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全国清北名校高二期末模拟卷（ 1 ） ■郑州外国语学校 赵艺琳 邱培云 一、 选 择 题 ( 本 题 共 1 2 小 题, 每 小 题 5 分, 共 计 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只有一项符合题目要求。 ) 1 . 已知复数z 满足( 1+ i ) 2 z= 4 | 1 + i |( i 为虚数单位) , 则复数z-1 在复平面内对应 的点所在的象限为( ) 。 A. 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D. 第四象限 2 . 在 用 反 证 法 证 明 “ 已 知 x, y∈R, 且 x+ y < 0 , 则 x, y 中至多有一个大于 0 ” 时, 假设应为( ) 。 A. x, y 都小于等于0 B . x, y 至少有一个大于0 C . x, y 至少有一个小于等于0 D. x, y 都大于0 3 . 第2 4届冬季奥林匹克运动会于2 0 2 2 年2月4日至2月2 0日在北京和张家口联 合举行。为了更好地安排志 愿 者 工 作, 需 要 了解每个志愿者掌握的外语情况, 已知 志 愿 者小明只会德、 法、 日、 英四门外语中的一门。 甲说, 小明不会法语, 也不会日语; 乙说, 小明 会英语或法语; 丙说, 小明会德语。已知三人 中只有一人说对了, 由此可推断小明掌 握 的 外语是( ) 。 A. 德语 B . 法语 C . 日语 D. 英语 4 . 已知函数f( x) 的导函数为f _( x) , 且 满 足 f ( x)=2 x · f _ π 2 +c o s x, 则 l i m Δ x→0 f π 2 - f π 2+Δ x Δ x =( ) 。 A. - 1 B . 0 C . 1 D. 2 5 . ( x-y) ( x+2 y+z) 6 的 展 开 式 中, x 2 y 3 z 2 的系数为( ) 。 A. - 3 0 B . 1 2 0 C . 2 4 0 D. 4 2 0 6 . 下列说法错误的是( ) 。 A. 线性回归方程^ y= ^ b x+ ^ a 对应的直线 一定经过样本中心点( ?? x, ?? y) B . 5件产品中有 3 件正品, 2 件次品, 从 中任取2件, 恰好取到1件次品的概率为3 5 C . 某中 学 为 了 解 学 生 课 外 体 育 锻 炼 时 间, 拟采用分层抽样的方法从该校三个 年 级 的学生中抽取一个容量为 1 0 0 的 样 本, 已 知 该校高一, 高 二, 高 三 年 级 学 生 人 数 之 比 为 4 ∶ 3 ∶ 3 , 则应从高二年级中抽取3 0名学生 D. 若 M , N 是 互 斥 事 件, 则 P ( M ) + P( N) < 1 7 . 某射击选手射击所得环数ξ 的分布列 如表1 。 表1 ξ 7 8 9 1 0 P x 0 . 1 0 . 3 y 已知ξ 的数学期望E( ξ) = 8 . 9 , 则y 的 值为( ) 。 A. 0 . 8 B . 0 . 6 C . 0 . 4 D. 0 . 2 8 . 新冠疫情期 间, 某 医 学 院 将 6 名 研 究 生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调 研, 要求每家医院至少去 1 人, 至多去 2 人, 且甲、 乙2人必须去同一家医院, 则不同的安 排方法有( ) 。 A. 7 2种 B . 9 6种 C . 1 4 4种 D. 2 8 8种 9 . 已知随机变量ξ 服从正态分布 N ( μ, σ 2) , 若函数f( x) =P( x≤ ξ≤x+ 1 ) 为偶函 数, 则μ=( ) 。 A. -1 2 B . 0 C . 1 2 D. 1 1 0 . 设定义在 R 上的函数y= f( x) 满足 ? x∈R 都有f( x+ 2 ) = 1 f( x) , 且当x∈( 0 , 4 ]时, f _ ( x) > f( x) x ,则 6 f ( 2 0 2 1) 、 3 演练篇 核心考点 A B卷 高二数学 2 0 2 2年7 - 8月 全科互知
3 f( 2 0 2 2 ) 、 2 f( 2 0 2 3 ) 的大小关系是( ) 。 A. 6 f( 2 0 2 1 ) < 3 f( 2 0 2 2 ) < 2 f( 2 0 2 3 ) B . 3 f( 2 0 2 2 ) < 6 f( 2 0 2 1 ) < 2 f( 2 0 2 3 ) C . 2 f( 2 0 2 3 ) < 3 f( 2 0 2 2 ) < 6 f( 2 0 2 1 ) D. 2 f( 2 0 2 3 ) < 6 f( 2 0 2 1 ) < 3 f( 2 0 2 2 ) 1 1 . 若不等式a l n ( x+1 ) -x 3+2 x 2 > 0 在区间( 0 , +∞) 内的解集中有且仅有三个整 数, 则实数a 的取值范围是( ) 。 A. 9 2 l n 2 , 3 2 l n 5 B . 9 2 l n 2 , 3 2 l n 5 C . 9 2 l n 2 , 3 2 l n 5 D. 9 2 l n 2 , +∞ 1 2 . 已知函数 f( x) = a- l n x, g( x) = x 2 e x。若对任意的x 1∈[ 1 , e ] , 都存在唯一的 x 2∈[ - 1 , 1 ] , 使得f( x 1) = g( x 2) 成立, 则实 数a 的取值范围是( ) 。 A. [ 1 , e ] B .1 e, 1 + e C . 1 +1 e, e D. 1 +1 e, e + 1 二、填空题( 本题共4小题, 每小题5分, 共计2 0分。 ) 1 3 . 函数f( x) = a l n x+ b x 2+ a 2 在x= 1处有极小值5 , 则a- b= 。 1 4 . 将 4 个 相 同 的 白 球、 5 个 相 同 的 黑 球、 6个相同的红球放入4个不同盒子中的3 个, 恰好1个为空盒且其他3个盒子中球的 颜色齐全的不同 放 法 共 有 种。( 用 数 字 作答) 1 5 . 若( x+ 2 ) 2 0 2 2= a 0+ a 1 x+ a 2 x 2+ … + a 2 0 2 2 x 2 0 2 2, 则a 0+ a 2+ a 4+ … + a 2 0 2 2 被 4 除得的余数为 。 1 6 . 对 任 意 x > 0 ,若 不 等 式 e x + a x l n x+ e 2 x≥ a x 2 恒成立( e为自然对数的 底数) , 则正实数a 的取值范围是 。 三、解答题( 本大题共6小题, 第1 7题1 0 分, 其他题每题1 2分, 共计7 0分。解答时应 写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤。 ) 1 7 . ( 本小题1 0分) 已知复数z 1= 2 s i n θ- 3 i , z 2=1+ ( 2 c o s θ) i , i为 虚 数 单 位, θ∈ π 3, π 2 。 ( 1 ) 若z 1· z 2 为实数, 求s i n 2 θ 的值; ( 2 ) 若复数z 1, z 2 对应的向量分别是a, b, 存在θ 使 等 式 ( λ a- b) · ( a- λ b) =0 成 立, 求实数λ 的取值范围。 1 8 . ( 本小题1 2分) 人们用大数据来描述 和定义信息时代产生的海量数据, 并利 用 这 些数据处理事务和做出决策。某公司通过大 数据收集到该公司销售的某电子产品1月至 5月的销售量, 如表2所示。 表2 月份( x) 1 2 3 4 5 销售量y( 万件) 4 . 9 5 . 8 6 . 8 8 . 3 1 0 . 2 该公司为了预测未来几个月的销售量, 建立了y 关于x 的回归模型: ^ y= ^ u x 2+ ^ v。 ( 1 ) 根据所给数据与回归模型, 求y 关于 x 的回归方程( ^ u 的值精确到0 . 1 ) ; ( 2 ) 已知该公司的月利润z( 单位: 万元) 与x, y 的 关 系 为z=2 4 x -5 y+ 2 x , 根 据 ( 1 ) 的结果, 判断该公司哪一个月的利润预报 值最大。 参考公式: 对于一组数据( x 1, y 1) , ( x 2, y 2) , …, ( x n, y n) , 其回归直线^ y= ^ b x+ ^ a 的 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^ b= ∑ n i=1( x i- ?? x) ( y i- ?? y) ∑ n i=1( x i- ?? x) 2 , ^ a= ?? y- ^ b ?? x。 1 9 . ( 本小题 1 2 分) 在 数 列{ a n} 中, a 1= 1 2, a n+1=2 - a n 3 - 2 a n ( n∈N * ) 。 ( 1 ) 求a 2、 a 3、 a 4 的值; ( 2 ) 猜想数列{ a n} 的通项公式, 并用数学 4 演练篇 核心考点 A B卷 高二数学 2 0 2 2年7 - 8月 全科互知
归纳法证明你的猜想; ( 3)用 数 学 归 纳 法 证 明: a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n > n+ 1 2 n+ 1( n∈N * ) 。 2 0 . ( 本小题 1 2 分) 受 疫 情 的 影 响, 各 实 体商铺的销售额受到不同程度的冲击, 某 小 商品批发市场的管理部门提出了“ 线上线下 两不误, 打赢销售攻坚战” 的口号, 鼓励小商 品批发 市 场 内 的 所 有 商 户 开 展 线 上 销 售 活 动。管理部门为了调查商户每天销售额与每 天线上销售时间之间的相关关系, 对小 商 品 批发市场内的商户随机选取 4 5 家进行跟踪 调查, 其中每日线上销售时间不少于 6 小时 的商户有1 9 家, 余下的商户 中, 每 天 的 销 售 额不足3万元的占8 1 3 , 统计后得到2 × 2列联 表, 如表3 。 表3 销售额不少于 3万元 销售额不足 3万元 合计 线上销售时间 不少于6小时 4 1 9 线上销售时间 不足6小时 合计 4 5 ( 1 ) 请完成上面的 2×2 列联表, 并判断 是否所有9 9 %的把握认为“ 小商品批发市场 内的商户每天销售额与商户每天线上销售时 间有关。 ” ( 2 ) ①按分层抽样的方法, 在上述样本中 从销售额不少于3万元和销售额不足3万元 的两组商户中抽取 9 家商户, 设抽到销售额 不足3万元且每天线上销售时间不足6小时 的商户家数是 X, 求 X 的分布列( 概率用组 合数算式表示) ; ②若将频率视 为 概 率, 从 小 商 品 批 发 市 场内所有每天销售额不少于3万元的商户中 随机抽取2 0家, 求这些商户中每天线上销售 时间不少于6小时的商户数的数学期望和方 差。 附: 表4 P( K 2≥ k 0) 0 . 0 1 0 . 0 5 0 . 0 2 50 . 0 1 00 . 0 0 5 0 . 0 0 1 k 0 2 . 7 0 63 . 8 4 15 . 0 2 46 . 6 3 57 . 8 7 9 1 0 . 8 2 8 参考公式: K 2 = n( a d- b c ) 2 ( a+ b) ( c+ d) ( a+ c ) ( b+ d) , 其 中 n= a+ b+ c+ d。 2 1 . ( 本 小 题 1 2 分) 已 知 函 数 f( x) = a x+ l n x, a∈R。 ( 1 ) 讨论f( x) 的单调性; ( 2 ) 若g( x) = x [ f( x) - a x] , 且对任 意x≥ 1 , 2 x · g _ ( x) - 1 ≥ λ x x+ 1恒成立, 求 实数λ 的取值范围。 2 2 . ( 本 小 题 1 2 分) 已 知 函 数 f( x) = x 2- 2 x+ a l n x( a > 0 ) 。 ( 1 ) 当a=2 时, 试 求 函 数 图 像 过 点 ( 1 , f( 1 ) ) 的切线方程; ( 2 ) 当a= 1时, 若关于x 的方程f( x) = x+ b有唯一实数解, 试求实数b的取值范围; ( 3 ) 若 函 数 f( x) 有 两 个 极 值 点 x 1、 x 2 ( x 1 < x 2) , 且不等式f( x 1) ≥m x 2 恒成立, 试 求实数 m 的取值范围。 ( 责任编辑 徐利杰) 5 演练篇 核心考点 A B卷 高二数学 2 0 2 2年7 - 8月 全科互知
全国清北名校高二期末模拟卷（ 2 ） ■郑州市第七高级中学 刘大新 一、选择题( 本大题共1 2个小题, 每小题 5分, 共 6 0 分。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只有一项是符合要求的。 ) 1 . 若复数z 满足( z- 1 ) i = 4 + 2 i , 则 | z | = ( ) 。 A. 5 B . 1 7 C . 2 5 D. 1 7 2 . 已知 函 数 f( x) 的 导 数 为 f _( x) , 若 f( x) =x 3 +3 f _( 1) x 2 +2 x, 则 f _( 2) = ( ) 。 A. 2 6 B . 1 2 C . 8 D. 2 3 . 已知 随 机 变 量 X, Y 分 别 满 足: X ~ B( 8 , p) , Y ~ N ( μ, σ 2) , 且 期 望 E ( X ) = E( Y) 。又 P( Y≥ 3 ) =1 2, 则p=( ) 。 A. 1 4 B . 1 3 C . 3 8 D. 1 2 4 . 有下列说法: ① 将 一 组 数 据 中 的 每 个 数据都加上或减去同一个常数后, 方差不变; ②由 统 计 量 得 知 有 9 5 % 的 把 握 认 为 吸 烟 与 患肺 病 有 关 系, 是 指 有 5 % 的 可 能 性 使 得 推 断出现错误; ③ 回归直线就是散点图中经过 样本数据点最多的那条直线; ④ 如果两个变 量的线性相关程度越高, 那么线性相关 系 数 r 就 越 接 近 于 1 。 其 中 错 误 说 法 的 个 数 是 ( ) 。 A. 0 B . 1 C . 2 D. 3 5 . 已知a, b, c∈( 0 , +∞) , 则a+1 b , b+ 4 c , c+9 a 三个数( ) 。 A. 都大于4 B . 至少有一个不大于4 C . 都小于4 D. 至少有一个不小于4 6 . 中华文化综罗百代, 广博精微, 国学经 典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓。某 校学生 会 举 办 “ 传 承 中 华 文 化, 诵 读 国 学 经 典” 活动, 供选择的诵读经典著作有: 《 春秋》 、 《 史记》 、 《 左 传》 、 《 孙 子 兵 法》 。 经 过 层 层 遴 选, 有三位选手进入决赛, 这三位选手可以从 以上著作中, 任选一篇文章 诵 读。那 么 这 三 位选手中, 恰有两人诵读的篇目取自于 同 一 部著作的概率为 ( ) 。 A. 1 6 4 B . 2 9 3 2 C . 9 1 6 D. 7 1 6 7 . 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重 威胁了国际农业生产, 影响 了 人 民 生 活。世 界性与区域性温度的异常、 旱涝频繁发生, 给 蝗灾发生提供了机会。已知蝗虫的产卵量y 与温度x 的关系可以用模型y = c 1 e c 2 x( 其 中e 为自然底数) 拟合。设z= l n y, 其变换 后得到一组数据, 如表1所示。 表1 x 2 0 2 3 2 5 2 7 3 0 z 2 2 . 4 3 3 4 . 6 由上表可得线性回归方程z= 0 . 2 x+ a, 则当x= 4 0时, 蝗虫的产卵量y 的估计值为 ( ) 。 A. e 3 B . e 6 C . 3 D. 6 8 . 2 0 2 2年 北 京 冬 奥 会 吉 祥 物 “ 冰 墩 墩” 和冬残奥会吉祥物“ 雪容融” 一亮相, 好评不 断, 这是一次中国文化与奥林匹克精神 的 完 美结合, 也是一次现代设计理念的传承 与 突 破。为了宣传 2 0 2 2 年 北 京 冬 奥 会 和 冬 残 奥 会, 某学校决定派小明和小李等 7 名志愿者 将两个吉祥物安装在学校广场。若小明和小 李必须安装同一个吉祥物, 且每个吉祥 物 都 至少有 3 名志愿者安装, 则不同的安装方案 种数为( ) 。 A. 1 5 B . 3 0 C . 4 2 D. 5 0 9 . 若函数f( x) = x 2+ 2 x- a e x 在区间( a, a+ 1 ) 上存在最小值, 则实数a 的取值范围为 ( ) 。 A. ( -∞, - 1 ) B . ( - 2 , - 1 ) 6 演练篇 核心考点 A B卷 高二数学 2 0 2 2年7 - 8月 全科互知
C .-∞, - 1 - 5 2 D.- 1 - 5 2 , - 1 1 0 . 已 知 函 数 f (x ) = x, x < 0 , 1 3 x 3-1 2( a+ 1 ) x 2+ a x, x≥ 0 。 若 方 程 f( x) = a x-1 4 8 恰有3个不同的实根, 则实数 a 的取值范围为 ( ) 。 A. ( -∞, 2 ) B .-1 2, 1 C .-1 2, 2 D.1 2, 1 1 1 . 已知a=- s i n 0 . 0 1 , b= s i n 0 . 1 , c= l n 0 . 9 9 , d= l n 1 0 9, 则( ) 。 A. d > b > a > c B . b > d > a > c C . d > b > c > a D. b > d > c > a 1 2 . 已 知 函 数 f( x) =x+l n( x-1 ) , g( x) = x l n x, 若f( x 1) = 1 + 2 l n t , g( x 2) = t 2, 则 x 1 x 2- x 2 · l n t的最小值为( ) 。 A. 1 e 2 B . -1 e C . -1 2 e D. 2 e 二、填空题( 本题共4小题, 每小题5分, 共计2 0分。 ) 1 3 . ∫ 2 - 2 ( x 2 +s i n x + 4 - x 2 ) d x = 。 1 4 . 点( x 0, y 0) 到 直 线 A x+B y+C=0 的距离公式为d= | A x 0+B y 0+ C | A 2+B 2 。通过类 比的方法, 可求得: 在空间中, 点( 1 , 2 , 3 ) 到平 面x+ 2 y+ 2 z+ 7 = 0的距离为 。 图1 1 5 . 如 图 1 , 某 款 酒 杯 容器部分为圆锥, 且该圆锥 的轴截面是面积为1 63 c m 2 的正三 角 形。若 在 该 酒 杯 内放 置 一 个 圆 柱 形 冰 块, 要求冰块高度不超过酒杯 口高度, 则酒杯可放置圆柱冰块的最大 体 积 为 c m 3。 1 6 . 已知函 数 f( x) =x 2 -2 m x+e 2 x - 2 m e x+ 2 m 2, 若存在实数x 0, 使得f( x 0) ≤1 2 成立, 则实数 m= 。 三、解答题( 本大题共6小题, 第1 7题1 0 分, 其他题每题1 2分, 共计7 0分。解答时应 写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤。 ) 1 7 . ( 本小题1 0分) 已知复数z= 4 + 2 i 1 - i+ m( m∈R ) , z 的共轭复数为z。 ( 1 ) 若 m= 1 , 求z· z; ( 2 ) 若z· z > 5 | z | , 求 m 的取值范围。 1 8 . ( 本小题1 2分) 在二项式 x+ 1 2 3 x n 的 展开式中, 第3项和第4项的二项式系数之 比为3 ∶ 1 0 。 ( 1 ) 求n 的值及展开式中的常数项; ( 2 ) 求展开式中系数最大的项是第几项。 1 9 . ( 本小题1 2分) 已知数列{ a n} 的前n 项和S n= 1 - n a n( n∈N * ) 。 ( 1 ) 计算a 1, a 2, a 3, a 4 的值; ( 2 ) 猜想a n 的表达式, 并 用 数 学 归 纳 法 证明你的结论。 2 0 . ( 本 小 题 1 2 分) 已 知 函 数 f( x) = ( x+ 1 ) l n x+ a x+ b。 ( 1 ) 若曲线y= f( x) 在点( 1 , f( 1 ) ) 处的 切线方程为y= 3 x- 1 , 求a, b 的值; ( 2 ) 若函数f( x) 为单调函数, 求a 的取 值范围。 7 演练篇 核心考点 A B卷 高二数学 2 0 2 2年7 - 8月 全科互知
2 1 . ( 本小题1 2分) 直播带货是扶贫助农 的一种新模式, 这种模式是利用主流媒体的公 信力, 借助销售主播的力量打通农产品产销链 条, 切实助力贫困地区农民脱贫增收。某贫困 地区的统计数据显示, 2 0 2 0年该地利用网络直 播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布 如图2所示, 一周内使用直播销售的频率分布 扇形图如图3所示。若将销售主播按照年龄 分为“ 年轻 人” ( 2 0 岁 ~3 9 岁) 和“ 非 年 轻 人” ( 1 9岁及以下或者4 0岁及以上) 两类, 将一周 内使用的次数为6次或6次以上的称为“ 经常 使用直播销售用户” , 使用次数为5次或不足5 次的称为“ 不常使用直播销售用户” , 则“ 经常 使用直播销售用户” 中有5 6是“ 年轻人” 。 图2 图3 ( 1 ) 现对该地相关居民进行“ 经常使用网 络直播销售与年龄关系” 的调查, 采用随机抽 样的方法, 抽取一个容量为2 0 0的样本, 请你 根据图表中的数据, 完成2 × 2列联表( 表2 ) , 并根 据 列 联 表 判 断 是 否 有 8 5 % 的 把 握 认 为 经常使用网络直播销售与年龄有关。 表2 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 ( 2 ) 某 投 资 公 司 在 2 0 2 2 年 年 初 准 备 将 1 0 0 0万元投资到“ 销售该地区农产品” 的项 目上, 现有两种销售方案供选择。 方案一: 线下销售, 根据市场调研, 利用 传统的线 下 销 售, 到 年 底 可 能 获 利 3 0 %, 可 能亏损1 5 %, 也 可 能 不 赔 不 赚, 且 这 三 种 情 况发生的概率分别为7 1 0 , 1 5, 1 1 0 ; 方案二: 线上直播销售, 根据市场调研, 利用线上 直 播 销 售, 到 年 底 可 能 获 利 5 0 %, 可能亏损 3 0 %, 也 可 能 不 赔 不 赚, 且 这 三 种 情况发生的概率分别为3 5, 3 1 0 , 1 1 0 。 针对以上两种 销 售 方 案, 请 你 从 期 望 和 方差的 角 度 为 投 资 公 司 选 择 一 个 合 理 的 方 案, 并说明理由。 参考数据: 独立性检验临界值表( 表3 ) 。 表3 P( K 2≥ k 0) 0 . 1 5 0 . 1 0 0 . 0 5 00 . 0 2 50 . 0 1 0 k 0 2 . 0 7 22 . 7 0 63 . 8 4 15 . 0 2 46 . 6 3 5 其 中, K 2 = n ( a d- b c ) 2 ( a+ b ) ( c + d) ( a+ c ) ( b + d) , n= a+ b+ c+ d。 2 2 . ( 本 小 题 1 2 分) 已 知 函 数 f( x) = e x+ s i n x- c o s x, f _ ( x) 为f( x) 的导数。 ( 1 ) 证明: 当x≥ 0时, f _ ( x) ≥ 2 ; ( 2 ) 设 g( x) =f( x) -2 x -1 , 证 明: g( x) 有且仅有2个零点。 ( 责任编辑 徐利杰) 8 演练篇 核心考点 A B卷 高二数学 2 0 2 2年7 - 8月 全科互知