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■孙建国 对数换底公式是不同底的对数之间互相 转化的桥梁, 它是把一般对数转化为常 用 对 数或转化为自然对数的重要工具, 它在 对 数 恒等变形和化简求值中都有着重要作用。 一、 对数式的化简与求值 例1 求下面对数式的值。 ( l o g 2 1 2 5+l o g 4 2 5+l o g 8 5) ( l o g 1 2 5 8+ l o g 2 5 4 + l o g 5 2 ) 。 分析: 根据对数的运算法则和换底公式, 统一成以1 0为底的常用对数。 原 式 = 3 l o g 2 5 + l o g 2 5 + 1 3 l o g 2 5 ( l o g 5 2 + l o g 5 2+l o g 5 2) =1 3 3 ·3· l o g 5 2 · l o g 2 5 = 1 3 · l g 2 l g 5 · l g 5 l g 2 = 1 3 。 换底 公 式 可 将 不 同 底 的 对数转 化 为 常 用 对 数 或 自 然 对数, 是对数运算中非常重要的工具。 二、 用已知对数表示未知对数 例2 已知l o g 2 3 = a, 3 b= 7 , 试用a, b 表 示l o g 1 2 5 6 。 分析: 对于不同底数的对数之间的运算, 可先利用换底公式化成同底的对数, 然 后 根 据对数的运算法则求解。 因为3 b= 7 , 所以b= l o g 3 7 。 因为l o g 2 3 = a, 所以l o g 3 2 =1 a 。 故l o g 1 2 5 6=l o g 3 5 6 l o g 3 1 2=3 l o g 3 2 + l o g 3 7 1 + 2 l o g 3 2 = 3 a + b 1 +2 a = 3 + a b a+ 2。 用 已 知 对 数 表 示 未 知 对 数, 就是把未知对数的真数分 解成已知对数的真数的积、 商、 幂 的 形 式, 然 后利用对数的运算性质即可。 三、 与对数有关命题的证明 例3 ( 1 ) 已 知l o g a 1 b 1 = l o g a 2 b 2 = … = l o g a n b n =λ, 求 证: l o g a 1 a 2· … · a n ( b 1 b 2 · … · b n) = λ。 ( 2 ) 设 a > b > 1 , m > 0 , 证 明: l o g a b < l o g a+m ( b+m) 。 分析: ( 1 ) 根据对数的运算法则以及换底 公式, 求得b 1 b 2·…· b n 关于a 1 a 2·…· a n 的表示式, 即 可 证 明。( 2 ) 先 证 明 0 < b a < b+m a+m, 再利用对数的换底公式即可证明。 ( 1 ) 因为l o g a 1 b 1= l o g a 2 b 2= … =l o g a n b n =λ, 所 以l g b 1 l g a 1 = l g b 2 l g a 2=…=l g b n l g a n = λ, 所 以l g b 1 = λ l ga 1 = l g a λ 1, 即b 1= a λ 1。 同理可得, b 2= a λ 2, …, b n= a λ n。 所以b 1 b 2·…· b n= a 1 a 2·…· a n λ。 故l o g a 1 a 2· … · a n ( b 1 b 2·…· b n) = λ。 ( 2 ) 由a > b > 0 , m > 0 , 可得b a - b+m a+m = b a+m - a b+m a a+m = b- a m a a+m < 0 , 所 以 b a < b+m a+m。 两 边 取 以 e 为 底 的 对 数 得 l nb a < l n b+m a+m。由对数换底公式得l nb a = l o g a b l o g a a =l o g a b, l nb+m a+m =l o g a+m ( b+m) l o g a+m ( a+m) = l o g a+m ( b+m) 。 由上可得, l o g a b < l o g a+m ( b+m) 。 对于此类问题, 一般利用 换底公 式 化 为 常 用 对 数 或 自 然对数, 再利用对数运算性质进行计算, 但应 结合具体问题选择最合适的底数, 同时 要 注 意换底公式的逆向应用。 作者单位: 江苏省太仓高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知 

是( ) 。 A. 0 < b < a B . a < b < 0 C . a= b D. b < 0 < a 在同一坐标系内, 作出函数 y= 1 2 x 和y= 1 3 x 的图像, 如图1所示。 图1 由图可知: 当a > b > 0时,1 2 a = 1 3 b 可能成立。当a < b < 0时,1 2 a = 1 3 b 也 可能 成 立。 当 a=b=0 时, 显 然 1 2 a = 1 3 b 。当a > 0 > b 时, 可得 1 2 a < 1 3 b 。 综上可 知, A, B , C 可 能 成 立, D 不 可 能 成立。应选 D。 评注: 准确作出函数图像, 结合函数的性 质得出结论。 六、 特殊法 例6 设 x, y, z 为 正 实 数, 且l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z > 0 , 则x 2, y 3, z 5的大小关系不 可能是( ) 。 A. x 2 < y 3 < z 5 B . y 3 < x 2 < z 5 C . x 2=y 3=z 5 D. z 5 < y 3 < x 2 ( 方 法 1)取 x = 2 ,由 l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z, 可 得 y= 3 , z= 5 , 此 时 可 得x 2 =y 3 =z 5, C 正 确。 取 x= 4 , 由l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z, 可 得 y=9 , z= 2 5 , 此 时 可 得 x 2 < y 3 < z 5, A 正 确。 取 x= 2, 由l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z, 可 得 y= 3, z= 5, 此 时 可 得z 5 < y 3 < x 2, D 正 确。 应选 B 。 ( 方法2 ) 设l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z= k, 则 x=2 k, y=3 k, z=5 k, 所 以 x 2 =2 k-1, y 3 = 3 k-1, z 5= 5 k-1。由题设知k > 0 , 下面对k 与 1的大小关系加以讨论。 若k=1 , 则x 2 =1 , y 3 =1 , z 5 =1 , 所 以 x 2=y 3=z 5, C有可能正确。 若0 < k < 1 , 则根据函数 f( t ) = t k-1 在 ( 0 , +∞) 上单调递减得2 k-1 > 3 k-1 > 5 k-1, 所 以z 5 < y 3 < x 2, D 有可能正确。 若k > 1 , 则根据函数 f( t ) = t k-1 在( 0 , +∞) 上 单 调 递 增 得 2 k-1 < 3 k-1 < 5 k-1, 所 以 x 2 < y 3 < z 5, A 有可能正确。应选 B 。 评注: 通过对参数取特殊值, 再比较大小。 特殊法是求解选择题、 填空题的常用方法。 1 . 若a= 1 5 -0 . 3 , b= l o g 5 2 , c=e -1 2 , 则 a, b, c 的大小关系是 。 提示: 由指数函数y= 1 5 x 的图像与性 质得a= 1 5 -0 . 3 > 1 , 由 对 数 函 数 y= l o g 5 x 在 ( 0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 得 b =l o g 5 2 < l o g 5 5=1 2。因为c= e -1 2 =1 e ∈ 1 2, 1 , 所 以b < c < a。 2 . 函数f( x) = a | x+1 |( a > 0 , a≠1 ) 的值 域为[ 1 , + ∞) , 则 f( -5 ) 与 f( 4 ) 的大小关 系是 。 提示: 因为 | x+ 1 |≥0 , f( x) 值域为[ 1 , +∞) , 所以a > 1 , 所以f( - 5 ) = a 4, f( 4 ) = a 5。 由 函 数 的 单 调 性 知 a 4 < a 5,所 以 f( - 5 ) < f( 4 ) 。 作者单位: 江苏省泗洪中学 ( 责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知 

l o g 5 1 21 5 -1 2 = -l o g 5 3+l o g 5 1 5= -l o g 5 3+ l o g 5 5 + l o g 5 3 = 1 。 聚焦四: 换 底 公 式 在 对 数 运 算 中 的 “ 沟 通” 运用 例4 若实数a, b, c 满足 2 5 a =4 0 3 b = 2 0 1 5 c= 2 0 1 9 , 则下列式子正确的是( ) 。 A. 1 a +2 b =2 c B . 2 a +2 b =1 c C . 1 a +1 b =2 c D. 2 a +1 b =2 c 由2 5 a =5 2 a =4 0 3 b =20 1 5 c =2 0 1 9 , 可 得 2 a =l o g 5 20 1 9 , b= l o g 4 0 3 2 0 1 9 , c= l o g 2 0 1 5 20 1 9 。由换底公式 得 1 2 a = l o g 2 0 1 9 5 ,1 b = l o g 2 0 1 9 4 0 3 ,1 c = l o g 2 0 1 9 2 0 1 5 , 而5×4 0 3=20 1 5 , 所 以l o g 2 0 1 9 5 + l o g 2 0 1 9 4 0 3 = l o g 2 0 1 9 2 0 1 5 , 所以 1 2 a+1 b =1 c , 即1 a +2 b =2 c 。应选 A。 感 悟: 换 底 公 式 的 推 论 为 l o g a n b m = m n l o g a b。解决对数运算问题, 要注意换底公 式的灵活运用。 变 式 4 : 已 知 l o g 2 3=a, l o g 2 7=b, 则 l o g 4 2 5 6 = 。 提示: l o g 4 2 5 6=l o g 2 5 6 l o g 2 4 2=l o g 2 7 + l o g 2 8 l o g 2 7 + l o g 2 6= l o g 2 7 + 3 l o g 2 7 + l o g 2 2 + l o g 2 3 = l o g 2 7 + 3 l o g 2 7 + 1 + l o g 2 3 , 将已 知代入得 l o g 4 2 5 6 = 3 + b 1 + a+ b。 聚焦五: 指数与对数运算的综合问题 例5 ( 1 ) 若x, y∈R, 且2 x = 1 8 y = 6 x y, 则x+ y= 。 ( 2 ) 已知a, b∈ 1 , +∞ , 若a x= b y= 2 , a+ b= 4 , 则2 x +1 y 的最大值为 。 ( 1 ) 令 2 x =1 8 y =6 x y =k, k > 0 , 则 x= l o g 2 k, y= l o g 1 8 k, x y= l o g 6 k, 所以x y= l o g 2 k· l o g 1 8 k= l o g 6 k。 由换底 公 式 得l g k l g 2·l g k l g 1 8=l g k l g 6, 所 以 l g k= 0或l g k= l g 2 · l g 1 8 l g 6 。 当l g k= 0时, k= 1 , 则x= 0且y= 0 , 即 x+y=0 ; 当l gk=l g 2 · l g 1 8 l g 6 时, x+y= l o g 2 k+l o g 1 8 k=l gk 1 l g 2 + 1 l g 1 8 =l gk· l g 2 + l g 1 8 l g 2 · l g 1 8=l g 2 · l g 1 8 l g 6 · l g ( 2 × 1 8 ) l g 2 · l g 1 8=2 。 故x+ y= 0或x+ y= 2 。 ( 2 ) 因为a x= b y= 2 , 所以x= l o g a 2 , y= l o g b 2 , 所以 1 x = l o g 2 a, 1 y = l o g 2 b, 所 以 2 x + 1 y = 2 l o g 2 a+ l o g 2 b= l o g 2 a 2 b= l o g 2 a b 2= 2 l o g 2 a b。 又因为 a+ b =4 , 所 以 4=a+ b ≥ 2 a b , 所以4 ≥ a b, 当且仅当a= 2 , b= 4 时等号成立。所以2 x +1 y = 2 l o g 2 a b≤ 4 , 当 且仅当a= 2 , b= 4时等号成立。所以当a= 2 , b= 4时, 2 x +1 y 的最大值为4 。 感悟: 针对具体问题, 需要选择恰当的底 数, 要学会换底公式与对数运算法则结 合 使 用。 变式 5 : 已 知l o g 2 x= l o g 3 y= l o g 5 z < 0 , 则2 x , 3 y , 5 z 的大小排序为( ) 。 A. 2 x < 3 y < 5 z B . 3 y < 2 x < 5 z C . 5 z < 2 x < 3 y D. 5 z < 3 y < 2 x 提示: 由题意得x, y, z 为正实数且都在 区 间 ( 0 , 1)内。 设 k =l o g 2 x =l o g 3 y = l o g 5 z < 0 , 所以x 2 =2 k-1, y 3=3 k-1, z 5 =5 k-1, 可得2 x = 2 1 - k > 1 , 3 y = 3 1 - k > 1 , 5 z = 5 1 - k > 1 , 即1 - k > 0 。 因为幂函数f( x) = x 1 - k 在( 0 , +∞) 上 单调递增, 所以2 x < 3 y < 5 z 。应选 A。 作者单位: 郑州大学护理与健康学院2 0 2 2级 ( 责任编辑 郭正华) 7 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知