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四、整理错题好题集,并坚持复习 在做了一定的 试 题 之 后, 我 们 不 要 再 盲 目地刷新题, 而要整理好错题集进行总 结 反 思, 了解自己的薄弱之处。各 个 学 科 错 题 集 不太一样, 我 会 在 下 面 展 开, 这 里 就 不 具 体 说了。 先说复习, 复习必须持之以恒, 日常整理 的过程 就 是 日 常 复 习 的 过 程。 如 果 还 有 时 间, 可再对前几天遗忘的东 西 进 行 回 看。在 考试前或其他大块空闲时间也可进行 复 习, 激活自己的记忆, 相当于赛前热身, 也是阶段 性总结回顾。 在这里介绍一种我觉得比较有效的复习 方法, 叫星级复习法。根据难 易 程 度 对 题 目 标注星星或其他等级符号, 复习时根据 星 级 采取不同策略: 一看就会的标一星, 可不再复 习; 略有难度、 不太好算、 有易 错 点 的 题 都 可 以标成二星, 复习时若做对, 也可减少看的频 率; 很难的综合性题目标三星, 要多次复习直 到完全掌握。我们要重点从 这 些 二、 三 星 题 中总结经验, 到将来的高考前夕只需看 这 些 经验就可以了。 除了标注星级 也 要 标 注 日 期, 下 次 从 旧 往新 看, 保 持 对 各 个 模 块、 各 种 题 型 的 熟 练度。 五、各学科有不同的学习方法 数学学习时要多做题积累经 验, 定 点 补 弱, 反复刷高考题总结出题型。以我个人为 例, 进入高 三 后 有 一 段 时 期, 由 于 我 写 题 量 不够, 没 有 总 结 出 针 对 各 种 题 型 的 思 路 方 法, 在新题 难 题 上 容 易 卡 壳, 我 的 数 学 成 绩 不很稳定, 而这种不稳定让我非常急躁和不 自信。做比较简单的题时, 也会因为审题不 仔细、 计算 错 误 等 非 智 力 因 素 失 分, 形 成 一 种恶性循环。面对这种情况, 我和我敬爱的 数学老师( 王喜朝老师) 进行了深入交流, 除 完成作业、 考 试 中 的 大 量 数 学 习 题 外, 还 进 行选填第1 1 、 1 2 、 1 5 、 1 6题的微专题训练, 解 决在较难 题 目 上 找 不 到 思 路 的 问 题。 在 心 态上, 我认 清 现 实, 不 再 强 求 把 每 一 题 都 写 完, 而是 根 据 得 分 情 况 和 个 人 能 力 进 行 取 舍, 不求打 赢 每 一 场 战 斗, 只 求 打 赢 一 场 战 争。在高三备考的最后阶段, 我根据五年高 考真题以及王老师列出的提纲, 回顾总结历 年高考题型方法, 尤其是圆锥曲线和导数的 题型方法, 让 自 己 的 状 态 和 高 考 完 全 接 轨。 最终高考时我正确取舍, 放弃了试卷中较难 算的立体 几 何 第 三 问 和 没 有 思 路 的 导 数 第 三问, 将其 他 题 目 做 对, 正 如 王 老 师 平 时 要 求的那样, 会的全对, 没有一点儿失误, 考出 了应有的 水 平。 数 学 的 错 题 集 推 荐 用 活 页 本, 方便分 区 整 理, 抄 题 或 粘 题 后 分 析 错 因 和解析过 程; 时 间 紧 可 以 不 整, 用 夹 子 简 单 集成一沓后复习。 我学习物理的特色方法, 则是圈画标注。 由于物理题干通常较长, 还时常有新材料, 建 议同学们圈画信息后批注在图上, 减少 抄 错 数据这样的事情发生。圈画批注并不是走个 过场, 而是要有实际效果, 不能圈了和没圈效 果一样。要想达到这个效果, 就 要 在 做 题 时 联想基本知识和做题步骤。比如圈画“ 粗糙” 一词后, 就要想动摩擦因数已知还是未知, 是 否需要求解, 还要想到摩擦 力 的 性 质、 方 向、 大小等。对板块问题、 电磁场都要善于画图, 从一次推多次, 综合应用平时做简单题 的 经 验解决大题。物理与数学错题集的整理方法 是类似的, 不再赘述。 化学是一门以 实 验 为 基 础 的 科 学, 但 是 我们目前接触过的实验是简单且有限的。因 此我们要仔细看材料, 在题干信息优先 的 前 提下调动知识, 遇到理解不了的现象不 要 死 磕, 也不可盲目地将在一道题的材料里 获 得 的条件在另一道题里当作知识运用。首先还 是要掌握基本的知识, 尤其注意看教材 的 边 边角角。在化学与生活题、 物质推断题中, 一 些大家平时没有用心记背的知识点很可能成 为“ 拦路虎” , 对此要警惕。在做实验题时, 我 们要多想实验目的、 原理, 从而推导装置用途 或者由给出的目的倒推装置; 化工题要 前 后 连贯起来做, 分析物质形式的变化和分 离 的 手段; 原理题要记住课本上的和其他的 经 典 模型, 计算时注意细节。错题 集 也 是 找 一 个 本记录题干和分析, 形式可以比较简单, 关键 是内容。 4 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年9月 全科互知 

2 0 2 3年高考之立体几何和空间向量考点解读 ■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 立体几何涉及两大问题: 一是空间基本 图形的位置关系, 主要包括 线 线、 线 面、 面 面 的平行与垂直等; 二是度量问题, 主要包括点 到线、 点到面的距离, 直线与 直 线、 直 线 与 平 面、 平面与平面所成的角等。 空间向量是用代数的方法处理立体几何 问题的一种重要工具, 用定量的计算代 替 定 性的分析, 从而避免了一些烦琐的推理论证。 利用空间向量的工具性可以解决空间线面的 位置关系, 空间角、 距离及探索性等问题。 下面我们结合2 0 2 3年高考真题, 对立体 几何和空间向量的考点进行解读。 考点一 对空间几何体体积的考查 例 1 ( 1 ) ( 2 0 2 3年高考全国乙卷理数 第8题) 已知圆锥 P O 的底面半径为 3, O 为 底面圆心, P A, P B 为圆锥的母线, ∠A O B= 1 2 0 ° , 若△P A B 的面积等于 9 3 4 , 则该圆锥的 体积为( ) 。 A. π B . 6 π C . 3 π D. 3 6 π ( 2 ) ( 2 0 2 3 年 高 考 全 国 甲 卷 文 数 第 1 0 题) 在三棱锥 P - A B C 中, △A B C 是边长为2 的等边 三 角 形, | P A|=| P B |=2 , | P C |= 6, 则该棱锥的体积为( ) 。 A. 1 B . 3 C . 2 D. 3 ( 3 ) ( 2 0 2 3 年 新 课 标 全 国 Ⅰ 卷 第 1 4 题) 在正 四 棱 台 A B C D- A1 B 1 C 1D1 中, | A B |= 2 , | A1 B 1 | = 1 , A A1= 2, 则该棱台的体积为 。 命题意图: 本题考查圆锥、 棱锥、 棱台的 体积, 同时考查了逻辑推理、 直观想象及数学 运算等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 依题设条件, 可利用三角形 面积公式先求得圆锥的 母 线 长, 再 求 圆 锥 的 高, 根据圆锥的体积公式进行解答。 ( 2 ) 依题 意可证得 A B⊥平面P E C, 故分割三棱锥为共 底面的 两 个 小 三 棱 锥, 其 高 之 和 为| A B | , 得 解。( 3 ) 结 合 图 像, 依 次 求 得| A 1 O 1 | , | A O | , | A 1M | , 再利用棱台的体积公式可得解。 图1 解 析: ( 1 ) 在 △A O B 中,∠A O B = 1 2 0 ° 。 而 | O A |=| O B |= 3, 取 A B 的 中 点C, 连 接 O C, P C, 则 O C ⊥A B, P C ⊥ A B, 如图1所示。 ∠A B O=3 0 ° , | O C | = 3 2 , | A B | = 2 | B C | = 3 。由△P A B 的面积 为 9 3 4 , 得1 2× 3 × | P C | = 9 3 4 , 解得 | P C | = 3 3 2 。 于 是 |P O | = | P C | 2- | O C | 2 = 3 3 2 2 - 3 2 2 = 6。所以圆锥的体积V =1 3 π × | O A | 2× | P O | =1 3 π ×( 3) 2× 6= 6 π 。选 B 。 图2 ( 2) 取 A B 的 中 点 E, 连 接 P E, C E, 如图2所示。 因为△A B C 是边 长 为 2 的 等 边 三 角 形, | P A|=| P B|= 2 , 所 以 P E ⊥ A B, C E⊥A B。 又 P E, C E?平面 P E C, P E∩C E=E, 所以 A B⊥平面 P E C。 又 | P E | = | C E | = 2 × 3 2 = 3, | P C | = 6, 故 | P C | 2= | P E | 2+ | C E | 2, 即P E⊥ C E。 所以 V =VB - P E C +VA - P E C = 1 3S△P E C · 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年9月 全科互知 

又B C∩F M =O, B C, F M ?平面 A B C, 所以 PM ⊥ 平面 A B C, 即三棱锥 P - A B C 的 高为PM 。 因为∠P O F= 1 2 0 ° , 所以∠P O M = 6 0 ° 。 因此, | PM|=| P O | s i n 6 0 ° =2× 3 2 = 3。 又S△A B C = 1 2| A B |·| B C |= 1 2 ×2× 2 2= 2 2, 所以VP - A B C =1 3S△A B C · | PM| = 1 3× 2 2× 3= 2 6 3 。 考点解读: 高考 对 空 间 线 面 位 置 关 系 的 考查, 一是空间线面关系的命题真假的判断, 以选填题的形式考查, 属于基础题; 二是空间 线线、 线面、 面面平行和垂直关系交汇的综合 命题, 常放在解答题的第一 问, 属 于 中 档 题。 平行、 垂直关系的证明主要应用转化思想, 即 通过判定定理、 性质定理将 线 线、 线 面、 面 面 之间的平行、 垂直关系相互转化。 线线 平行 面面平行的判定 线面平行的判定 线面平行的性质 线面 平行 面面平行的判定 面面平行的性质 面面 平行 面面平行的性质 面面垂直的判定 面面垂直的性质 线线 垂直 线面 垂直 面 面 垂直 面面垂直的判定 面面垂直的性质 线面垂直的性质 线面垂直的判定 考点三 对空间几何体外接球的考查 例 3 ( 1 ) ( 2 0 2 3年高考全国乙卷文数 第1 6题) 已知点S, A, B, C 均在半径为2的 球面上, △A B C 是 边 长 为 3 的 等 边 三 角 形, S A⊥平面 A B C, 则 | S A | = 。 ( 2 ) ( 2 0 2 3 年 高 考 全 国 甲 卷 理 数 第 1 5 题) 在正方体 A B C D- A1 B 1 C 1D1 中, E, F 分 别为A B, C 1D1 的中点, 以E F 为直径的球的 球面与该正方体的棱共有 个公共点。 ( 3 ) ( 2 0 2 3 年 高 考 全 国 甲 卷 文 数 第 1 6 题) 在正方体 A B C D- A1 B 1 C 1D1 中, | A B | = 4 , O 为A C 1 的中点, 若该正方体的棱与球 O 的球面有公共点, 则球 O 的半径的取值范围 是 。 命题意图: 本题 考 查 空 间 几 何 体 的 外 接 球问题, 考查直观想象、 逻辑推理及数学运算 等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 依题意, 先 由 正 弦 定 理 求 得底面外接圆的半径, 再结合直棱柱的 外 接 球及性质进 行 求 解。 ( 2 ) 根 据 正 方 体 的 对 称 性知, 球心到各棱距离相等, 可得解。( 3 ) 依 题意, 当球是正方体的外接球时半径最大, 当 边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形 时半径达到最小。 图6 解析: ( 1 ) 如 图 6 , 将 三 棱锥S - A B C 转化为直三棱 柱 S MN - A B C。 设 △A B C 的外 接 圆 圆 心 为 O1, 半 径 为r, 则 2 r= | A B | s i n ∠A C B = 3 3 2 =2 3, 可得r= 3。设 三棱锥 S - A B C 的 外 接 球 球 心 为 O, 连 接 O A, O O1, 则 | O A | = 2 , | O O1 | =1 2 | S A | 。因 为 | O A 2 | = | O O 1 | 2+ | O 1 A | 2, 即4 = 3 +1 4 | S A | 2, 所以解得 | S A | = 2 。 图7 ( 2 ) 不 妨 设 正 方 体 的 棱 长为 2 , E F 的中点为 O。分 别取C D, C C 1 的中点 G, M , 侧面 B B 1 C 1 C 的 中 心 为 N, 连 接 F G, E G, O M , O N, MN, 如图7 。 由题意 可 知, O 为 球 心, 在 正 方 体 中, | E F | = | F G | 2+ | E G | 2 = 2 2+ 2 2 = 2 2, 即 R= 2, 则 球 心 O 到C C 1 的 距 离 为 | O M|= | O N | 2+ | MN | 2 = 1 2+ 1 2 = 2。 所以球 O 与棱C C 1 相切, 球面与棱 C C 1 只有1个交点。 同理, 根据正方体的对称性知, 其余各棱 和球面也只有 1 个 交 点, 所 以 以 E F 为 直 径 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年9月 全科互知