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新课标已施行, 新高考要启动。对于即将到来的新高考, 广大师生该如何面对呢? 本刊 编辑部特开设《 新高考名师护航》 栏目, 邀请全国高考研究专家, 评析高考命题趋势, 并指导高 考复习备考。 注重知识交汇 展现圆的风采 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 随着新课程改革的实施, 与圆相关的问 题成了高考命题的一个新热点。 由于圆的特 有性质, 使其具有很强的交汇性, 在高考中圆 可以直接或间接地出现在许多问题之中。下 面我们就此热点, 按照圆与其他知识的交汇 分类解析, 供同学们参考。 一、圆与点、直线的交汇 例 1 ( 2 0 2 1年新高考全国Ⅱ卷) 已知 直线l : a x+ b y- r 2= 0与圆 C: x 2+ y 2= r 2, 点 A( a, b) , 则下列说法正确的是( ) 。 A. 若点A 在圆C 上, 则直线l与圆C 相 切 B . 若点 A 在圆C 内, 则直线l与圆C 相 离 C . 若点 A 在圆C 外, 则直线l与圆C 相 离 D. 若点 A 在直线l 上, 则直线l 与圆C 相切 解析: 圆心C( 0 , 0 ) 到直线l 的距离d= r 2 a 2+ b 2 。 若点 A( a, b) 在圆C 上, 则a 2+ b 2= r 2, 所以d= r 2 a 2+ b 2 = | r | 。 则直线l与圆C 相切, 故 A 正确。 若点 A( a, b) 在圆C 内, 则a 2+ b 2< r 2, 所以d= r 2 a 2+ b 2 > | r | 。 则直线l与圆C 相离, 故 B正确。 若点 A( a, b) 在圆C 外, 则a 2+ b 2> r 2, 所以d= r 2 a 2+ b 2 < | r | 。 则直线l与圆C 相交, 故 C错误。 若点 A( a, b) 在直线l上, 则a 2+ b 2- r 2 = 0 , 即a 2+ b 2= r 2。 所以d= r 2 a 2+ b 2 =| r | , 直线l 与圆C 相切, 故 D 正确。选 A B D。 点评: 本题考查点与圆、 直线与圆的位置 关系, 求解的关键是利用圆心到直线的 距 离 与半径比较, 从而确定直线与圆的位置关系。 练习1 : ( 2 0 2 1年北京高考卷) 已知圆 C: x 2+ y 2= 4 , 直线l : y= k x+m, 当k 变化时, 直线l截得圆C 弦 长 的 最 小 值 为 2 , 则 m = ( ) 。 A. ± 2 B . ± 2 C . ± 3 D. ± 5 解析: 由题意知圆心为( 0 , 0 ) , 半径为2 , 则圆心到 直 线 的 距 离 d= | m | k 2+ 1 , 弦 长 为 2 4 - m 2 k 2+ 1 。当k= 0时, 弦长取得最小值 2 4 -m 2 = 2 , 解得 m=± 3。故选 C 。 二、圆与圆的交汇 例 2 已知点 A( -1 , 0 ) , B( 1 , 0 ) , 若 圆( x- 2 a+ 1 ) 2+( y- 2 a- 2 ) 2= 1上存在点 M 满足 MA →·M B →= 3 , 则实数a 的可能取值 为( ) 。 A. - 2 B . - 1 C . 2 D. 0 解析: 设点 M( x, y) , 则 MA →=( - 1 - x, - y) , M B →=( 1 - x, - y) , 所以 MA →·M B →= ( - 1 - x) ( 1 - x) + y 2= 3 , M 的轨迹方程为 x 2+ y 2= 4 , 圆心为( 0 , 0 ) , 半径为2 。 由题意可知圆( x- 2 a+ 1 ) 2+( y- 2 a- 2 ) 2= 1与x 2+ y 2= 4有公共点。 圆( x- 2 a+ 1 ) 2+( y- 2 a- 2 ) 2= 1的圆 心为( 2 a- 1 , 2 a+ 2 ) , 半径为1 。 所以 1≤ ( 2 a- 1 ) 2+( 2 a+ 2 ) 2 ≤3 , 解 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 0月 全科互知 

( x+ 1 ) 2+ y 2= 5 。又因为x 2+( y- 2 ) 2= 4 , 联立求解得x+2 y-2=0 , 所以直线 A B 的 方程为x+ 2 y- 2 = 0 。 四、圆与数学文化的交汇 例 4 唐代诗人李颀的诗《 古从军行》 开头两句说“ 白日登山望烽火, 黄昏饮马傍交 河” 。诗中隐含着一个有趣的数学故事“ 将军 饮马” 的问题, 即将军在观望烽火之后从山脚 下某处出发, 先到河边饮马后再回到军营, 怎 样走才能使总路程最短? 在平面直角坐标系 中, 设军营所在区域为x 2+ y 2≤ 1 , 若将军从 A( 2 , 0 ) 出 发, 河 岸 线 所 在 直 线 的 方 程 x+ y- 4 = 0 , 并假定将军只要到达军营所在区域 即回到军营, 则“ 将军饮马” 的最短总路程为 ( ) 。 A. 1 0 B . 2 5- 1 C . 2 5 D. 1 0- 1 解析: 设点 A 关于直线x+ y= 4的对称 点为 A _ ( a, b) , 则k A A _= b a- 2 , A A _的中点为 a+ 2 2 , b 2 , 所以 b a- 2 = 1 , a+ 2 2 +b 2= 4 。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 解得a=4 , b= 2 。要使从点 A 到军营总路程最短, 也是 点 A _到军营 最 短 的 距 离, 即 为 点 A _和 圆 上 的点连线的最小值, 也即从点 A 到军营最短 总路程为点 A _和 圆 心 之 间 的 距 离 减 圆 的 半 径。“ 将军饮马” 的最短总路程为 4 + 1 6- 1 = 2 5- 1 。选 B 。 五、圆与其他知识的交汇 例 5 圆 C 1: x 2+ y 2+ 2 a x+ a 2- 9 = 0和圆C 2: x 2+ y 2- 4 b y- 1 + 4 b 2= 0只 有一条公切线, 若a∈R, b∈R, 且a b≠0 , 则 4 a 2+1 b 2的最小值为 。 解析: 已知圆 C 1: x 2+ y 2+2 a x+ a 2-9 = 0和圆C 2: x 2+ y 2- 4 b y- 1 + 4 b 2= 0 , 可化 为圆C 1: ( x+ a) 2+ y 2= 9和圆C 2: x 2+( y- 2 b) 2= 1 , 圆心分别为 C 1( - a, 0 ) , C 2( 0 , 2 b) , 半径分别为3和1 。依题意可知两圆相内切, 所以 a 2+ 4 b 2 = 3 - 1 , 即a 2+ 4 b 2= 4 。 因为a∈R, b∈R, 且a b≠0 , 所以4 a 2+1 b 2 = 1 4 4 a 2+1 b 2 (a 2 + 4 b 2 ) = 1 4 8 + 1 6 b 2 a 2 + a 2 b 2 ≥ 1 4 8 + 2 1 6 b 2 a 2 · a 2 b 2 = 4 , 当且仅当 1 6 b 2 a 2 = a 2 b 2时, 等号成立。 因此, 4 a 2+1 b 2的最小值为4 。 点评: 本题利用圆与圆的位置关系, 将圆 与基本不等式相结合, 解题的关键是利 用 圆 与圆的位置关系, 求出a 2+ 4 b 2= 4 , 从而利用 “ 乘1法” , 运用基本不等式求最值。 练习4 : 已知 直 线l : y=x+2 a 与 圆C: ( x- a) 2+ y 2= r 2( r>0 ) 相 切 于 点 M ( -1 , y 0) , 设直线l 与x 轴的交点为A, 点 P 为圆 C 上的动点, 则 P A →·PM → 的最大值为 。 解析: 圆C: ( x- a) 2+ y 2= r 2( r>0 ) 的 圆心为( a, 0 ) 。因为直线l 与圆C 相切于点 M( - 1 , y 0) , 所以y 0= 2 a- 1 。 则 | 3 a | 2 = r, ( - a- 1 ) 2+( 2 a- 1 ) 2= r 2, ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 整 理 得 a 2- 4 a+ 4 = 0 , 解得a= 2 , r= 3 2。 所以直线方程为y=x+ 4 , 圆的方程为 ( x-2 ) 2 +y 2 =1 8 , A( -4 , 0 ) , M ( -1 , 3 ) , AM 的中点为Q -5 2, 3 2 。 则 P A → ·PM → = ( P Q → +Q A →) · ( P Q → + Q M →) =P Q → 2 - 1 4AM → 2 ≤ ( | Q C|+r) 2 - 1 4AM → 2。 因 为 |Q C| = 2 +5 2 2 + 3 2 2 = 3 1 0 2 , |AM | = 3 2+ 3 2 = 3 2,所 以 ( | Q C | + r) 2-1 4AM → 2= | Q C | 2+ 2 r | Q C | + r 2-1 4AM → 2= 3 6 + 1 8 5, P A →·PM → 的最大值为3 6 + 1 8 5。 ( 责任编辑 徐利杰) 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 0月 全科互知 

思路点拨: ( 1 ) 将给定点代入设出的方程 求解即可; ( 2 ) 设出直线方程, 与椭圆 C 的方 程联立, 分情况讨论斜率是否存在, 可得解。 解析: ( 1 ) 设椭圆 E 的方程为 m x 2+ n y 2 = 1 。过 A( 0 , - 2 ) , B 3 2, - 1 , 则: 4 n= 1 , 9 4m+ n= 1 , 解得 m=1 3, n=1 4。 所以椭圆 E 的方程为 x 2 3+ y 2 4= 1 。 ( 2 ) 已知 A( 0 , - 2 ) , B 3 2, - 1 , 所以直 线 A B 的方程为y+ 2 =2 3 x。① 若过点 P( 1 , - 2 ) 的直线斜率不存在, 则 直线 方 程 为 x=1 。 代 入x 2 3 +y 2 4 =1 , 可 得 M 1 , - 2 6 3 , N 1 , 2 6 3 。 将y=- 3 6 3 代入 A B 的方程y=2 3 x- 2 , 可得 T - 6+ 3 , - 2 6 3 。 由 M T →= T H →, 得 H - 26+ 5 , - 26 3 。 求得直线 HN 的方程为y= 2 + 26 3 x- 2 , 其过点( 0 , - 2 ) 。② 若过点 P( 1 , -2 ) 的 直 线 斜 率 存 在, 设 k x- y-( k+ 2 ) = 0 , M( x 1, y 1) , N( x 2, y 2) 。 联立 k x- y-( k+ 2 ) = 0 , x 2 3+ y 2 4= 1 , 得( 3 k 2+ 4 ) · x 2- 6 k( 2 + k) x+ 3 k( k+ 4 ) = 0 。 可 得: x 1+ x 2= 6 k ( 2 + k ) 3 k 2+ 4 , x 1 x 2= 3 k ( 4 + k ) 3 k 2+ 4 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? y 1+ y 2=- 8 ( 2 + k ) 3 k 2+ 4 , y 1 y 2= 4 ( 4 + 4 k - 2 k 2) 3 k 2+ 4 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 且 x 1 y 2+ x 2 y 1= - 2 4 k 3 k 2+ 4 。( *) 联立 y= y 1, y=2 3 x- 2 , 可得 T 3 y 1 2 + 3 , y 1 , H ( 3 y 1+ 6 - x 1, y 1) 。 可 求 得 此 时 HN:y - y 2 = y 1- y 2 3 y 1+ 6 - x 1- x 2 ( x- x 2) 。 将( 0 , -2 ) , 代 入 整 理 得, 2( x 1 +x 2) - 6 ( y 1+ y 2) + x 1 y 2+ x 2 y 1- 3 y 1 y 2- 1 2 = 0 。 将( *) 代入得, 2 4 k+ 1 2 k 2+9 6+4 8 k- 2 4 k- 4 8 - 4 8 k+ 2 4 k 2- 3 6 k 2- 4 8 = 0 。 显然成立。 综上, 可得直线 HN 过定点( 0 , - 2 ) 。 试题评析: 本题 是 考 查 圆 锥 曲 线 中 的 定 点问题, 试题难度较大。 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 如下。 ( 1 ) 把直线或曲线方程中的变量x, y 当 作常数看待, 把方程一端化为零, 既然是过定 点, 那么这个方程就要对任意参数都成立, 这 时参数的系数就要全部等于零, 这样就 得 到 一个关于x, y 的方程组, 此方程组的解所确 定的点就是直线或曲线所过的定点。 ( 2 ) 由直线方程确定其过定点时, 若得到 了直线方程的点斜式y- y 0= k( x-x 0) , 则 直线必过定点( x 0, y 0) ; 若得到了直线方程的 斜截式y= k x+m, 则直线必过定点( 0 , m) 。 研究直线与圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 问 题, 多利用代数的方法来研究几何问题, 其 解 答 过程思维较曲折, 运算量较大, 因此对同学们 的逻辑 思 维 能 力 及 运 算 求 解 能 力 的 要 求 较 高, 故同学们在学习过程中, 要有意识地强化 圆锥曲线问题的解答, 可以同时优化这 两 方 面的品质。 三、发展素养,体现引导 《 普通高中数学课程标准》 提出数学学科 核心素养, 并明确数学教学要以发展学 生 的 数学学科核心素养为基本导向, 故数学 高 考 将学科素 养 概 括、 凝 练 为 理 性 思 维、 数 学 应 用、 数学 探 索 和 数 学 文 化。 高 考 从 “ 知 识 立 意” 到“ 能 力 立 意” , 再 到 “ 素 养 导 向” ; 从 “ 解 题” 到“ 解决问 题” 的 理 念 发 生 跃 升。高 考 的 这些变化要引导同学们的学习, 单纯的 知 识 记忆和刷题失效, 大家必须提升理解力, 提高 自主学习能力, 发展理性思维, 提升数学核心 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 0月 全科互知