数 f( x) =l o g a ( x 2 - a x+ 3 ) 在[ 0 , 1 ] 上 是 减 函 数, 则 实 数 a 的 取 值范围为( ) 。 A. ( 0 , 1 ) B . ( 1 , 4 ) C . ( 0 , 1 ) ∪( 1 , 4 ) D. [ 2 , 4 ) 解析: 函数f( x) = l o g a ( x 2- a x+3 ) 在 [ 0 , 1 ] 上是减函数。当 0 < a < 1 时, x 2- a x + 3 = x-a 2 2 + 3 - a 2 4≥ 3 - a 2 4 > 0恒成立, 而函数u= x 2- a x+3 在 区 间[ 0 , 1 ] 上 不 单 调, 因此0 < a < 1不符合题意。当a > 1时, 函数y= l o g a u 在( 0 , +∞) 上单调递增, 于是 得函数u= x 2- a x+3 在 区 间[ 0 , 1 ] 上 单 调 递减, 因此 a 2≥ 1 , 1 2- a· 1 + 3 > 0 , 解得2 ≤ a < 4 。 综上可得, 实数a 的取值范围为[ 2 , 4 ) 。故选 D。 4 . 利用单调性比较函数值的大小 对于比较函数 值 大 小 的 问 题, 应 将 自 变 量转化到同一个单调区间内, 然后利用 函 数 的单调性解决。 例 5 已知函数y=f( x+ 2 ) 是 R 上 的偶函数, 对 任 意 的 x 1, x 2 ∈ [ 2 , + ∞) , 且 x 1 ≠x 2, 都 有f( x 1) - f( x 2) x 1- x 2 > 0 成 立。 若 a= f( l o g 3 1 8 ) , b= f l ne 2 2 , c= f( e l n 1 0 2 ) , 则 a, b, c 的大小关系是( ) 。 A. b < a < c B . a < b < c C . c < b < a D. b < c < a 解析: 因为函数y=f( x+2 ) 是 R 上 的 偶函数, 所以函数y=f( x) 的对称轴为 x= 2 。又因为 对 任 意 的 x 1, x 2 ∈ [ 2 , + ∞) , 且 x 1 ≠x 2, 都 有f( x 1) - f( x 2) x 1- x 2 > 0 成 立, 所 以 函数y=f( x) 在( 2 , + ∞) 上 单 调 递 增。因 为3 = l o g 3 2 7 > l o g 3 1 8 > l o g 3 9=2 , l ne 2 2 = l n e 2- l n 2=2- l n 2 < 2 , e l n 1 0 2 =e l n 1 0 = 1 0 > 3 , 所以e l n 1 0 2 > l o g 3 1 8 > 2 > l ne 2 2 , 所以 c > a。因为函数y= f( x) 的对称轴为x= 2 , 所 以 b=f l ne 2 2 =f 4 - l ne 2 2 =f( 2+ l n 2) , 又a= f( l o g 3 1 8 ) = f[ l o g 3 ( 9 × 2 ) ] = f( 2 + l o g 3 2 ) , l n 2 < l o g 3 2= l o g 3 2, 所 以 2 < 4 - l ne 2 2 < l o g 3 1 8 < 3 , 所 以b < a。所 以 b < a < c。故选 A。 二、函数的奇偶性 函数的奇偶性有如下结论: 奇±奇=奇; 偶±偶=偶; 奇±偶=非奇非偶; 奇×( ÷) 奇 =偶; 奇×( ÷) 偶=奇; 偶×( ÷) 偶=偶。 复 合函数y=f[ g( x) ] 的奇偶性 原 则: 外 奇 内 奇为奇; 外奇内偶为偶; 外偶 内 奇 为 偶; 外 偶 内偶为偶。 1 . 函数的奇偶性的判断 在解决函数的单调性与奇偶性相结合的 问题时, 要注意函数的单调性和奇偶性 的 定 义, 以及奇偶函数图像的对称性。 例 6 下列函数中, 既是奇函数又在区 间( 0 , 1 ) 上单调递增的是( ) 。 A. y= l g x B . y=2 x C . y= 2 | x | D. y= t a n x 解析: 对于选项 A, y= l g x 的定义域为 ( 0 , +∞) , 不关于原点对称, 所以为非奇非偶 函数, 故选项 A 错误; 对于选项 B , f( x) =2 x 的定义域为( - ∞, 0 ) ∪( 0 , + ∞) , 关于原点 对称, 又因为f( - x) =-2 x =- f( x) , 所以 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年9月 全科互知
f( x) 为奇函数, 但在区间( 0 , 1 ) 上单调递减, 故选项 B错误; 对于选项 C , f( x) = 2 | x |的定 义域为 R, 关于原点对称, 又因 为 f( - x) = 2 | - x |= 2 | x |=f( x) , 所以 f( x) 为偶函数, 故 选项 C 错误; 对于选项 D, f( x) = t a n x, 由 正切函数的性 质 可 知 f( x) = t a n x 为 奇 函 数, 且在区间( 0 , 1 ) 上单调递增, 故选项 D 正 确。故选 D。 2 . 已知函数的奇偶性求参数 例 7 若函数f( x) = l o g 2( 1 6 x + 1 ) - a x 是偶函数, 则l o g a 2 = 。 解析: 因为f( x) 为偶函数, 定义域为 R, 所以对任意的实数 x 都有f( x) =f( -x) , 即l o g 2( 1 6 x+ 1 ) - a x= l o g 2( 1 6 - x + 1 ) + a x, 所以2 a x= l o g 2( 1 6 x + 1 ) - l o g 2( 1 6 - x + 1 ) = l o g 2 1 6 x= 4 x, 由题意知该式对任意的实数x 恒成立, 所以 2 a=4 , 解得a=2 , 所以l o g a 2 = 1 。 例 8 已知函数f( x) = 2 x 2+ a x+ 2 , 若f( x+ 1 ) 是偶函数, 则a= 。 解析: 因 为 f ( x +1) 是 偶 函 数, 所 以 f( - x+ 1 ) = f( x+1 ) , 即 2( -x+1 ) 2 + a( - x+ 1 ) + 2 = 2 ( x+ 1 ) 2+ a( x+ 1 ) + 2 , 即 8 x=- 2 a x, 解得a=- 4 。 3 . 已知函数的奇偶性求表达式、 求值 例 9 已 知 f( x) +1 在 R 上 单 调 递 增, 且为奇函数。若正实数a, b 满足f( a- 4 ) +f ( b) = -2 , 则 1 a + 2 b 的 最 小 值 为 ( ) 。 A. 3 4+ 2 2 B . 3 4+ 2 C . 3 + 2 2 D. 3 2+ 2 解 析: 因 为 f( x) +1 为 奇 函 数, 所 以 f( x) + 1 + f( - x) + 1 = 0 ? f( x) + f( - x) =- 2 。由f( a- 4 ) + f( b) =- 2得a- 4 = - b, 即 a+ b=4 。由 于 a > 0 , b > 0 , 所 以 1 a +2 b = 1 4 1 a +2 b ( a + b ) = 1 4 3 +b a + 2 a b ≥1 4( 3 +2 2) = 3 4 + 2 2 , 当 且仅当b= 2 a 时 取 等 号, 所 以 1 a + 2 b 的 最 小值为3 4+ 2 2 。故选 A。 例 10 已知函数f( x) =π 4+ c o s x· l n ( x+ 1 + x 2 ) 在区间[ -5 , 5 ] 上 的 最 大 值 是 M , 最小 值 是 m, 则 f( M +m) 的 值 等 于 ( ) 。 A. 0 B . 1 0 C . π 4 D. π 2 解 析:令 g ( x)= c o s x ·l n( x + 1 + x 2 ) , 则f( x) = π 4 +g( x) , 所以 f( x) 和g( x) 在区间[ - 5 , 5 ] 上的单调性相同。设 g( x) 在[ - 5 , 5 ] 上有最大值g( x) m a x, 有最小 值g( x) m i n。因为 g( -x) = c o s x· l n ( -x + 1 + x 2 ) , 所以g( x) + g( - x) = c o s x· l n [ ( 1 + x 2 +x) ( 1 + x 2 -x) ] =0 , 所 以 g( x) 在[ - 5 , 5 ] 上为奇函数, 所以g( x) m a x+ g( x) m i n =0 , 所 以 M =g( x) m a x + π 4, m = g( x) m i n+π 4, 所以 M +m= π 2, 所以 f( M + m) = f π 2 =π 4。故选 C 。 三、函数的对称性与周期性 1 . 函数的对称性与周期性的关系 ( 1 ) 若函数y=f( x) 关于直线 x= a 对 称, 则f( a+ x) = f( a- x) ; ( 2 ) 若函数y= f( x) 关于点( a, b) 对称, 则f( a+ x) + f( a- x) = 2 b; ( 3 ) 函数y= f( a+ x) 与y= f( a- x) 关 于y 轴对称, 函数y= f( a+ x) 与y=- f( a - x) 关于原点对称; ( 4 ) 若函数y=f( x) 有两条对称轴 x= a, x= b( a < b) , 则函数f( x) 是周期函数, 且 周期 T= 2 ( b- a) ; ( 5 ) 若函数y= f( x) 的图像有两个对称 中心( a, c ) , ( b, c) ( a < b) , 则函数y=f( x) 是周期函数, 且周期 T= 2 ( b- a) ; ( 6 ) 若函数y= f( x) 有一条对称轴x= a 和一个 对 称 中 心 ( b, 0 ) ( a < b) , 则 函 数 y= 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年9月 全科互知