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■四川省甘孜县民族中学 泽灯正呷 数列的通项公式是数列的核心内容, 对 研究数列的性质, 求数列的前n 项和起着至 关重要的作用。笔者通过对近几年高考数学 全国卷中数列试题的分析, 简要阐述求 数 列 通项公式的几种常见方法, 希望同学们 能 够 从中有所受益, 在高考复习中提高效率。 一、求数列通项公式方法归纳 1 . 数学归纳法 解题步骤: 第一步, 求出数列的前几项, 并猜想出数列的通项; 第二步, 使用数学归纳 法证明通项公式是成立的。 例 1 已 知 数 列 { a n } 满 足: a 1 =1 , 点 ( a n, a n+1) ( n∈N * ) 在直线y= 2 x+ 1上。 ( 1 ) 求a 2, a 3, a 4 的 值, 并 猜 想 数 列 { a n} 的通项公式; ( 2 ) 用数学归纳法证明( 1 ) 中你的猜想。 解析: ( 1 ) 由题意可知, a n+1= 2 a n + 1 , 所 以a 2= 3 , a 3= 7 , a 4= 1 5 。猜想a n= 2 n- 1 。 ( 2 ) 当n=1 时, a 1=2-1=1 成 立。假 设当n= k( k≥ 2 , k∈N) 时, a k= 2 k- 1成立。 因为当n= k+1 时, a k+1=2 a k +1=2 ( 2 k - 1 ) + 1 =2 k+1-1 也 成 立, 所 以 猜 想 正 确。综 上可得, a n= 2 n- 1 。 2 . 公式法 解题步骤: 第一步, 利用S n 满足条件p, 写出当n≥ 2时, S n-1 的表达式。第二步, 利 用a n= S n -S n-1( n≥2 ) , 求出a n。第三步, 根据a 1= S 1 求出a 1, 并代入{ a n} 的通项公式 进行验证。若成 立, 则 合 并; 若 不 成 立, 则 写 成分段形式。 例 2 已知数列{ a n} 的前n 项和S n= 2 n 2- 3 , 求: ( 1 ) 第二项a 2; ( 2 ) 通项公式a n。 解析: ( 1 ) 因为S n= 2 n 2- 3 , 所以当n= 1 时, a 1=S 1=2-3= -1 , 当n=2 时, S 2 = a 1+ a 2= 2 × 2 2- 3 = 5 , 所以a 2= 6 。 ( 2 ) 当 n≥2 时, a n =S n -S n-1 =2 n 2 - 3 - 2 ( n- 1 ) 2+ 3=4 n-2 ; 当 n=1 时, a 1 = 2 - 3 =-1 , 不 符 合 上 试。 综 上 可 得 a n = - 1 , n= 1 , 4 n- 2 , n≥ 2 。 3 . 累加法 形如 a n+1 -a n =f ( n) 或 a n+1 =a n + f( n) 。解题步 骤: 第 一 步, 将 递 推 公 式 写 成 a n+1-a n =f( n) 。 第 二 步, 依 次 写 出 a n - a n-1, …, a 2 -a 1, 并 将 它 们 累 加 起 来。 第 三 步, 得到a n- a 1 的值, 解出a n。第四步, 检验 a 1 是 否 满 足 所 求 通 项 公 式。 若 成 立, 则 合 并; 若不成立, 则写成分段形式。 例 3 已知数列{ a n} 中, a 1= 1 , a 3= 9 , { a n+1- a n} 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列, 求 { a n} 的通项公式。 解析: 因 为 { a n+1-a n} 是 公 差 为 2 的 等 差数列, 所以( a 3- a 2) -( a 2- a 1) = 2 , 即9 - 2 a 2+ 1 =2 , 所以a 2=4 , 所以a 2- a 1=3 , a 3 - a 2= 5 , a 4- a 3=7 , …, a n - a n-1=2 n-1 , 累加 得 a n -a 1 =3+5+ … + ( 2 n-1) = ( n- 1 ) ( 3 + 2 n- 1 ) 2 = n 2- 1 , 所以a n= n 2。 4 . 累乘法 形如 a n+1 a n =f( n) 或 a n+1 =a n ×f( n) 。 解题 步 骤: 第 一 步, 将 递 推 公 式 写 成a n+1 a n = f( n) 。第二步, 依次写出 a n a n-1 , …, a 2 a 1 , 并将它 们累乘起来。第三步, 得到 a n a 1 的值, 解出a n。 第四步, 检验a 1 是否满足所求通项公式。若 成立, 则合并; 若不成立, 则写成分段形式。 例 4 已知数列{ a n} 中, a 1= 1 , S n 是 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1月 全科互知
数列{ a n} 的前n 项 和, 且a n S n = 3 n+ 2 , 求 数 列 { a n} 的通项公式。 解析: 由 a n S n = 3 n+ 2 得3 S n=( n+ 2 ) a n 且 a n ≠0 , 当 n≥2 且 n∈N * 时, 3 a n =3 S n - 3 S n-1=( n+ 2 ) a n-( n+ 1 ) a n-1, 整理得( n- 1 ) a n =( n+ 1 ) a n-1, 所以 a n a n-1 =n+ 1 n- 1 , 则a n-1 a n-2 = n n- 2 , a n-2 a n-3=n- 1 n- 3 , …, a 3 a 2 = 4 2, a 2 a 1 = 3 1, 各 式相 乘 得a n a 1 =n+ 1 n- 1× n n- 2×n- 1 n- 3× … × 4 2×3 1 =n( n+ 1 ) 2 , 所 以a n =n( n+ 1 ) 2 , 又 当n= 1时也成立, 故a n= n( n+ 1 ) 2 。 5 . 倒数变换法 形如 a n-1 -a n =p a n-1 a n ( p 为 常 数 且 p≠0 ) 的 递 推 式, 两 边 同 除 以 a n-1 a n , 得 1 a n = 1 a n-1+ p, 求 出 1 a n 的 表 达 式, 再 求 a n; 还 有形如a n+1= m a n p a n+ q 的递推式, 也可采用取 倒数的 方 法 转 化 成 1 a n+1 =q m · 1 a n +p m 的 形 式, 求出1 a n 的表达式, 再求a n。 例 5 已知数列{ a n} 满足: a 1= 1 , 且 a n+1= a n 1 - 2 a n , 求{ a n} 的通项公式。 解析: 由 题 意 知 1 a n+1 =1 - 2 a n a n = 1 a n -2 , 所以 1 a n 是等差数列, 且首项为 1 a 1= 1 , 公差 为- 2 , 所以1 a n =1-2 ( n-1 ) =3-2 n, 所 以 a n= 1 3 - 2 n。 二、如何复习数列才能精准备考 1 . 刷真题, 多总结 虽然数列部分近三年来高考考查的较为 简单, 但仍然是一个重要的考点, 也综合考查 函数与方程思想、 转化与化归思想、 分类讨论 思想, 考查同学们的运算求解能力、 推理论证 能力、 抽象概括能力、 创新探 究 能 力 等, 在 备 考时仍然需要引起重视, 建议强化数列 部 分 通性通法的复习与训练, 不要加大数列 难 题 与技巧类题目的训练, 通过真题训练我 们 会 发现: 现在的题型基本上都是以构造好 的 条 件变相给出, 所以难度降低, 希望同学们不要 花过多精力在这上面纠缠。 2 . 夯实基础知识 众所周知, 基础不牢, 地动山摇, 基础不 稳, 计算不准。数列的基本知 识 点 建 立 在 数 学理解的基础上, 如等差数列通项公式 的 推 导: 累加法; 等比数列通项公 式 的 推 导: 累 乘 法。再如两者的前n 项和公式的推导分别对 应的倒序相加法及错位相减法等, 只有 将 这 些基础知识深刻理解, 才能融会贯通。 3 . 注重理性思维 复习中也需打破这部分内容考查“ 简单” 这一传统思维定式, 每一个知识点务必 让 自 己知其所以然, 让所有知识点呈现并植 根 在 脑海 中, 回 归 数 列 的 本 质, 即 观 察、 归 纳、 概 括, 注重理性思维, 比如对于选择题有时采用 验证法可轻松破解。 4 . 留意知识交叉融合 现行高考新背景下试题命制在保证基础 性的前提下注重综合性、 应 用 性、 创 新 性, 试 题以真实问题情境的形式呈现, 不仅提 高 区 分度, 考查同学们分析问题与解决问题 的 能 力, 同时也考查应用数学知识综合处理 问 题 的能力, 对“ 四基四能” 有一个很好的检验, 故 复习备考时也要注意情境化背景下知识的交 叉融合。 从2 0 2 2年高考数列试题也可以看出, 关 于数列性质的使用和递推法求通项的技巧考 查有所弱化, 回归到对数列的基本概念 和 函 数属性的考查, 多数试题通过基本量运 算 即 可解决。因此, 在数列复习的过程中, 不必大 量机械训练等差( 比) 数列性质的灵活运用, 以及用数列递推公式求通项的不常用的特殊 技巧( 如特征根法、 不动点法等) , 而是要注重 回归基础, 深刻理解数列的相关概念, 掌握基 础知识和基本方法。 ( 责任编辑 王福华) 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1月 全科互知
■四川成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 解三角形是历年来高考命题的热点和难 点。本文将对近几年高考数学全国卷中解三 形试题的考点进行分析与研究, 希望能 够 帮 助大家了解高考命题规律、 试题特点和 解 题 策略, 从而提高复习效率。 题型一、求解三角形的边角问题 例 1 在 △A B C 中, 角 A, B, C 的 对 边分别为a, b, c, 若a c o s C+ 3 a s i n C- b- c= 0 。 ( 1 ) 求角 A 的大小; ( 2 ) 若a= 2 , △A B C 的面积为 3, 求b, c 的值。 解析: ( 1 ) 因为a c o s C+ 3 a s i n C- b- c = 0 , 由正弦定理得s i n A c o s C+ 3 s i n A· s i n C- s i n B- s i n C= 0 , 所以s i n A c o s C+ 3 s i n A s i n C= s i n B+ s i n C= s i n ( A+C) + s i n C= s i n A c o s C+ s i n C c o s A+ s i n C, 因为s i n C≠0 , 所以 3 s i n A- c o s A=1 , 所 以 s i n ( A- 3 0 ° ) = 1 2, 所 以 A -3 0 ° =3 0 ° , 所 以 A= 6 0 ° 。 ( 2 ) 由S=1 2 b c s i n A= 3得 b c= 4 , 由余 弦定理得a 2= b 2+ c 2- 2 b c c o s A=( b+ c ) 2- 2 b c- 2 b c c o s A, 即4=( b+ c) 2-3 b c=( b+ c ) 2- 1 2 , 所以b+ c= 4 , 解得b= c= 2 。 点评: 本题考查了正弦定理、 余弦定理、 三角形 的 面 积 公 式 在 解 三 角 形 中 的 综 合 应 用, 诱导公式与辅助角公式在三角函数 化 简 中的应用是求解的基础, 边角互化是解 决 这 类问题的“ 套路” , 解题的关键是熟练掌握基 本公式。 备考策略: 利用正、 余弦定理求解三角形 的边角问题, 实质是实现边角的转化, 解题的 思路是: ( 1 ) 合理选择定理。①已知两角及一边, 求其余的边或角, 利用正弦定理; ②已知两边 及其一边的对角, 求另一边所对的角, 利用正 弦定理; ③已知两边及其夹 角, 求 第 三 边, 利 用余弦定理; ④已知三边求角或角的余弦值, 利用余弦定理的推论; ⑤ 已知两边及其一边 的对角, 求另一边, 利用余弦定理。 ( 2 ) 合理转化与化归。化 边 为 角 后 一 般 要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换 进行转化; 若将条件转化为边之间的关系, 则 式子一般比较复杂, 要注意根据式子结 构 特 征灵活化简。 ( 3 ) 兼顾隐藏条件得结 论。利 用 三 角 函 数公式, 结合三角形的有关性质, 并注意利用 数形结合思想求出三角形的边、 角或判 断 出 三角形的形状等。 题型二、求解与三角形周长(面积)等有 关的最值(值域)问题 例 2 在 △A B C 中, 内 角 A, B, C 的 对边分 别 为 a, b, c, 已 知 b=2 3, 且 满 足 s i n 2A+ s i n 2 C= s i n 2 B- s i n A s i n C。 ( 1 ) 求角 B 的大小; ( 2 ) 求△A B C 的面积的最大值。 解析: ( 1 ) 因 为 s i n 2A +s i n 2 C=s i n 2 B - s i n A s i n C, 由 正 弦 定 理 得 a 2 +c 2 -b 2 = - a c, 由 余 弦 定 理 得 c o s B =a 2+ c 2- b 2 2 b c = -1 2, 由 B 为三角形的内角得 B= 1 2 0 ° 。 ( 2 ) 因为b= 2 3, 由( 1 ) 得a 2+ c 2= 1 2 - a c≥2 a c, 当 且 仅 当 a=c 时 取 等 号, 所 以 a c≤ 4 , 所以S△A B C =1 2 a c s i n B= 3 4a c≤ 3, 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1月 全科互知
所以△A B C 的面积的最大值为 3。 点评: 本题主要考查了正弦定理、 余弦定 理, 以及三角形的面积公式、 基本不等式在求 解三角形中的应用。 备考策略: 利用正、 余弦定理等知识求解 与三角形有关的最值问题, 一般思路为: 先运 用正、 余弦定理进行边角互化, 然后通过三角 形中相关角的三角恒等变换, 构造出关 于 某 一角或某一边的函数或不等式, 再利用 函 数 的单调性或基本不等式来处理, 尤其是 求 值 域往往将目标转化为角的函数进行处理。 题型三、解平面四边形 例 3 如图1 , 在梯形 A B C D 中, A B ∥ C D, A D· s i n D= 2 C D· s i n B。 ( 1 ) 求证: B C= 2 C D; 图1 ( 2 ) 若 A D =B C =2 , ∠A D C = 1 2 0 ° ,求 梯 形 A B C D 的面积。 解 析: ( 1)在 △A C D 中, 由正弦定理得 A D s i n ∠A C D = A C s i n D, 即 A D·s i n D =A C·s i n ∠A C D。 因 为 A B∥ C D, 所 以 ∠A C D = ∠ C A B, 所 以 A D· s i n D=A C· s i n ∠ C A B。在△A B C 中, 由正 弦 定 理 得 A C s i n B = B C s i n ∠ C A B, 即 A C · s i n ∠ C A B=B C·s i n B, 所 以 A D ·s i n D = B C· s i n B。又 A D· s i n D= 2 C D· s i n B, 所 以B C· s i n B= 2 C D· s i n B, 即B C= 2 C D。 ( 2 ) 由( 1 ) 知 C D = 1 2B C=1 , 在 △A C D 中, 由余 弦 定 理 得 A C 2 =A D 2 +C D 2 -2· A D· C D ·c o s ∠A D C, 解得 A C= 7, 所 以 c o s ∠ C A B= c o s ∠A C D=C D 2+A C 2-A D 2 2 C D·A C = 2 7 7 。在 △A B C 中, B C 2 =A C 2 +A B 2 - 2 A C·A B·c o s ∠ C A B, 解 得 A B =1 或 3 。 因为四边形 A B C D 为梯形, 所以 A B=3 , 又 梯形 A B C D 的 高 为h=A D ·s i n 6 0 ° = 3, 所以 梯 形 A B C D 的 面 积 为 S = 1 2 ( A B + C D) h= 2 3。 点评: 本题主要考查正、 余弦定理在解三 角形中的应用。 备考策略: 利用正、 余弦定理解决四边形 的问题思路主要有以下两种: ( 1 ) 对于四边形中的解三角形问题或把一 个三角形分为两个三角形来解三角形的问题, 分别在两个三角形中列出方程, 组成方程组, 通 过加减消元或者代入消元, 求出所需要的量; ( 2 ) 对于含有三角形中的多个量的 已 知 等式, 化 简 求 不 出 结 果, 需 要 依 据 题 意 应 用 正、 余弦定理再列出一个等式, 由此组成方程 组通过消元法求解。 题型四、解决三角形中含线段问题 例 4 在△A B C 中, 已知 A B=4 , A C = 5 , c o s B=5 7。 ( 1 ) 求s i n A 的值; ( 2 ) 若 A D 是 ∠B A C 的 角 平 分 线, 求 A D 的长。 解析: ( 1 ) 在 △A B C 中, 由 余 弦 定 理 得 A C 2=A B 2+B C 2- 2 A B·B C· c o s B, 即2 5 = 1 6 +B C 2-2×4×B C× 5 7, 整 理 得 7 B C 2 - 4 0 B C-6 3=0 , 解 得 B C=7( 负 值 舍 去) 。 由B 为三角形的内角得s i n B= 1 - c o s 2 B = 1 - 2 5 4 9 =2 6 7 , 由 正 弦 定 理 得 s i n A = B C· s i n B A C = 7 × 2 6 7 5 = 2 6 5 。 ( 2 ) 设 ∠B A D = θ, A D =x, 则 S△A B C = S△A B D + S△A D C , 所 以 1 2 ×4×5 s i n 2 θ= 1 2 ×4 × x× s i n θ+ 1 2 ×5×x× s i n θ, 整理得 x= 2 0 s i n 2 θ 9 s i n θ = 4 0 c o s θ 9 。△A B C 中, 由 余 弦 定 理 得c o s A =A B 2+A C 2-B C 2 2 A B·A C = - 1 5, 因 为 c o s A=c o s 2 θ=2 c o s 2 θ-1 , 所 以 c o s θ= 1 0 5 , 则 A D= 8 1 0 9 。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1月 全科互知
点评: 本题主要考查正弦定理、 余弦定理、 三角形面积公式在解三角形问题中的应用。 备考策略: 近几年高考及各地模拟考试中 频频出现涉及三角形的“ 角平分线” 、 “ 中线” 、 “ 分线段比” 等, 然后求“ 线段” 的长度, 总体来 讲, 解决这类题的思路是: 利用互补两角的余 弦相等或利用面积相等建立方程进行突破。 题型五、结构不良试题 例 5 在 △A B C 中, 角 A, B, C 的 对 边分别 为a, b, c, 且 满 足 ①C =2 B; ②b· c o s A= a c o s B; ③ a 2- 2 a c= b 2- c 2。 ( 1 ) 从①②③中选取两个作为条件, 证明 另外一个成立; ( 2 ) 若 D 为线段A B 上一点, 且2 ∠B C D =∠B, C D= 4 , 求△B C D 的面积。 解析: ( 1 ) ①②?③。由正弦定理及b· c o s A= a c o s B 知s i n B c o s A= s i n A c o s B, 即s i n ( A-B) = 0 , 所以 A=B。又 C= 2 B, 且 A+B+ C=π , 所以 B+B+ 2 B=π , 即 B =π 4, 由余弦定理知b 2= a 2+ c 2-2 a c c o s B = a 2+ c 2- 2 a c· 2 2 , 整理得a 2- 2 a c= b 2- c 2。 ①③ ? ②。把a 2- 2 a c= b 2- c 2 整 理 成a 2+ c 2- b 2= 2 a c, 由余弦定理知c o s B= a 2+ c 2- b 2 2 a c = 2 a c 2 a c = 2 2 , 因为 B∈( 0 , π ) , 所 以 B=π 4, 又 C= 2 B= π 2, 所以 A=B, 所以 b c o s A= a c o s B 显然成立。 ②③?①。由正弦定理及b c o s A= a· c o s B 知s i n B c o s A= s i n A c o s B, 即s i n ( A -B) =0 , 所以 A=B。因为a 2- 2 a c= b 2 - c 2, 由 余 弦 定 理 知 c o s B =a 2+ c 2- b 2 2 a c = 2 a c 2 a c = 2 2 , 又 B∈( 0 , π ) , 所 以 B= π 4 =A, 所以C= π -( A+B) =π 2= 2 B。 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 B = π 4, 因 为 2∠B C D = ∠B, 所以∠B C D=1 2∠B= π 8, 所以∠B D C = π -( ∠B C D+∠B) =5 π 8 , 在△B C D 中, 由 正弦定理知 B C s i n ∠B D C= C D s i n ∠B, 所以 B C= C D· s i n 5 π 8 s i nπ 4 = C D· c o sπ 8 s i nπ 4 , 故 S△B C D = 1 2 · B C·C D ·s i n∠B C D = 1 2 · C D· c o sπ 8 s i nπ 4 · C D· s i nπ 8=1 2· C D 2· 1 2 s i nπ 4 s i nπ 4 = 4 。 点评: 熟练掌握正弦定理、 余弦定理、 三 角形面积公式、 两角差的正弦公式、 二倍角公 式是解答本题的关键, 考查同学们的逻 辑 推 理能力和运算能力。 备考策略: 所谓结构不良试题, 就是试题 不是完整呈现, 一般需要同学们从给出 的 多 个条件 中 选 出 一 个 或 两 个 补 充 完 整 进 行 解 答, 试题具有一定的开放性, 不同的选择可能 导致不同的结论, 难度与用时也会有所不同。 结构不良试题常见的类型如下: ( 1 ) 先定后动。① 由题意 利 用 数 学 知 识 对“ 定” ( 确定的条件) 进行分析推断, 得出一 部分结论; ② 观 察 分 析 “ 动” ( 给 定 选 项 的 条 件) , 再结合题干要求选出最优条件( 最熟悉, 能发挥自己优势, 容易拿分) 进行解答。 ( 2 ) 先动后定。①由题意利用数学知识对 “ 定” ( 确定的条件) 进行分析推断, 不容易得到 明确的结论; ②观察分析“ 动” ( 给定选项的条 件) , 再结合题干要求选出最优条件( 最熟悉, 能发挥自己优势, 容易拿分) ; ③从“ 动” ( 给定 选项的条件) 出发, 经过分析推理得到有利于 解题的结论, 再结合“ 定” 的条件进行作答。 此类题型的设置一定程度上让同学们参 与了命题, 由原来的思维固化转向开放多元, 从传统解题向解决问题的思维转变, 有利于引 导同学们多角度、 开放式地思考问题, 对于结 构不良类试题的解答, 可灵活采取以上策略。 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1月 全科互知
题型六 、求解实际应用问题 例 6 某公园要建造如图2所示的绿 地 O A B C, 其中 O A, O C 为互相垂直的墙体, 已有材料可建成的围栏 A B 与B C 的总长度 为1 2米, 且∠B A O=∠B C O。设∠B A O= α 0 < α<π 2 。 ( 1 ) 当A B= 4 , α=π 3时, 求A C 的长; ( 结 果精确到0 . 1米) 图2 ( 2 ) 当 A B =6 时, 求 四 边形 O A B C 的 面 积 S 的 最 大值及此时α 的值。 解 析: ( 1) 连 接 A C, 在 △A B C 中, A B=4 , B C=8 , ∠A B C= 2 π -π 3-π 3-π 2= 5 π 6 , 由 余 弦 定 理 得 A C 2 = A B 2 + B C 2 - 2 A B·B C ·c o s∠A B C =8 0+3 2 3, 故 A C= 8 0 + 3 2 3 ≈1 1 . 6 ( 米) 。 ( 2 ) 连 接 O B, 由 题 意 知 A B =B C =6 , ∠A B O= ∠ C B O =π- π 4 -α=3 π 4 -α, 在 △O B C 中, 由正弦定理得 O B s i n α= B C s i n ∠B O C, 得 O B=6 2 s i n α, 所 以 S=2× 1 2 ×O B× B A× s i n 3 π 4 - α = 3 6 2 s i n α s i n 3 π 4 - α = 3 6 2 s i n α 2 2 c o s α+ 2 2s i n α =3 6 s i n α· c o s α+ 3 6 s i n 2 α= 1 8 s i n 2 α- 1 8 c o s 2 α+ 1 8 = 1 8 2·s i n2 α-π 4 +1 8 0 < α<π 2 , 当 2 α -π 4= π 2, 即α=3 π 8 时, S 取最 大 值 1 8 2+ 1 8 。因此当α=3 π 8 时, 四边形 O A B C 的面积 S 的最大值为1 8 2+ 1 8 。 点评: 本题考查正、 余弦定理在解决实际 生活问题中的应用, 本质上是通过转化 与 化 归后利用正、 余弦定理解三角形。 备考策略: 常见 的 解 三 角 形 应 用 问 题 主 要有以下几种情形: ( 1 ) 实际问题经抽象概括后, 已知量与未 知量全部集中在一个三角形中, 可用正 弦 定 理或余弦定理求解。 ( 2 ) 实际问题经抽象概括后, 已知量与未 知量涉及两个或两个以上的三角形, 这 时 需 作出这些三角形, 先解够条件的三角形, 然后 逐步求解其他三角形。 ( 3 ) 设出未知量, 从几个三角形中列出方 程( 组) , 解方程( 组) 得出所要求的角。 ( 4 ) 涉及四边形等非三角形图形时, 可以 作辅助线, 尤其是测量高度、 宽 度 等 问 题, 将 图形分割成三角形后求解。 现在复习资料 空 前 丰 富, 这 就 需 要 我 们 进行整合, 通过研究近十年的高考真题, 从而 把握高考命题的历史演进和价值取向, 确 定 复习的方向, 之前的试题可能有一些不 同 的 考查方式, 因为使用不便, 所以后来就不再用 了, 但是在新时期会不会经过优化之后 再 次 出现呢? 事实上, 只要我们静 心 做 完 近 几 年 高考题, 你就会有许多的感悟, 再予以梳理就 可以确定自己的复习思路。将这些题目与基 本知识结构对接, 基本上可以形成一种 全 覆 盖, 概念性知识与程序性知识完美融合, 解题 助力理解知识, 知识的理解助力解题能 力 的 提升, 形成良性循环的发展态势。 总之, 高考对解三角形的考查, 重点放在 正、 余弦定理及三角形面积公式的应用上, 涉 及题目有大有小, 形式多样, 小题一般以小型 计算题为主, 求三角形的边长、 内角、 面积, 以 及判断三角形的性状, 也可能与其他知 识 综 合, 求与三角形有关的最值 问 题。当 在 解 答 题中, 并以实际问题的“ 面孔” 出现时, 其难度 往往有所上升; 若以综合题的形式出现, 则主 要考查正、 余弦定理, 以及利用三角公式进行 恒等变形的技能与运算能力, 鉴于此, 我们在 复习中, 一要熟练掌握和应用正、 余弦定理及 三角形面积公式; 二要学会对公式的灵 活 应 用, 能根据具体问题, 依据解三角形有关公式 列出方程或建立函数, 通过解方程或求 函 数 值来解决问题, 同时注意对解的检验。 ( 责任编辑 王福华) 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年1月 全科互知