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■赵 昆 张文伟 高一上学年的主要内容有: 集合与常用 逻辑用语, 一元二次函数, 方 程 和 不 等 式, 函 数的概念与性质, 指数函数与对数函数, 以及 三角函数。要想学好这部分 内 容, 就 要 理 解 它们的概念、 性质及应用, 掌握一些经典题型 的解题思想与方法, 注意知识的归纳总结, 逐 步提高解题能力和创新思维能力。 题型1 : 集合的交集、 并集、 补集运算 集合的运算主 要 包 括 交 集、 并 集 和 补 集 运算, 这也是高考对集合部分的主要考查点。 解答这类问题, 可借助数轴或 V e n n图, 即利 用数形结 合 法, 使 得 所 求 问 题 直 观 化、 形 象 化, 进而简捷、 准确地获解。 例1 已知全集U={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , 集合 A = { x∈N | 1 < x≤4 } , B = { x∈R | x 2- 3 x+ 2 = 0 } 。 ( 1 ) 用列举法表示集合 A 与B。 ( 2 ) 求 A∩B 及? U ( A∪B) 。 解: ( 1) 由 题 意 知, A = { 2 , 3 , 4} , B = { x∈R | ( x- 1 ) ( x- 2 ) = 0 } ={ 1 , 2 } 。 ( 2 ) 由题意知, A∩B={ 2 } , A∪B={ 1 , 2 , 3 , 4 } , 所以? U ( A∪B) ={ 0 , 5 , 6 } 。 跟踪训练 1 : 设 集 合 U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , A={ 2 , 4 } , B={ 1 , 2 , 3 } , 则图1中阴影部分 表示的集合是( ) 。 图1 A. { 4 } B . { 2 , 4 } C . { 4 , 5 } D. { 1 , 3 , 4 } 提示: 图中阴影部分表示的是集合 A 中 的元素除去 A∩B 中的元素构成的集合, 故 图中阴影部分所表示的集合是{ 4 } 。或者, 利 用 A∩( ? UB) 也可得到阴影部分所表示的集 合为{ 4 } 。应选 A。 题型2 : 集合关系中的求参数问题 已知两集合间的关系求参数的关键是将 两个集合间的关系转化为元素间的关 系, 进 而转化为参数满足的关系。解 决 这 类 问 题, 要合理利用数轴、 V e n n图帮助分析, 同时还要 注意空集这一“ 陷阱” , 尤其是集合中含有参数 时, 要分类讨论, 讨论时要做到不重不漏。 例2 已知集合 A={ x | x < - 1或x≥ 1 } , B={ x | 2 a < x≤ a+ 1 , a < 1 } , 且 B?A, 则实数a 的取值范围为 。 解: 因 为 a < 1 , 所 以 2 a < a+1 , 所 以 B≠ ?。画出数轴, 如图2所示。 图2 由 B?A, 可知a+ 1 < - 1或2 a≥ 1 , 解 得a < - 2 或 a≥ 1 2。因 为 a < 1 , 所 以 a < - 2或 1 2 ≤a < 1 。故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a < - 2或1 2≤ a < 1 。 跟踪训练2 : 已知集合 A={ x | - 3 ≤ x < 2 } , B={ x | 2 k- 1 ≤ x≤ 2 k+ 1 } , 且 B?A, 求 实数k 的取值范围。 提示: 由题意知 B ≠ ?。由 B?A, 可在 数轴上表示 A, B, 如图3所示。 图3 要 使B?A , 需 满 足 2 k- 1 ≥- 3 , 2 k+ 1 < 2 , 解 得 3 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1月 全科互知
k≥- 1 , k < 1 2。 故 实 数 k 的 取 值 范 围 是 k - 1 ≤ k < 1 2 。 题型3 : 充分条件与必要条件 充要条 件 在 数 学 中 有 着 非 常 广 泛 的 应 用, 在高考中有着较高的考查频率, 其特点是 以高中 数 学 的 其 他 知 识 为 载 体 考 查 充 分 条 件、 必要条件、 充要条件的判断。 例3 已 知 集 合 A={ x∈R | 2 x+m < 0 } , B={ x∈R | x < - 1或x > 3 } 。 ( 1 ) 是否存在实数 m, 使得x∈A 是x∈ B 成立的充分条件? ( 2 ) 是否存在实数 m, 使得x∈A 是x∈ B 成立的必要条件? 解: ( 1 ) 要使x∈A 是x∈B 成立的充分 条件, 需满 足 x x < -m 2 ?{ x | x < -1 或 x > 3 } , 所以-m 2≤- 1 , 解得 m≥ 2 。故存在 实数 m≥ 2 , 使得x∈A 是x∈B 成立的充分 条件。 ( 2 ) 要使 x∈A 是x∈B 成立的必 要 条 件, 需 满 足 { x|x < - 1 或 x > 3}? x x < -m 2 , 这是不可能的, 故不存在实数 m, 使x∈A 是x∈B 成立的必要条件。 跟踪训练 3 : 若 p: x 2 +x-6=0 是q: a x+ 1 = 0的必要不充分条件, 则实数a 的值 为 。 提示: 由 x 2 +x-6=0 , 可 得 x=2 或 x=- 3 。已知a x+ 1 = 0 , 当a= 0时, 方程无 解; 当a≠0时, x=-1 a 。由题意知p? / q 且 q? p。当a= 0时, 不合题意; 当a≠0时, 由 -1 a = 2或-1 a =- 3 , 解得a= - 1 2 或a= 1 3。综上可知, 实数a=-1 2或a=1 3。 题型4 : 全称量词命题与存在量词命题 一般命题的否定与含有一个量词的命题 的否定的区别与联系: 一般命题的否定 通 常 是在条件成立的前提下否定其结论, 得 到 真 假性完全相反的两个命题; 含有一个量 词 的 命题的否定, 是在否定其结论的同时, 改变量 词的属性, 即将全称量词改为存在量词, 存在 量词改为全称量词; 与一般命题的否定相同, 含有一个量词的命题的否定的关键也是对关 键词的否定。 例4 ( 1 ) 下 列 语 句 不 是 全 称 量 词 命 题 的是( ) 。 A. 任何一个实数乘以零都等于零 B . 梯形有两边平行 C . 高一( 1 ) 班绝大多数同学是团员 D. 每一个三角形的内角和都等于1 8 0 ° ( 2)下 列 命 题 是 存 在 量 词 命 题 的 是( ) 。 A. ? x∈R, x 2 > 0 B . 平行四边形的对边平行 C . ? x∈R, x 2≤ 0 D. 矩形的任一组对边相等 解: ( 1 ) A 中命题可改写为: 任 意 一 个 实 数乘以零都 等 于 零, 故 A 是 全 称 量 词 命 题。 B中命题可 改 写 为: 任 意 的 梯 形 都 有 两 边 平 行, 故 B是全称量词命题。C 中命 题 可 改 写 为: 高一( 1 ) 班存在部 分 同 学 是 团 员, C 不 是 全称量词命 题。D 中 命 题 可 改 写 为: 任 意 的 三角形内角和都等于1 8 0 ° , 故 D 是全称量词 命题。应选 C 。 ( 2 ) ? x∈R, x 2 > 0 是全称量词命题, A 不符合题意。平行四边形的 对 边 平 行, 省 略 了量词“ 所有” , 是全称量词命题, B 不符合题 意。? x∈R, x 2≤ 0是存在量词命题, C 符合 题意。矩形的任一组对边相等是全称量词命 题, D 不符合题意。应选 C 。 跟踪训练 4 : 下 列 命 题 是 全 称 量 词 命 题 的是( ) 。 A. 有些实数没有平方根 B . 能被5整除的数也能被2整除 C . 在实数范围内, 有些一元二次方程无解 D. 有一个 m 使2 -m 与 | m | - 3异号 提 示 : 选 项 A、 C、 D 中 都 含 有 存 在 量 词 , 故 都 为 存 在 量 词 命 题 。 选 项 B 中 含 有 全 称 量 词 命 题“ 所 有” , B 是 全 称 量 词 命 题 。 应 选 B 。 4 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1月 全科互知
题型5 : 基本不等式问题 基本不等式主 要 是 解 决 最 大 值、 最 小 值 的问题。利用基本不等式解 题 时, 要 注 意 条 件是否满足, 同时注意等号能否取到, 多次使 用基本不等式, 要注意等号能否同时成立。 例5 若正数a, b 满足2 a b= 2 a+ b, 则 a+ 8 b 的最小值是 。 解: 因为正数a, b 满 足 2 a b=2 a+ b, 所 以1 b + 1 2 a =1 , 所 以 a+8 b= ( a+8 b) · 1 b + 1 2 a =a b +4 b a +1 7 2 ≥4+1 7 2 =2 5 2, 当且 仅当 4 b a =a b 且2 a b= 2 a+ b, 即a=5 2, b=5 4 时等号成立。故所求的最小值为 2 5 2。 跟踪训练 5 : 已 知 正 数 a, b, c 满 足a+ b+ c= 2 , 求证: b 2 a + c 2 b + a 2 c ≥ 2 。 提示: 由基本不等式得 b 2 a + a≥2 b, c 2 b + b≥ 2 c, a 2 c + c≥ 2 a, 三式相加得 b 2 a + a+ c 2 b + b+ a 2 c + c≥ 2 b+ 2 c+ 2 a, 所以 b 2 a + c 2 b + a 2 c ≥ a+ b+ c= 2 , 即 b 2 a + c 2 b + a 2 c ≥ 2 。 题型6 : 二次函数与一元二次方程、 不等 式的应用 这类问题主要利用一元二次方程和二次 函数相结合, 求解一元二次不等式。 例6 不等式 6-x-2 x 2 < 0 的解集是 。 解: 由 6-x-2 x 2 < 0 , 可 得 2 x 2 +x- 6 > 0 。因为方程2 x 2+ x- 6 = 0的两根为x 1 =- 2 , x 2 = 3 2, 所 以 所 求 不 等 式 的 解 集 为 x x > 3 2或x < - 2 。 跟踪训练6 : 设不等式x 2- 2 x- 3 < 0的 解集为A, 不等式x 2+ x- 6 < 0的解集为B。 ( 1 ) 求 A∩B。 ( 2 ) 若不 等 式 x 2+ a x+ b < 0 的 解 集 为 A∩B, 求不等式a x 2+ x+ b < 0的解集。 提示: ( 1 ) 由 x 2- 2 x- 3 < 0 , 可得 -1 < x < 3 , 所以 A={ x | - 1 < x < 3 } 。由 x 2+x - 6 < 0 , 可得- 3 < x < 2 , 所以 B={ x | - 3 < x < 2 } 。由上可得, A∩B={ x | - 1 < x < 2 } 。 ( 2)由 题 意 可 得 1 - a+ b= 0 , 4 + 2 a+ b= 0 , 解 得 a=- 1 , b=- 2 , 所以所 求 不 等 式 为 -x 2+x-2 < 0 , 即x 2- x+ 2 > 0恒成立, 所以不等式x 2- x+ 2 > 0的解集为 R。 题型7 : 不等式恒成立问题 解决这 类 问 题, 可 利 用 分 离 参 数 法, 将 “ 恒成立问题” 转化为“ 最值问题” 求解。 y≥ m 恒成立 ? ym i n≥m; y≤m 恒 成 立 ?ym a x≤ m。要注意 分 离 参 数 法 不 是 万 能 的, 如 果 分 离参数后, 得出的式子较为复杂, 性质很难研 究, 就不能使用分离参数法。 例7 设 x, y∈ ( 0 , + ∞) , 若 不 等 式 x + y ≤ a· x+ y 恒 成 立, 求a 的 最 小 值。 解: 由 题 意 可 知 a≥ x + y x+ y 恒 成 立。 因为 x, y∈ ( 0 , + ∞) , 所 以 x + y x+ y 2 = x+ y+ 2 x y x+ y = 1+2 x y x+ y ≤1+x+ y x+ y=2 , 当且仅当x= y 时等号成立。所以 x + y x+ y ≤ 2, 所以a≥ 2, 即a 的最小值为 2。 跟踪训练7 : 设a > b > c, 且 1 a- b+ 1 b- c ≥ m a- c恒成立, 求 m 的取值范围。 提示: 由a > b > c, 可知a- b > 0 , b- c > 0 , a- c > 0 。原不等式等价于 a- c a- b+ a- c b- c≥ m, 所以只需 a- c a- b+a- c b- c的最小值不小于 m 即可。因 为a- c a- b+a- c b- c= ( a- b) +( b- c ) a- b + ( a- b) +( b- c ) b- c =2+b- c a- b+a- b b- c≥2+ 2 b- c a- b· a- b b- c = 4 , 当且仅当 b- c a- b=a- b b- c, 5 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1月 全科互知
即2 b= a+ c 时等号 成 立, 所 以a- c a- b+a- c b- c 的最小值为4 , 所以 m≤ 4 , 即 m 的取值范围 是( -∞, 4 ] 。 题型8 : 函数的性质及应用 函数的性质主要是指定义域、 值域、 单调性 和奇偶性。利用函数的单调性和奇偶性求值、 比较大小、 解不等式是学习的重点。解不等式 时, 要结合图像, 注意考虑定义域的影响。 例8 已知f( x) 是定义在[ - 1 , 1 ] 上的 奇函数, 且 f( 1 ) = 1 , 若a, b∈[ - 1 , 1 ] , a+ b≠0 , 则 f( a) + f( b) a+ b > 0成立。 ( 1 ) 判断f( x) 在[ - 1 , 1 ] 上的单调性, 并 证明。 ( 2 ) 解不等式f( x 2) < f( 2 x) 。 ( 3 ) 若 f( x) ≤m 2 -2 a m +1 对 所 有 的 a∈[ - 1 , 1 ] 恒成立, 求实数 m 的取值范围。 解: ( 1 ) f( x) 是[ - 1 , 1 ] 上的增函数。 任取 x 1, x 2 ∈ [ -1 , 1 ] , 且 x 1 < x 2, 则 f( x 1) - f( x 2) = f( x 1) + f( - x 2) 。 由 题 意 得f( x 1) + f( - x 2) x 1+( - x 2) > 0 , 所 以 f( x 1) - f( x 2) x 1- x 2 > 0 。 由 x 1 -x 2 < 0 , 可 得 f( x 1) - f( x 2) < 0 , 所以 f( x) 是[ -1 , 1 ] 上 的增函数。 ( 2 ) 由( 1 ) 得 f( x) 在 [ -1 , 1 ] 上 单 调 递 增, 所 以 不 等 式 f ( x 2 ) < f ( 2 x) 等 价 于 - 1 ≤ x 2≤ 1 , - 1 ≤ 2 x≤ 1 , x 2 < 2 x, ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 解得 0 < x≤ 1 2。故所求不 等 式的解集为 0 , 1 2 。 ( 3 ) 要使f( x) ≤m 2- 2 a m+ 1对所有的 x∈ [ -1 , 1] , a ∈ [ -1 , 1] 恒 成 立, 只 需 f( x) m a x≤m 2- 2 a m+ 1对所有的 x∈[ -1 , 1 ] , a∈ [ -1 , 1] 恒 成 立。 因 为 f ( x) m a x = f( 1 ) = 1 , 所 以 1≤m 2 -2 a m +1 对 任 意 的 a∈[ - 1 , 1 ] 恒成立, 即 m 2- 2 a m≥ 0对任意 的a∈[ - 1 , 1 ] 恒成立。令g( a) =- 2 m a+ m 2, 所 以 g( - 1 ) = 2 m+m 2≥ 0 , g( 1 ) =m 2- 2 m≥ 0 , 解 得 m ≤ - 2或 m≥ 2或 m= 0 。故实数 m 的取值范 围是( -∞, - 2 ] ∪{ 0 } ∪[ 2 , +∞) 。 跟踪训练8 : 已知函数f( x) =m x 2+ 2 3 x+ n 是 奇函数, 且f( 2 ) =5 3。 ( 1 ) 求实数 m 和n 的值。 ( 2 ) 求函数f( x) 在区间[ - 2 , - 1 ] 上的 最值。 提示: ( 1) 因 为 f ( x) 是 奇 函 数, 所 以 f( - x) =- f( x) , 所以m x 2+ 2 3 x+ n =-m x 2+ 2 3 x+ n = m x 2+ 2 - 3 x- n, 所 以 n = -n, 即 n =0 。 又 f( 2 ) =5 3, 所以4 m+ 2 6 =5 3, 解得 m=2 。故 实数 m 和n 的值分别是2和0 。 ( 2 ) 由( 1 ) 知f( x) = 2 x 2+ 2 3 x = 2 x 3 + 2 3 x。 任取x 1, x 2∈[ - 2 , - 1 ] , 且 x 1 < x 2, 则 f( x 1) -f( x 2) = 2 3 ( x 1 -x 2)1 - 1 x 1 x 2 = 2 3( x 1 -x 2) ·x 1 x 2- 1 x 1 x 2 。 因 为 -2≤x 1 < x 2≤- 1 , 所以 x 1-x 2 < 0 , x 1 x 2 > 1 , x 1 x 2- 1 > 0 , 所以 f( x 1) -f( x 2) < 0 , 即 f( x 1) < f( x 2) , 所以函数 f( x) 在[ -2 , -1 ] 上单 调 递增。 所 以 f ( x) m a x =f ( -1) = - 4 3, f( x) m i n= f( - 2 ) =-5 3。 题型9 : 指 数 型 函 数 与 对 数 型 函 数 的 性 质问题 利用 f ( -x) =f ( x) 或 f ( -x) = - f( x) 判断奇偶性或求参数的值时, 注意考 虑 函 数 的 定 义 域。 形 如 y =a f( x) 或 y = l o g a f( x) 的函数的单调性要先求定义 域, 再 根据y= a u, y= l o g a u 和u=f( x) 的单调性 来确定, 其单调性遵循“ 同增异减” 的法则。 例9 若函数 f( x) =2 x+ 1 2 x- a 是奇函 数, 则使f( x) > 3成立的x 取值范围为( ) 。 A. ( -∞, - 1 ) B . ( - 1 , 0 ) C . ( 0 , 1 ) D. ( 1 , +∞) 6 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1月 全科互知
解: 由 题 意 知 f ( -x) = -f ( x) , 即 2 - x+ 1 2 - x- a= -2 x+ 1 2 x- a , 也 即 2 x+ 1 1 - a· 2 x =2 x+ 1 a- 2 x , 所以a= 1 , 所以 f( x) =2 x+ 1 2 x- 1 。由 f( x) > 3 , 可得 2 x+ 1 2 x- 1 > 3 , 所以2 x- 2 2 x- 1 < 0 , 所以1 < 2 x < 2 , 解得0 < x < 1 。应选 C 。 跟踪训练 9 : 函数 f( x) = l o g 1 2 ( x 2-4 ) 的单调递增区间为( ) 。 A. ( 0 , +∞) B . ( -∞, 0 ) C . ( 2 , +∞) D. ( -∞, - 2 ) 提示: 由 x 2 -4 > 0 , 可 得 x > 2 或 x < - 2 , 所以函数f( x) 的定义域为( -∞, - 2 ) ∪( 2 , +∞) 。设u= x 2- 4 , 则函数u 在区间 ( -∞, - 2 ) 上是减函数, 在区间( 2 , + ∞) 上 是增函数。又y= l o g 1 2u 在区间( 0 , +∞) 上 是减函数, 所以函数f( x) = l o g 1 2 ( x 2- 4 ) 的 单调递增区间为( -∞, - 2 ) 。应选 D。 题型1 0 : 函数的零点与方程的解 方程f ( x) =0 有 实 数 解 ? 函 数 y = f( x) 的 图 像 与 x 轴 有 公 共 点 ? 函 数 y= f( x) 有零点。在解函数与方程问题时, 要注 意三者之间的关系。确定函数零点的个数或 函数零点所在区间的两个基本方法: 利 用 零 点存在性定理; 利用数形结合转化为函 数 图 像的交点问题。 例1 0 下列函数中, 既是偶函数又存在 零点的是( ) 。 A. y= l n x B . y= x 2+ 1 C . y= x 3- x D. y= e | x |- e 解: 因为y= l n x 的定义域为( 0 , +∞) , 所以函数y= l n x 不存在奇偶性。 y= x 2+ 1 是偶函数, 但x 2+1=0 无实根, 即不存在零 点。 y= x 3-x 是 奇 函 数。 y=e | x |-e是 偶 函数, 由e | x |-e =0 , 可 得| x |=1 , 所 以 x= ± 1 , 即存在两个零点。应选 D。 跟踪训练1 0 : 已知函数f( x) = | l o g 3 x | , 若函数y= f( x) -m 有两个不同的零点a, b, 则( ) 。 A. a+ b= 1 B . a+ b= 3 m C . a b= 1 D. b= a m 提示: 因为函数y= f( x) -m 有两个不 同的零点a, b, 所以a≠b, 且 f( a) =f( b) 。 因为f( x) = | l o g 3 x | , 所以l o g 3 a+ l o g 3 b= 0 , 即l o g 3 a+ l o g 3 b= l o g 3( a b) = 0 , 所以a b= 1 。 应选 C 。 题型1 1 : 函数的应用问题 解决函 数 应 用 问 题 的 关 键 在 于 理 解 题 意, 并准确建立数学模型。因此, 一方面要加 强对常见函数模型的理解, 弄清其产生 的 实 际背景, 把数学问题生活化; 另 一 方 面, 要 不 断拓宽自己的知识面, 提高生活阅历, 培养实 际问题数学化的意识和能力。对于只是给出 几组对应值, 而变量关系不确定的应用题, 求 解函数模型的一般步骤如下: 作散点图; 选择 函数模型; 用待定系数法求 函 数 模 型; 检 验, 若符合实际, 则可用此函数模型解决问题。 例1 1 已知某种放射性物质经过1 0 0年 剩余质量是原来质量的9 5 . 7 6 %, 设质量为1 的这种物 质, 经 过 x 年 后 剩 余 质 量 为y, 则 x, y 之间的函数解析式是( ) 。 A. y= 0 . 9 5 7 6 1 0 0 x B . y= 0 . 9 5 7 6 x 1 0 0 C . y= 0 . 9 5 7 6 1 0 0 x D. y= 1 - 0 . 0 4 2 4 x 1 0 0 解: 设质量为1的这种物质1年后剩余质 量为 a。由 题 意 得 a 1 0 0 =0 . 9 5 76 , 所 以 a= 0 . 9 5 7 6 1 1 0 0。所以y= a x= 0 . 9 5 7 6 x 1 0 0。应选B 。 跟踪训练 1 1 : 某 化 工 厂 生 产 一 种 溶 液, 按市场要求, 此种溶液的杂质含量不能 超 过 0 . 1 %。若初始含杂质2 %, 每过滤一次可使 杂质减少 1 3, 则至少应该过滤多少次才能达 到市场要求? ( l g 2≈0 . 3 0 1 , l g 3≈0 . 4 7 7 1 ) 提示: 设应该过滤n 次, 则2 % 1 -1 3 n ≤ 0 . 1 %, 所以 2 3 n ≤1 2 0 , 所以n≥ l g 2 + 1 l g 3 - l g 2 ≈7 . 4 , 即n≥ 7 . 4 , 所以至少应该过滤8次才 能达到市场要求。 题型1 2 : 三角函数的性质问题 求三角函数值 域 或 最 值 的 三 种 方 法: 利 用s i n x, c o s x 的有界性; 从y=A s i n ( ω x+ φ) + k 的形式逐步分析ω x+ φ 的范围, 根据 7 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1月 全科互知
正弦函数单调性求出函数的值域; 换元法, 把 s i n x 或c o s x 看作一个整体, 化为求函数在 区间上的值域或最值问题。利用换元法求三 角函数的值域时, 一定要注意三角函数 自 身 的取 值 范 围, 否 则 会 出 现 错 误。 对 于 函 数 y=A s i n ( ω x+ φ) , 在研究其相关性质时, 将 ω x+ φ 看成一个整体, 利用整体代换法解题 是常见的技巧。 例 1 2 已 知 函 数 f ( x) =2 s i n 2 x+ π 6 + a+ 1 ( 其中a 为常数) 。 ( 1 ) 求f( x) 的单调区间。 ( 2 ) 当x∈ 0 , π 2 时, f( x) 的 最 大 值 为 4 , 求a 的值。 ( 3 ) 求f( x) 取最大值时x 的取值集合。 解: ( 1 ) 由 - π 2 +2 k π≤2 x+ π 6 ≤ π 2 + 2 k π , k∈Z , 解得-π 3+ k π ≤ x≤π 6+ k π , k∈ Z , 所 以 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 -π 3+ k π , π 6+ k π , k∈Z 。 由 π 2 +2 k π≤ 2 x+π 6≤ 3 π 2 + 2 k π , k∈Z , 解得π 6+ k π ≤ x≤ 2 π 3 + k π , k∈Z , 所以函数f( x) 的单调递减区 间为 π 6+ k π , 2 π 3 + k π , k∈Z 。 ( 2 ) 由0 ≤ x≤π 2, 可得π 6≤ 2 x+π 6≤ 7 π 6 , 所以-1 2≤ s i n2 x+π 6 ≤ 1 , 所以f( x) 的最 大值为2 + a+ 1 = 4 , 所以a= 1 。 ( 3 ) 当f( x) 取最大值时, 2 x+ π 6= π 2+ 2 k π , k∈Z , 所以x= π 6 + k π , k∈Z 。故 x 的 取值集合是 x x=π 6+ k π , k∈Z 。 跟踪训练1 2 : 设函数f( x) =- s i n2 ω x- π 3 ( ω > 0 ) , 且y= f( x) 的图像的一个对称中 心到最近的对称轴的距离为π 4。 ( 1 ) 求ω 的值。 ( 2 ) 求f( x) 在 区 间 π , 3 π 2 上 的 最 大 值 和最小值。 提示: ( 1 ) 因为图像的一个对称中心到最 近的对称轴的距离为 π 4, 又ω > 0 , 所以2 π 2 ω= 4 ×π 4, 所以ω= 1 。 ( 2 ) 由( 1 ) 知f( x) =- s i n2 x-π 3 。当 π ≤ x≤ 3 π 2 时, 5 π 3 ≤ 2 x-π 3≤8 π 3 , 所以- 3 2 ≤ s i n2 x-π 3 ≤ 1 , 所以 -1≤f( x) ≤ 3 2 。故 所求的最大值和最小值分别为 3 2 , - 1 。 题型1 3 : 三角恒等变换的综合应用 利用三角恒等变换研究函数性质的方法 和步骤: 运用和、 差、 倍、 半 角 公 式 化 简; 统 一 化为f( x) = a s i n ω x+ b c o s ω x+ k 的形式; 利用辅助角公式化为 f( x) =A s i n ( ω x+ φ) + k 的形式, 研究其性质。 例1 3 设 函 数 f( x) =s i n ω x-π 6 + s i nω x-π 2 , 其中0 < ω < 3 。已知f π 6 = 0 。 ( 1 ) 求ω 的值。 ( 2 ) 将函数y= f( x) 的图像上各点的横 坐标伸长为原来的 2 倍( 纵坐标不变) , 再将 得到 的 图 像 向 左 平 移 π 4 个 单 位, 得 到 函 数 y= g( x) 的图像, 求g( x) 在 -π 4, 3 π 4 上的 最小值。 解: ( 1) 函 数 f ( x) =s i n ω x-π 6 + s i nω x-π 2 = 3 2s i n ω x-1 2 c o s ω x- c o s ω x = 3 2s i nω x- 3 2c o sω x= 3 s i n ω x-π 3 。 因为f π 6 = 0 , 所以 ω π 6 -π 3= k π , k∈Z , 所以 8 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1月 全科互知