全科互知 

全科互知 

取值范围是( -∞, - 4 ) ∪( 0 , +∞) 。 试题评 析: 本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义。 高考对导数几何意义的考查, 主要是求 切 线 的斜率与方程、 切线的条数、 公 切 线 问 题, 以 及根据 切 线 满 足 的 条 件 求 参 数 或 参 数 范 围 等。正确理解导数的几何意 义, 熟 练 运 用 导 数的计算及求直线的方程是得分的关键。此 外, 要正确区 分“ 过 点 P 的 切 线” 与“ 在 点 P 处的切线” 的差异。 二、凸显能力、强化思维 2 0 2 2年导数的高考命题, 强化基础考查 的同时, 也凸显出要求同学们从数学的 角 度 发现和提出问题、 分析和解决问题, 对大家的 逻辑思维能力、 运算求解能力及创新能 力 也 有较高的要求。如 2 0 2 2 年 新 高 考 全 国 Ⅰ 卷 第7题, 以三个数值大小的比较为试题情景, 可根据数值的共性与特点, 恰当构建函数, 研 究其导函数的符号, 求函数的单调性, 从而得 到相应的结论。如 2 0 2 2 年 全 国 乙 卷 文 科 卷 第2 0题第二问, 考查已知函数的零点求参数 的取值范围, 问题的解答需要同学们利 用 导 数的工具性, 综合分析、 研究函数的特征及单 调性, 试题的解答对大家运用所学知识 寻 找 合理的解题途径及推理论证能力、 运算 求 解 能力等有较高的要求。 例 3 【 2 0 2 2年新高考全国 Ⅰ 卷第7题】 设 a= 0 . 1 e 0 . 1, b=1 9, c=- l n 0 . 9 , 则( ) 。 A. a< b< c B . c< b< a C . c< a< b D. a< c< b 思路 点 拨: 依 题 意 可 构 造 函 数 f( x) = l n ( 1 + x) - x, 根据导数的单调性, 从而确定 a, b, c 的大小。 解析: 方法一( 构造法) 设f( x) = l n ( 1 + x) - x( x>- 1 ) , 易得 f _ ( x) = 1 1 + x- 1 =- x 1 + x。 当x∈( - 1 , 0 ) 时, f _ ( x) > 0 ; 当x∈( 0 , +∞) 时, f _ ( x) < 0 。 所以函数f( x) = l n ( 1 + x) - x 在( - 1 , 0 ) 上单调递增, 在( 0 , +∞) 上单调递减。 所以f 1 9 < f( 0 ) =0 , 即l n1 0 9 - 1 9 < 0 , 故1 9> l n 1 0 9=- l n 0 . 9 , 即b> c。 同理, f -1 1 0 < f( 0 ) = 0 , 所以l n 9 1 0+ 1 1 0 < 0 , 9 1 0 < e - 1 1 0, 故1 1 0 e 1 1 0<1 9, a< b。 设g( x) =x e x + l n ( 1-x) ( 0 0 , 函数h( x) 单调递增。又h( 0 ) = 0 , 所 以 当 0 0 , 函数g( x) = x e x + l n ( 1 - x) 单调 递 增, 故 g( 0 . 1 ) >g( 0 ) =0 , 即 0 . 1 e 0 . 1 > - l n 0 . 9 , a> c。选 C 。 方法二( 比较法) ① l n a- l n b= 0 . 1 + l n ( 1 - 0 . 1 ) 。 令f( x) = x+ l n ( 1-x) , x∈( 0 , 0 . 1 ] , 则f _ ( x) =1- 1 1 - x= - x 1 - x<0 , 故 f( x) 在 ( 0 , 0 . 1 ] 上单调递减, f( 0 . 1 ) k( 0 ) >0 , 即 m _ ( x) > 0 , m( x) 在( 0 , 0 . 1 ] 上单调递增。可 得 m( 0 . 1 ) >m( 0 ) = 0 , 即a- c> 0 , a> c。 故c< a< b。 试题评析: 本题 考 查 利 用 导 数 比 较 值 的 大小。利用导数研究不等式恒( 能) 成 立、 比 较大小、 解不等式等问题, 是高考对导数考查 的热点和高频考点。解答问题的关键是利用 题设条件, 恰当构造辅助函数, 把问题转化为 先利用导数研究函数的单调性, 再进一 步 比 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1月 全科互知 

试题评析: 本题 是 利 用 导 数 研 究 函 数 的 零点问题, 也是导数高考的高频考点之一, 常 考题型有: 确定函数的零点的个数问题, 已知 函数的零点个数求参数的取值范围。利用导 数研究函数零点或方程的根, 通常有三 种 思 路: 一是利用最值或极值研究; 二是利用数形 结合思想研究; 三是构造辅 助 函 数 研 究。在 利用导数研究函数的零点问题时, 要注 意 转 化思想及数形结合思想的应用。根据函数零 点情况求参数的取值范围时, 要注意: ①端点 的取舍; ②选择恰当的分类标准进行讨论。 三、提升素养、引导教考 近年高考命题从“ 知识立意” 到“ 能 力 立 意” , 再到 “ 素 养 导 向” , 从 “ 解 题” 到 “ 解 决 问 题” 发生了理念的升华。 2 0 2 2年导数的高考 命题, 不 仅 重 视 对 基 础 的 强 化, 对 能 力 的 凸 显, 同时也聚焦对数学学科核心素养的考查, 加强教考的衔接, 从而引导教育改革, 助力提 升同学们的综合素质。 例 5 【 2 0 2 2 年 全 国 乙 卷 理 数 第 1 6 题】 已知x= x 1 和 x=x 2 分别是函数 f( x) = 2 a x- e x 2( a> 0且a≠1 ) 的极小值点和极 大值点。若x 1< x 2, 则a 的取值范围是 。 思路点拨: 依题意, 方程2 l n a· a x- 2 e x = 0的两个根为x 1, x 2, 即函数y= l n a· a x 与函数y= e x 的图像有两个不同的交点。构 造函数g( x) = l n a· a x, 利用指数函数的图 像和图像变换得到g( x) 的图像, 利用导数的 几何意义求得过原点的切线的斜率, 根 据 几 何意义得解。 解析: 因为f _( x) = 2 l n a· a x - 2 e x, 所 以方程2 l n a· a x - 2 e x= 0的两个根为 x 1, 图1 x 2, 即方程l n a· a x= e x 的两个 根 为x 1, x 2, 也 即 函数 y= l n a·a x 与 函 数y=e x 的图像有两 个 不同 的 交 点, 如 图 1 所 示。因 为 x 1, x 2 分 别 是 函数f( x) = 2 a x- e x 2 的极小值点和极大值 点, 所以函数f( x) 在( -∞, x 1) 和( x 2, +∞) 上递减, 在( x 1, x 2) 上递增。故当x∈( -∞, x 1) ∪( x 2, + ∞) 时, f _( x) <0 , 即 函 数 y= e x 的图像在函数y= l n a· a x 的图像上方。 当x∈( x 1, x 2) 时, f _( x) >0 , 函数y= e x 的图像在函数y= l n a· a x 的图像下方。 若a> 1 , 图像显然不符合题意, 所以0 < a< 1 。 令g( x) = l n a· a x, 则 g _( x) = l n 2 a· a x, 0 < a< 1 。 设过原点且 与 函 数 y=g( x) 的 图 像 相 切的直线的切点为( x 0, l n a· a x 0) , 则切线的 斜率为g _ ( x 0) = l n 2 a· a x 0 , 切线方程为y- l n a· a x 0 = l n 2 a· a x 0( x- x 0) 。 因此, - l n a· a x 0 = -x 0 l n 2 a·a x 0 , 解 得x 0= 1 l n a, 则 切 线 的 斜 率 为l n 2 a·a 1 l n a = e l n 2 a。 因为函数y= l n a· a x 与函数y= e x 的 图像有两个不同的交点, 所以e l n 2 a< e , 解得 1 e< a< e 。 又0 < a< 1 , 所以1 e< a< 1 。 综上所述, a 的取值范围为 1 e, 1 。 试题评 析: 本 题 考 查 函 数 的 零 点 问 题。 解答与函数零点有关的参数范围问题 时, 利 用导数的工具性可以确定函数的单调 区 间, 函数极值、 最值等基本性质, 结 合 特 殊 点, 从 而可判断、 画出函数的大致图像, 进而可对函 数做深入、 具体的研究。问题 解 答 的 关 键 是 利用导数求出特征要素、 正确画出函数 的 图 像, 此外, 解答问题过程中, 要 注 意 转 化 思 想 及数形结合思想的应用, 若涉及分类讨论, 需 选择恰当的分类标准。 例 6 【 2 0 2 2 年 全 国 甲 卷 理 数 第 2 1 题】 已知函数f( x) =e x x - l n x+ x- a。 ( 1 ) 若f( x) ≥ 0 , 求a 的取值范围; ( 2 ) 证明: 若f( x) 有两个零点x 1, x 2, 则 x 1 x 2< 1 。 思路点拨: ( 1 ) 由导数确定函数单调性及 最值, 可得解; ( 2 ) 利用分析法, 转化要证明条 件为e x x - x e 1 x - 2l n x-1 2 x-1 x > 0 , 再 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1月 全科互知 

编者按: 2 0 2 0年初, 教育部出台《 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意 见》 ( 也称“ 强基计划” ) , 相关负责人表示, 基础研究是整个科学体系的源头。基础学科人才 培养特别是拔尖人才培养, 事关高水平科技自立自强、 民族复兴伟业, 是一项基础性、 先导性 工程, 具有重大战略意义。无论考生将来是偏文科方向( 如历史、 地理、 政治等) , 还是偏理科 方向( 如数学、 物理、 化学等) 发展, “ 强基计划” 校考中, 数学学科基本上是必考的, 为方便对 “ 强基计划” 考试感兴趣的师生查阅有关资料或备考, 本刊特邀请江南大学理学院谢广喜、 无 锡市第一中学钱铭等老师撰写了“ 强基计划” 数学专题系列讲座, 自本期开始连续刊登, 敬请 期待( 必须指出, 下面这些讲座的标题也只是从大的方面来划分, 专题之间难免会存在细微 的关联, 希望这些不会影响读者的阅读) 。 ■江南大学理学院 谢广喜 ■江苏省无锡市第一中学 钱 铭 在深入研究有关“ 强基计划” 试题之后, 我们发现测试的重点主要涉及不等式( 重点 是基本不等式、 柯西不等式法求最值, 绝对值 不等式及其取等号条件) , 一元高次方程背景 下的韦达定理应用, 函数的性质( 奇偶性、 单 调性、 周期性等及其综合应用) , 特殊方 程 求 解, 简单的初等数论问题( 整数的基本 性 质、 不定方程等) , 三角恒等变换, 组合问题 等 知 识。比如2 0 2 2 年部分高校的“ 强 基 计 划” 考 试涉及的知识有: 一元高次方程根与系 数 的 关系, 代数背景、 三角背景的 恒 等 变 换, 圆 锥 曲线定义的灵活应用, 夹逼法在不同数 学 知 识背景下的应用, 基于调整系数法的基 本 不 等式法求最值等, 它们都是“ 强基计划” 测试 常考不衰的热点。为方便大 家 学 习, 我 们 后 面将举例详细讨论其中有关问题( 值得指出, 由于其中有不少试题综合性较强, 为方 便 大 家在考场上迅速实现知识迁移, 本讲座 不 按 照大家 非 常 熟 悉 的 知 识 模 块 分 类 法 组 织 材 料, 而是以解决问题的数学方法和技巧 为 核 心, 以及运用这些方法和技巧解决问题 的 过 程中 所 表 现 出 来 的 数 学 之 美 为 主 线 组 织 材料) 。 本专题 介 绍 从 对 称 之 美 的 角 度 来 研 究 有关“ 强基计划” 数学试题, 有关对称之美的 思想观点在数学解题中的应用, 已有很多文 章介绍过, 我们这里主要介绍其他文章中讨 论得不太 多 的 齐 次 对 称 法、 配 对 法、 基 于 置 换对称性的附加假 设 等 在 “ 强 基” 考 试 中 的 应用。 所谓对称性, 它是图像( 或 表 达 式) 作 一 定的变换后而保持不变的一种性质( 这个变 换就称为对称变换) , 我们熟知的轴对 称、 中 心对称都是对称的体现。实 际 上, 数 学 对 称 问题的另一种表现形式是齐次对称( 相对于 我们所熟 知 的 轴 对 称、 中 心 对 称、 置 换 对 称 等, 它是一种更加高级的对称形式) 。所谓齐 次对称, 我们以三个变量的情形为例来说明, 若对于任意非零实数λ, 有 f( λ x, λ y, λ z) ≡ λ n f( x, y, z) , 则称表达式f( x, y, z) 是n 次 8 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2 0 2 3年1月 全科互知