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■四川省绵阳实验高级中学 刘林强 通过对近几年的高考概率统计解答题进 行分析, 其命题不断强化应用意识的考查, 这 也是新高考改革的必然趋势。概率与统计作 为高考的热点之一, 其往往以实际问题 为 背 景, 考查统计或概率的相关计算。复习时, 我 们应多关注其命题新动向。 动向一、注重统计案例的分析 统计案例分析问题通常是给出解题所需 的公式, 此类问题考查同学们的数据处 理 能 力和运算求解能力。要求同学们能正确使用 公式进行运算、 变形和数据处理, 能根据题意 寻找合理、 简捷的运算途径, 并会对数据进行 近似和估计计算。 例 1 ( 2 0 2 2年安徽蚌埠一模) 文旅部 门统计了某网红景点在2 0 2 2年3月至7月的 旅游收入y( 单位: 万) , 得到表1中的数据: 表1 月份x 3 4 5 6 7 旅游收入y 1 0 1 2 1 1 1 2 2 0 ( 1 ) 根据表中所给数据, 用相关系数r 加 以判断, 是否可用线性回归模型拟合 y 与x 的关系? 若可以, 求出y 关于x 之间的线性 回归方程; 若不可以, 请说明理由。 ( 2 ) 为调查游客对该景点的评价情况, 随 机抽查了 2 0 0 名游客, 得到如表 2 所示的列 联表, 请填写 表 2 , 依 据α=0 . 0 0 1 的 独 立 性 检验, 能否认为“ 游客是否喜欢该网红景点与 性别有关联” 。 表2 喜欢 不喜欢 总计 男 1 0 0 女 6 0 总计 1 1 0 附参考公式、 参考数据及表3 : 相关系数 r = ∑ n i=1 x i- ?? x y i- ?? y ∑ n i=1 x i- ?? x 2∑ n i=1 y i- ?? y 2 ; 1 0 ≈ 3 . 1 6 2 ; 线性回归方程为^ y= ^ b x+ ^ a, 其中^ b= ∑ n i=1 x i- ?? x y i- ?? y ∑ n i=1 x i- ?? x 2 = ∑ n i=1 x i y i- n ?? x ?? y ∑ n i=1 x 2 i- n x 2 , ^ a=?? y- ^ b ?? x, χ 2= n( a d- b c ) 2 a+ b c+ d a+ c b+ d , n= a + b+ c+ d。 表3 ( 临界值) α 0 . 0 1 0 . 0 0 5 0 . 0 0 1 χ α 6 . 6 3 5 7 . 8 7 9 1 0 . 8 2 8 解析: ( 1 ) 由已知得 ?? x=5 , ?? y=1 3 , ∑ 5 i=1( x i - ?? x) 2= 1 0 , ∑ 5 i=1( y i -?? y) 2=6 4 , ∑ 5 i=1( x i -?? x) · ( y i-?? y) =2 0 , 所 以r= 2 0 1 0 × 6 4 = 1 0 4 ≈ 0 . 7 9 1 。因为 | r |≈0 . 7 9 1 ∈[ 0 . 7 5 , 1 ] , 说明y 与x 的线性相关关系很强, 可用线性回归模 型拟合 y 与x 的 关 系, 因 为^ b=2 0 1 0=2 , ^ a= ?? y- ^ b ?? x= 1 3 - 1 0 = 3 , 所以y 关于x 的线性回 归方程为^ y= 2 x+ 3 。 ( 2 ) 2 × 2列联表如表4所示: 表4 喜欢 不喜欢 总计 男 7 0 3 0 1 0 0 女 4 0 6 0 1 0 0 总计 1 1 0 9 0 2 0 0 假设 H0: 游客是否喜欢该网红景点与性 别无 关 联, 根 据 表 4 中 的 数 据 可 得, χ 2 = 2 0 0 ×( 7 0 × 6 0 - 4 0 × 3 0 ) 2 1 0 0 × 1 0 0 × 1 1 0 × 9 0 ≈1 8 . 1 8 2 > 1 0 . 8 2 8 = x 0 . 0 0 1, 依据小概率值α= 0 . 0 0 1的独立性检 验, 我们推断 H0 不成立, 即游客是否喜欢该 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年3月 全科互知
网红景点与性别有关联。 评注: 高考中的线性回归问题, 主要考查 同学们的数据处理能力, 线性回归和相 关 系 数的公式一般会在考题中给出, 但需要 同 学 们能对公式进行准确的变形, 灵活处理 相 关 数据。对于分类变量的关系, 也 就 是 独 立 性 检验问题, 若利用公式计算出的 K 2 越大, 则 说明两个分类变量的关系越强; 反之, 关系越 弱。 动向二、重视样本估计总体的思想 为了考查总体 的 分 布 情 况, 通 常 是 从 总 体中抽取一个样本, 用样本的分布情况 去 估 计总体 的 分 布 情 况。 这 种 估 计 大 体 分 为 两 类: 用样本的频率分布估计总体的分布; 用样 本的数字特征估计总体的数字特征。 例 2 ( 2 0 2 2年黑龙江哈尔滨模拟) 我 国发表的《 人类减贫的中国实践》 白皮书提到 占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对 贫困, 提前1 0 年实现减贫目 标, 为 了 巩 固 脱 贫成果, 哈尔滨市某地区积极引导人们 种 植 一种名贵中药材, 并成立药材加工厂对 该 药 材进行切片加工, 包装成袋出售, 已知这种袋 装中药的质量以某项指标值k( 4 0 ≤ k≤ 1 0 0 ) 为衡量标准, k 值 越 大, 质 量 越 好, 该 质 量 指 标值的等级及出厂价如表5所示: 表5 质量指标值k 等级 出厂价( 元 / 袋) [ 4 0 , 6 0 ) 三级 1 0 0 [ 6 0 , 8 0 ) 二级 1 2 0 [ 8 0 , 9 0 ) 一级 1 5 0 [ 9 0 , 1 0 0 ] 优级 1 9 0 该药材加工厂为了解生产这种袋装中药 的经济效益, 从所生产的这种袋装中药 中 随 机抽取了1 0 0 0袋, 测量了每袋中药成品的k 值, 得到如图1所示的频率分布直方图。 ( 1 ) 视频率为概率, 求该药材加工厂所生 产的袋装中药成品的质量指标值k 的平均数 ( 同一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 中 点 值 作 代 表) 。 ( 2 ) 现从质量指标值为[ 6 0 , 8 0 ) 中分层抽 图1 取6袋, 某人在6袋 中抽取2袋, 已知其 中一 袋 的 质 量 指 标 值 在 [ 6 0 , 7 0) 内 的 条 件 下, 求 另 一 袋 的 质 量 指 标 值 在 [ 7 0 , 8 0 ) 内的概率。 ( 3 ) 假定该中药加工厂一年的袋装 中 药 的产量为1 0 万袋, 且全部都 能 销 售 出 去, 若 每袋袋装中药的成本为9 0元, 工厂的设备投 资为2 0 0万元, 试问: 该中药加工厂是否有可 能在一年内通过加工该袋装中药收回 投 资? 并说明理由。 解析: ( 1 ) 由题意可得平均数为?? k= 4 5 × 0 . 1 + 5 5 × 0 . 1 5 + 6 5 × 0 . 1 5 + 7 5 × 0 . 3 + 8 5 × 0 . 2 5 + 9 5 × 0 . 0 5 = 7 1 , 所以可以估计该中药 加工厂生产的袋装中药的指量指标值的平均 数为7 1 。 ( 2 ) 从质量指标值为[ 6 0 , 8 0 ) 中分层抽取 6袋, 则在质量指标值为[ 6 0 , 7 0 ) 内抽取 6× 0 . 0 1 5 0 . 0 1 5 + 0 . 0 3 0 = 2( 袋) , 设 为a, b; 在 质 量 指 标值为[ 7 0 , 8 0 ) 内抽取6 × 0 . 0 3 0 0 . 0 1 5 + 0 . 0 3 0= 4 ( 袋) , 设为C, D, E, F。某人在6袋中抽取2 袋, 已知 其 中 一 袋 的 质 量 指 标 值 在 [ 6 0 , 7 0 ) 内, 基本事件 有 ( a, b) , ( a, C) , ( a, D) , ( a, E) , ( a, F) , ( b, C) , ( b, D) , ( b, E) , ( b, F) , 共9个, 其中一袋的质量指标值在[ 6 0 , 7 0 ) 内 的条件下, 另一袋的质量指标值在[ 7 0 , 8 0 ) 内 包含的基本 事 件 有 ( a, C) , ( a, D) , ( a, E) , ( a, F) , ( b, C) , ( b, D) , ( b, E) , ( b, F) , 共 8 个, 所以其中一袋的质量指标值在[ 6 0 , 7 0 ) 内 的条件下, 另一袋的质量指标值在[ 7 0 , 8 0 ) 内 的概率为 P=8 9 。 ( 3 ) 设每袋袋装中药的销售利润为z 元, 则样本中每袋的平均利润为z= 1 0 × 0 . 2 5 + 3 0 × 0 . 4 5 + 6 0 × 0 . 2 5 + 1 0 0 × 0 . 0 5 = 3 6 ( 元 / 袋) , 利用样本平均数估计总体平均数可得该 厂一年内生 产 该 袋 装 中 药 的 盈 利 约 为 3 6× 1 0 0 0 0 0 = 3 6 0 0 0 0 0 ( 元) = 3 6 0 ( 万元) 。 因为3 6 0 万 元 > 2 0 0 万 元, 所 以 该 中 药 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年3月 全科互知
加工厂有可能在一年内通过加工该袋装中药 收回投资。 评注: 利用频率 分 布 直 方 图 来 估 计 总 体 是用样本的频率分布去估计总体分布的重要 方法, 在频率分布直方图中, 各小长方形的面 积表示相应各组的频率, 所以所有小长 方 形 的面积的和等于1 。 动向三、强化概率模型的识别与应用 概率问题的复 习 中 应 注 意 弄 清 题 意, 找 出关键词和破题点, 区分清楚各种概率 模 型 及适用范围。教材中有两个 重 要 概 率 分 布: 超几何分布和二项分布, 要注意二项分 布 与 超几何分布的区别: 二项分布是有放回 的 抽 样, 超几何分布是不放回的抽样。 例 3 ( 2 0 2 2年广东广州高三一模) 某 从事智能教育技术研发的科技公司开发了一 个“ A I作业” 项 目, 并 且 在 甲、 乙 两 个 学 校 的 高一学生中做用户测试。经过一个阶段的试 用, 为 了 解 “ A I作 业” 对 学 生 学 习 的 促 进 情 况, 该公司随机抽取了2 0 0名学生, 对他们的 “ 向量数量积” 知识点掌握的情况进行调查, 样本调查结果如6表所示: 表6 甲校 乙校 使用 A I作业 不使用 A I作业 使用 A I作业 不使用 A I作业 基本掌握 3 2 2 8 5 0 3 0 没有掌握 8 1 4 1 2 2 6 假设每位学生是否掌握“ 向量数量积” 知 识点相互独立。 ( 1 ) 从样本中随机抽取 2 名学生没 有 掌 握“ 向量数量积” 知识点的学生, 用ξ 表示抽 取的2名学生中使用“ A I作业” 的人数, 求ξ 的分布列和数学期望; ( 2 ) 用样本频率估计概率, 从甲校高一学 生中抽取1 名使用“ A I作 业” 的 学 生 和 1 名 不使用“ A I作业” 的学生, 用“ X =1 ” 表 示 该 名使用“ A I作业” 的学生基本掌握了“ 向量数 量积” , 用“ X= 0 ” 表示该名使用“ A I作业” 的 学生没有掌握“ 向量数量积” , 用“ Y= 1 ” 表示 该名不使用“ A I作业” 的学生基本掌握了“ 向 量数量积” , 用“ Y= 0 ” 表示该名不使用“ A I作 业” 的学生没有 掌 握“ 向 量 数 量 积” 。比 较 方 差 D( X) 和 D( Y) 的大小关系。 解析: ( 1 ) 依 题 意, 没 有 掌 握 “ 向 量 数 量 积” 知识点的学生有6 0人, 其中, 使用“ A I作 业” 的人数为2 0人, 不使用“ A I作业” 的人数 为4 0 , 所 以ξ 的 所 有 可 能 取 值 为 0 , 1 , 2 , 且 P( ξ= 0 ) =C 0 2 0C 2 4 0 C 2 6 0 =2 6 5 9 , P( ξ=1 ) =C 1 2 0C 1 4 0 C 2 6 0 = 8 0 1 7 7 , P ξ= 2 =C 2 2 0C 0 4 0 C 2 6 0 =1 9 1 7 7 。 所以ξ 的分布列为表7 : 表7 ξ 0 1 2 P 2 6 5 9 8 0 1 7 7 1 9 1 7 7 故 E ξ = 1 ×8 0 1 7 7 + 2 ×1 9 1 7 7 =2 3。 ( 2 ) 由题意, 易 知 X 服 从 二 项 分 布 X ~ B 1 , 4 5 , D X =p 1 - p = 4 2 5 , Y 服 从 二 项分 布 Y ~B 1 , 2 3 , D Y =p 1 - p = 2 9, 故 D( X) < D( Y) 。 评注: 本题主要考查超几何分布和二项分 布。超几何分布描述的是不放回抽样问题, 随 机变量为抽到的某类个体的个数。在根据独立 重复试验求二项分布的有关问题时, 关键是确 定二项分布的试验次数n 和变量的概率。 动向四、关注“冷门”知识的复习 统计与概率在 高 考 中 既 考 查 核 心 知 识, 也考查知识点的覆盖面。在近几年的高考中 就出现了条件概率和正态分布的问题, 因此, 在复习中不能忽视对所谓的“ 冷门知识” 的复 习, 如 正 态 分 布、 条 件 概 率、 相 关 系 数、 残 差 图、 拟合效果等。 例 4 ( 2 0 2 2年山东潍坊高三模拟) 冬 奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的 热情, 掀起了青少年锻炼身 体 的 热 潮。某 校 为了解全校学生“ 体能达标” 的情况, 从高三 年级1 0 0 0 名 学 生 中 随 机 选 出 4 0 名 学 生 参 加“ 体能达标” 测试, 并且规定“ 体能达标” 预 测成绩小 于 6 0 分 的 为 “ 不 合 格” , 否 则 为 合 格。若高三年级“ 不合格” 的人数不超过总人 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年3月 全科互知
数的5 %, 则该年级体能达标为“ 合格” ; 否则 该年级体能达标为“ 不合格” , 需要重新对高 三年级学生加强训练。现将 这 4 0 名 学 生 随 机分成甲、 乙两个组, 其中甲组有2 4名学生, 乙组有1 6名学生。经过预测后, 两组各自将 预测成绩统计分析如下: 甲组的平均成 绩 为 7 0 , 标准差为 4 ; 乙组的平均成绩为 8 0 , 标准 差为6 。( 数据的最后结果都精确到整数) ( 1 ) 求这4 0名学生测试成绩的平均分x 和标准差s 。 ( 2 ) 假设高三学生的体能达标预测 成 绩 服从正态分布 N( μ, σ 2) , 用样本平均数x 作 为μ 的估计值μ, 用样本标准差s作为σ 的估 计值σ。请 利 用 估 计 值 估 计, 高 二 学 生 体 能 达标预测是否“ 合格” 。 ( 3 ) 为增强趣味性, 在体能达标的跳绳测 试项目中, 同学们可以向体育特长班的 强 手 发起挑战。每场挑战赛都采 取 七 局 四 胜 制, 积分规则如下: 以4 ∶ 0或4 ∶ 1获胜队员积4 分, 落败队员积0分; 以4 ∶ 2或4 ∶ 3获胜队 员积3分, 落败队员积 1 分。假 设 体 育 生 王 强每局比赛获胜的概率均为 2 3, 求王强在这 轮比赛中所 得 积 分 为 3 分 的 条 件 下, 他 前 3 局比赛都获胜的概率。 附: ① n 个数的方差s 2=1 n ∑ n i=1( x i- x) 2; ②若随机变量Z~N( μ, σ 2) , 则 P( μ- σ < Z < μ+ σ) = 0 . 6 8 2 6 , P( μ- 2 σ < Z < μ+ 2 σ) = 0 . 9 5 4 4 , P( μ- 3 σ < Z < μ+ 3 σ) = 0 . 9 9 7 4 。 解析: ( 1 ) ?? x= 7 0 × 2 4 + 8 0 × 1 6 4 0 = 7 4 。 第一组 学 生 的 方 差 为s 2 1 = 1 2 4[ ( x 2 1 +x 2 2 +…+ x 2 2 4) -2 4×7 0 2] =4 2, 解 得 x 2 1+x 2 2+ …+ x 2 2 4= 2 4 ( 1 6 + 7 0 2) ; 第二组学生的方差为 s 2 2 = 1 1 6 x 2 2 5+ x 2 2 6+…+ x 2 4 0 - 1 6 × 8 0 2 = 6 2, 解得x 2 2 5+ x 2 2 6+…+ x 2 3 0= 1 63 6 + 8 0 2 。 所以这4 0名学生的方差为s 2= 1 4 0[ ( x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 2 4) + ( x 2 2 5 +x 2 2 6 + … +x 2 4 0) - 4 0 ?? x 2] =1 4 0[ 2 4( 1 6+7 0 2) +1 6( 3 6+8 0 2) - 4 0 × 7 4 2] = 4 8 , 所以s = 4 8≈7 。 ( 2 ) 由?? x=7 4 , s≈7 , 得 μ 的 估 计 值μ= 7 4 , σ 的估计值σ= 7 。 因为 P( μ- 2 σ < X < μ+ 2 σ) =P( 6 0 < X < 8 8 ) = 0 . 9 5 4 4 , 所 以 P( X < 6 0 ) =P( X ≥ 8 8 ) = 1 - 0 . 9 5 4 4 2 = 0 . 0 2 2 8 。 所以高 三 年 级 1 0 0 0 名 学 生 中, 不 合 格 的有1 0 0 0×0 . 0 2 2 8≈2 3( 人) , 又 2 3 1 0 0 0 < 5 0 1 0 0 0 = 5 %, 所 以 高 三 年 级 学 生 体 能 达 标 为 “ 合格” 。 ( 3 ) 设王强在这轮比赛得3分为事件 A, 他以4 ∶ 2的比分获胜为事件 A1, 他以4 ∶ 3 的比 分 获 胜 为 事 件 A2, 则 P ( A1) =C 3 5 · 2 3 3 1 3 2 2 3 =1 6 0 3 6 , P( A2) =C 3 6 2 3 3 · 1 3 3 2 3 = 3 2 0 3 7 。 所以 P( A) =P A1 +P A2 = 8 0 0 3 7 。 设王 强 前 3 局 比 赛 获 胜 为 事 件 B, 则 P( A B) = 2 3 3 1 3 2 2 3 + 2 3 3 1 3 3 · 2 3 = 6 4 3 7 。 所以 P( B | A) =P( A B) P( A)=6 4 8 0 0 =2 2 5 。 评注: 正态分布是一种重要的分布, 尤其 是正态分布的3 σ 原则在复习时要注意。 在解 决条件概率问题时要分析几个事件间的先后 顺序, 以及先发生事件的概率对后发生事件的 概率产生如何的影响( 即后发生的事件算的是 条件概率) , 同时根据随机变量的不同取值, 事 件发生的过程会有所不同, 要注意区别。 概率与统计解答题的文字阅读量通常比 较大, 这是高考命题的主要 方 向。复 习 时 应 注意把握命题动向, 逐步形成解题四大步骤: 读题提取关键信息、 析题形成解题思路、 解题 示范规范表达、 反思积淀解题方法, 同时书写 要规范, 这样在解决概率统计问题时才 能 得 心应手。 ( 责任编辑 王福华) 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年3月 全科互知
■四川省绵阳实验高级中学 黄 芹 概率与统计知识主要考查同学们的数学 建模、 数 据 分 析 等 核 心 素 养, 在 新 高 考 背 景 下, 概率与统计解答题常常通过构建真 实 的 情境将数学的各个知识点串联贯通, 注 重 同 学们的实践体验, 并常常会出现合理决 策 的 问题, 呈现考题应用化的特 点。从 题 目 呈 现 形式上来看, 大致为以下三种类型。 类型一、模 型 分 析 类— — —通 过 对 问 题 情 境的分析转化,得出概率模型,利用概率知识 解决实际问题 例 1 深受广大球迷喜爱的某支足球 队, 在对球员乙的使用上需要进行数据分析, 根据以往的数据统计, 乙球员能够胜任前锋、 中锋、 后卫及守门员四个位置, 且出场率分别 为0 . 2 、 0 . 5 、 0 . 2 、 0 . 1 , 当 出 任 前 锋、 中 锋、 后 卫及守门员时, 球队输球的概率依次为0 . 4 、 0 . 2 、 0 . 6 、 0 . 2 。 ( 1 ) 当他参加比赛时, 求球队某场比赛输 球的概率; ( 2 ) 当他参加比赛时, 在球队输了某场比 赛的条件下, 求乙球员担当前锋的概率; ( 3 ) 如果你是教练员, 请应用概率统计有 关知识, 分析该如何使用乙球员? 解析: ( 1 ) 设A1 表示“ 乙球员担当前锋” ; A2 表示“ 乙球员担当中锋 ” ; A3 表示“ 乙球员 担当后卫” ; A4 表示“ 乙球员担当守门员” ; B 表 示 “ 球 队 输 掉 某 场 比 赛 ” , 则 P ( B) = P( A1) P( B | A1) + P ( A2 ) P ( B|A2 )+ P( A3) P( B | A3) + P ( A4 ) P ( B|A4 ) = 0 . 2 × 0 . 4 + 0 . 5 × 0 . 2+0 . 2×0 . 6+0 . 1× 0 . 2 = 0 . 3 2 。 ( 2 ) 由 题 意 知 P ( A1 B ) =P( A1 B) P( B) = P( A1) P( B A1) P( B) = 0 . 2 × 0 . 4 0 . 3 2 =1 4。 ( 3 ) 由 题 意 知 P ( A2 B ) =P( A2 B) P( B) = P( A2) P( B A2) P( B) = 0 . 5 × 0 . 2 0 . 3 2 =5 1 6 ; P (A3 B ) = P( A3 B) P( B) = P( A3) P( B A3) P( B) = 0 . 2 × 0 . 6 0 . 3 2 =3 8; P (A4 B ) = P( A4 B) P( B) = P( A4) P( B A4) P( B) = 0 . 1 × 0 . 2 0 . 3 2 =1 1 6 。 所以 P ( A1 B ) ∶P ( A2 B ) ∶P ( A3 B) ∶P( A4 B) = 4 ∶ 5 ∶ 6 ∶ 1 。 所以应该多让 乙 球 员 担 当 守 门 员, 来 扩 大赢球场次。 点睛: 本题主要 考 查 条 件 概 率 模 型 及 决 策性问题。 类型二、数 据 分 析 处 理 类— — —用 图 形 或 者表格给出数据,通过数据分析,构建模型解 决实际问题 例 2 为了保护学生的视力, 让学生在 学校专心学习, 促进学生身心健康发展, 教育 部于2 0 2 1年 1 月 1 5 日下发文件《 关于加强 中小学生手机管理工作的通知》 , 对中小学生 的手机使用和管理作出了相关的规定。某中 学研究型学习小组调查研究“ 中学生每日使 用手机 的 时 间” , 从 该 校 学 生 中 随 机 选 取 了 1 0 0名学生, 调查得到表1中的统计数据。 表1 时间t / m i n [ 0 , 1 2 ) [ 1 2 , 2 4 )[ 2 4 , 3 6 )[ 3 6 , 4 8 )[ 4 8 , 6 0 )[ 6 0 , 7 2 ] 人数 6 3 0 3 5 1 0 6 4 ( 1 ) 从该校任选1名学生, 估计该学生每 日使用手机的时间小于3 6 m i n的概率; ( 2 ) 估计该校所有学生每日使用手 机 的 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年3月 全科互知
时间t的中位数; ( 3 ) 以频率估计概率, 若在该校学生中随 机挑选3人, 记这3人每日使用手机的时间 在[ 4 8 , 7 2 ] 内的人数为随机变量 X, 求 X 的 分布列和数学期望E( X) 。 解析: ( 1 ) 由题表知, 该校 学 生 每 日 使 用 手机的时间t小于3 6 m i n的有6 + 3 0 + 3 5 = 7 1 ( 人) , 所以从该校任选1名学生, 估计该学 生每日使用手机的 时 间 小 于 3 6 m i n 的 概 率 P=7 1 1 0 0 。 ( 2 ) 设中 位 数 为 x 0, 因 为 该 校 所 有 学 生 每日使用手机的时间t 小于 2 4 m i n 的 频 率 为 3 6 1 0 0 < 1 2, 每 日 使 用 手 机 的 时 间 t 小 于 3 6 m i n 的 频 率 为 7 1 1 0 0 > 1 2, 所 以 x 0 ∈ [ 2 4 , 3 6 ) 。 由 x 0- 2 4 1 2 ×3 5 1 0 0= 0 . 5 - 0 . 3 6 = 0 . 1 4 , 解 得x 0= 2 8 . 8 。 用样本估计总 体, 所 以 可 估 计 该 校 所 有 学 生 每 日 使 用 手 机 的 时 间 t 的 中 位 数 为 2 8 . 8 m i n 。 ( 3 ) 由题意知 X 的所有可能取值为0 , 1 , 2 , 3 。 由表中数据可知, 任意挑选1人, 每日使 用手 机 的 时 间 在 4 8 , 7 2 内 的 概 率 为 1 1 0 , 则 X~B 3 , 1 1 0 。 所以 P( X= 0 ) = 1 -1 1 0 2 = 7 2 9 1 0 0 0 ; P( X= 1 ) =C 1 3×9 1 0 ×1 1 0 = 2 4 3 1 0 0 0 ; P( X= 2 ) =C 2 3×9 1 0 × 1 1 0 2 = 2 7 1 0 0 0 ; P( X= 3 ) = 1 1 0 3 = 1 1 0 0 0 。 所以 X 的分布列为表2 。 表2 X 0 1 2 3 P 7 2 9 1 0 0 0 2 4 3 1 0 0 0 2 7 1 0 0 0 1 1 0 0 0 故 X 的数学期望E( X) = 3 ×1 1 0 =3 1 0 。 点睛: 本题主要 考 查 用 样 本 的 数 字 特 征 估计总体的数字特征及二项分布。 例 3 某兴趣小组为了解某城市不同 年龄段的市民每周的阅读时长情况, 在 市 民 中随机抽取了 3 0 0 人进行调 查, 并 按 市 民 的 年龄是否低于 4 5 岁及周平均阅读时间是否 少于5小时将调查结果整理成如表3所示的 列联表。现统计得出样本中周平均阅读时间 少于5小时的人数占样本总数的5 0 %; 4 5岁 以上( 含 4 5 岁) 的 样 本 占 样 本 总 数 的 4 1 5 ; 4 5 岁以下且周平均阅读时间少于5小时的样本 有1 2 0人。 表3 周平均阅读时间 少于5小时 周平均阅读时间 不少于5小时 合计 4 5岁以下 1 2 0 4 5岁以下( 含4 5岁) 合计 3 0 0 ( 1 ) 请根据已知条件将上述列联表补充 完整, 并依据小概率值α=0 . 0 1 的独立性检 验, 分析周平均阅读时间长短与年龄是 否 有 关联。如果有关联, 解释它们 之 间 如 何 相 互 影响。 ( 2 ) 现从 4 5 岁以上( 含 4 5 岁) 的样本中 按周平均阅读时间是否少于5小时用分层抽 样法抽取8人做进一步访谈, 然后从这 8 人 中随机抽取 3 人 填 写 调 查 问 卷, 记 抽 取 的 3 人中周平均阅读时间不少于5小时的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望。 附 参 考 公 式 及 数 据 ( 表 4) : χ 2 = n( a d- b c ) 2 ( a+ b) ( c+ d) ( a+ c ) ( b+ d) , n=a+b+c + d。 表4 α 0 . 1 0 . 0 5 0 . 0 1 0 . 0 0 50 . 0 0 1 χ α 2 . 7 0 63 . 8 4 16 . 6 3 57 . 8 7 9 1 0 . 8 2 8 解析: ( 1 ) 因为样本中周平均阅读时间少 于5小时的人数占样本总数的5 0 %, 所以样 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年3月 全科互知