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■黎 鹏 平面向量是高 中 数 学 的 重 要 概 念 之 一, 也是高考的必考点。向量理论具有丰富的物 理背景、 深刻的数学内涵。向 量 既 是 代 数 研 究对象, 也是几何研究对象, 是沟通几何与代 数的桥梁。因此同学们要学好这部分内容。 一、 平面向量的线性运算问题 用几个基本向量表示某个向量的常用方 法: 观察各个向量的位置; 寻找相应的三角形 或多边形; 运用法则找关系; 化简即得结果。 例1 如 图 1 , 在 △A B C 中, A D 为 B C 边 上 的 中 线, E 为 A D 的 中 点, 则E B → = ( ) 。 图1 A. 3 4A B →-1 4A C → B . 1 4A B →-3 4A C → C . 3 4A B →+1 4A C → D. 1 4A B →+3 4A C → 解: ( 方法1 ) 在△A B C 中, 由向量的运算 法则 得E B → =E D → +D B → = 1 2A D → + 1 2C B → = 1 2× 1 2 ( A B → + A C → )+ 1 2 ( A B → - A C → )= 3 4A B →-1 4A C →。应选 A。 ( 方法2 ) 由向量运算法则得E B →=A B →- A E →=A B → - 1 2A D → =A B → - 1 2 × 1 2 ( A B → + A C →) =3 4A B →-1 4A C →。应选 A。 二、 平面向量的数量积运算问题 在向量的数量 积 运 算 律 中, 有 三 个 公 式 应用较为广泛, 即( a+ b) 2= a 2+ 2 a· b+ b 2, ( a- b) 2 = a 2 -2 a· b+ b 2, ( a+ b) · ( a- b) = a 2- b 2。这三个公式类似于代数中的运 算公式, 在解题过程中可以直接应用。 例2 已 知 P 是 边 长 为 2 的 正 六 边 形 A B C D E F 内一点, 则A P →·A B →的取值范围是 ( ) 。 A. ( - 2 , 6 ) B . ( - 6 , 2 ) C . ( - 2 , 4 ) D. ( - 4 , 6 ) 解: 结合 图 形 ( 图 略) 可 知, A P → ·A B → = | A P → | ·|A B →| c o s ∠P A B = 2|A P →| · c o s∠P A B。 | A P → | · c o s∠P A B 表示 A P →在 A B →方向上的投影, 当 P 与C 重合时 投 影 最 大, 当 P 与 F 重 合 时 投 影 最 小。 又A C → · A B →= 2 3×2×c o s 3 0 ° =6 , A F →·A B →=2× 2 × c o s1 2 0 °= -2 , 故 当 点 P 在 正 六 边 形 A B C D E F内部运动时, A P →·A B →∈( - 2 , 6 ) 。 应选 A。 三、 平面向量的共线问题 平面向量共线 问 题 的 四 种 常 用 方 法: 向 量a, b( a≠ 0 ) 共线?存在唯一实数λ, 使b= λ a; 向 量 a= ( x 1, y 1) , b= ( x 2, y 2) 共 线 ? x 1 y 2-x 2 y 1 =0 ; 向 量 a 与b 共 线 ?| a· b | = | a | | b | ; 向量a 与b 共线?存在不全为 零的实数λ 1, λ 2, 使λ 1 a+ λ 2 b= 0 。 例3 设 向 量a, b 不 平 行, 向 量λ a+ b 与a+ 2 b 平行, 则实数λ= 。 解: 因为a 与b 不平行, 所以a+ 2 b≠ 0 。 又因为λ a+ b 与a+2 b 平行, 所以λ a+ b= t ( a+ 2 b) , 所以 t = λ 2 t = 1 , { 所以λ= t =1 2。 四、 平面向量的夹角与垂直问题 设非零向量a=( x 1, y 1) , b=( x 2, y 2) , 两向 量 的 夹 角 为 θ( 0≤θ≤π) , 则 c o s θ= a· b | a | | b |= x 1 x 2+ y 1 y 2 x 2 1+ y 2 1 x 2 2+ y 2 2 。 向 量 垂 直 问 题的常 用 方 法: a⊥b?a·b=0?x 1 x 2 + y 1 y 2= 0 , 其中a=( x 1, y 1) , b=( x 2, y 2) 。 例4 ( 1 ) 已 知 向 量a, b 满 足| a |=5 , | b | = 6 , a· b=- 6 , 则c o s < a, a+ b > = 。 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年6月 全科互知 

■李 仙 复数的几何意义是指复数z= a+ b i ( a, b∈R ) 一 一 对 应 复 平 面 内 的 点 Z( a, b) 。在 复平面内, 复数的实部( a) 是其对应点的横坐 标, 复数的虚部( b) 是其对应点的纵坐标。下 面举例分析复数几何意义的应用。 一、 复数与复平面内点的关系 例1 已 知 复 数 z=a 2- a- 6 a+ 3 + ( a 2 - 2 a- 1 5 ) i ( a∈R ) 对应的点 Z 在直线x+ y+ 7 = 0上, 求实数a 的值。 解: 因为点Z 在直线x+ y+ 7 = 0上, 所 以 a 2- a- 6 a+ 3 +a 2 -2 a-1 5+7=0 , 即 a 3 + 2 a 2- 1 5 a- 3 0 = 0 , 所以( a+ 2 ) ( a 2- 1 5 ) = 0 , 可得a=- 2或a=± 1 5。故当a=- 2或 a=± 1 5时, 点Z 在直线x+ y+ 7 = 0上。 解题指导: 利用 复 数 与 点 的 对 应 关 系 解 题的步骤: 先确定复数的实部与虚部, 然后确 定复数对 应 点 的 横、 纵 坐 标, 再 根 据 已 知 条 件, 确定实部与虚部满足的关系。 二、 复数与复平面内向量的对应 例2 在复平面内, 点 A, B, C 对应的复 数分别为 1+4 i , -3 i , 2 , O 为 复 平 面 的 坐 标 原点。 ( 1 ) 求向量O A →+O B →和 A C →对应的复数。 ( 2 ) 求平行四边形 A B C D 的顶点D 对应 的复数。 解: ( 1 ) 由 已 知 得O A →, O B →, O C →对 应 的 复 数分 别 为 1+4 i , -3 i , 2 , 则O A → = ( 1 , 4) , O B →=( 0 , - 3 ) , O C →=( 2 , 0 ) , 所以O A →+O B →= ( 1 , 1 ) , A C →=O C →-O A →=( 1 , - 4 ) 。 故 O A →+O B →对应的复数为1 + i , A C →对应 的复数为1 - 4 i 。 ( 2 ) 由已知得O A →=( 1 , 4 ) , O B →=( 0 , - 3 ) , O C →=( 2 , 0 ) , 所以 B A →=( 1 , 7 ) , B C →=( 2 , 3 ) 。由 平行四边形的性质得 B D →= B A →+ B C →=( 3 , 1 0 ) , 所以O D → =O B → +B D → =( 3 , 7 ) , 即 点 D( 3 , 7 ) 。 故顶点 D 对应的复数为3 + 7 i 。 解题指导: 复数z 与向量 O Z →是一一对应 关系。一个向量不管怎样平 移, 它 所 对 应 的 复数是不变的, 但其起点与终点对应的 复 数 可能改变。 三、 利用复数的几何意义确定平面图形 例3 若复数z= x+ y i ( x, y∈R, i为虚 数单位) 满足 | x | + | y | ≤ 1 , 求z 在复平面上 对应图形的面积。 解: 复数z= x+ y i在复平面上对应的点 图1 为 ( x, y ) ,而 满 足 | x | + | y |≤1 所 表 示 的区域如图1所示。 由图可知, 复数z 在复 平 面 上 对 应 图 形 是边长为 2的 正 方 形 的内部( 包括边界) , 其 面积为 2× 2= 2 。 解题指导: 解答 本 题 的 关 键 是 利 用 复 数 与复平面上点的对应关系, 画出复数在 复 平 面上所表示的区域。 四、 复数式与长方形的转化 例4 复 数z 1, z 2 满 足z 1 z 2≠0 , | z 1 + z 2 | = | z 1- z 2 | , 证明: z 2 1 z 2 2 < 0 。 证明: 设复 数z 1, z 2 在 复 平 面 上 对 应 的 点为Z 1, Z 2。由| z 1+ z 2 |=| z 1- z 2 |可 知, 以O Z 1 →, O Z 2 →为邻边的平行四边形是矩形, 所 以 O Z 1 → ⊥ O Z 2 →。 据 此 可 设 z 1 z 2 = k i k∈R, k≠ 0 ( ) , 所以 z 2 1 z 2 2= k 2· i 2=- k 2 < 0 。 解题指导: 对角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩形。以O Z 1 →, O Z 2 →为邻边的平行四边形的两 条对角 线 所 对 应 的 复 数 分 别 为 z 1 +z 2 与 z 1- z 2, 由 z 1+ z 2 = z 1- z 2 , 说明平行四 边形的对角线相等。 作者单位: 安徽省宣城市工业学校 ( 责任编辑 郭正华) 5 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年6月 全科互知 

■赵祖艳 立 体 几 何 是 研 究 现 实 世 界 中 物 体 的 形 状、 大小与位置关系的数学 分 支。下 面 就 空 间几何体的学习重点: 空间几何体的表 面 积 与体积、 与球有关的切接问题、 空间中直线与 平面的位置关系等, 进行举例分析, 供大家学 习与参考。 一、 空间几何体的表面积与体积问题 空间几何体的 表 面 积 与 体 积 的 求 法: 多 面体的表面积是各个面的面积之和; 组 合 体 的表面积要注意衔接部分的处理; 旋转 体 的 表面积要注意其侧面展开图的应用。求复杂 几何体的体积常用割补法、 等积法求解。 例 1 如 图 1 所 示,已 知 三 棱 柱 A B C - A _ B _ C _, 侧 面 B _ B C C _的 面 积 是 S, 点 A _到 侧 面 B _ B C C _的 距 离 是 a, 求 三 棱 柱 A B C - A _ B _ C _的体积。 图1 解: 连接 A _ B, A _ C, 这 样 就 把 三 棱 柱 分 割成了两个棱锥。 设所求三棱柱的体积为 V, 显然三棱锥 A _ - A B C的体 积 是 1 3 V, 而 四 棱 锥A _ - B C C _ B _ 的体积为 1 3 a S, 所 以 1 3V+ 1 3 a S=V。据 此 可得, 三棱柱 A B C - A _ B _ C _的体积V=1 2 a S。 二、 与球有关的切、 接问题 与球相关问题 的 解 题 策 略: 作 适 当 的 截 面( 如轴截面等) 时, 对于球内接长方体、 正方 体, 则截面一要过球心, 二要过长方体或正方 体的两条体对角线, 才有利于解题; 对于“ 内 切” 和“ 外接” 问题, 先要弄清几何体之间的相 互关系, 如特殊的点、 线、 面之间的关系, 然后 把相关的元素放到这些关系中来解决。 例2 设 A, B, C, D 是同一个半径为4 的球的 球 面 上 的 四 点, △A B C 为 等 边 三 角 形, 且其面积为9 3, 则三棱锥 D - A B C 体积 的最大值为 。 解: 设 等 边 △A B C 的 边 长 为 x,则 1 2 x 2 s i n 6 0 ° = 9 3, 可得x= 6 。设△A B C 的 外 接 圆 半 径 为 R, 由 正 弦 定 理 得 2 R = 6 s i n 6 0 ° , 解得 R= 2 3, 所以球心到△A B C 所 在平面的距离 d= 4 2-( 2 3) 2 =2 , 所 以 点 D 到平面A B C 的最大距离为d+ 4 = 6 , 所以 三 棱 锥 D - A B C 体 积 的 最 大 值 为 Vm a x = 1 3 S△A B C × 6 = 1 8 3。 三、 空间中的位置关系问题 直线与平面平 行 的 主 要 判 断 方 法: 定 义 法; 判定定理; 面与面平行的性质。平面与平 面平行的主要判断方法: 定 义 法; 判 定 定 理; 若a⊥ α, a⊥ β, 则α∥ β。判断线线垂直的方 法: 平面几何中证明线线垂直的方法; 若a⊥ α, b? α, 则a⊥ b; 若a⊥ α, b∥ α, 则a⊥ b。判 断线面垂直的方法: 利用线面垂直的判 定 定 理; 两平行线中的一条与平面垂直, 则另一条 也与这个平面垂直; 一条直线垂直于两 平 行 平面中的一个, 则与另一个平面也垂直; 利用 面面垂直的性质。判断面面 垂 直 的 方 法: 两 个垂直平面相交, 所成的二面角是直二面角; 若a? α, a⊥ β, 则α⊥ β。 例3 如图2所示, R t △A O C 可以通过 R t △A O B 以直 角 边 A O 所 在 直 线 为 轴 旋 转 得到, 且 二 面 角 B - A O - C 是 直 二 面 角, D 是 A B 上任一点。 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年6月 全科互知