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■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 2 0 2 2 年 高 考 数 学 全 国 卷 计 数 原 理 内 容 的命题, 遵循《 普通高中数学课程标准( 2 0 1 7 年版, 2 0 2 0 年 修 订) 》 的 基 本 要 求, 贯 彻 德 智 体美劳全面发展教育方针, 落实立德树 人 的 根本任务, 体现高考改革的 总 体 要 求。试 题 凸显强化“ 四基” , 着重本质, 服务选才等整体 特征。 一、强化“四基”、注重本原 2 0 2 2年高考全国卷中计数原理的命题, 注重考查内容全面性的同时, 突出对主干、 重 点内容及“ 四基” 的考查; 强化基础知识、 基本 概念、 基本原理及其之间的内在联系; 对于试 题的解答更加注重本原性的方法、 思维, 强化 通性通 法 的 理 解 及 应 用, 淡 化 解 题 的 技 巧。 这些命题特征也都有助于引导同学们形成系 统的学科知识体系, 注重对数学知识的 理 解 和思维能力的培养, 从而夯实基础。 例 1 【 2 0 2 2 年 新 高 考 全 国 Ⅱ 卷 第 5 题】 有甲、 乙、 丙、 丁、 戊 5 名同学站成一排参 加文艺汇演, 若甲不站在两 端, 丙 和 丁 相 邻, 则不同的排列方式共有( ) 。 A. 1 2种 B . 2 4种 C . 3 6种 D. 4 8种 思路点 拨: 思 路 一, 先 利 用 捆 绑 法 处 理 丙、 丁, 再用插空法安排甲; 思路二, 特殊元素 法, 可 先 安 排 甲, 再 安 排 丙、 丁, 也 可 先 安 排 丙、 丁, 再安排甲。 解析: ( 方法一) 先考虑丙和丁相邻 为使丙和丁相 邻, 可 以 把 丙、 丁 绑 定( 其 中2人位置可以交换) 和其余 3 名同学进行 排列, 共有2 ×A 4 4 种排法, 其中甲站在两端的 排法有2 × 2 ×A 3 3 种。因此, 所有的排列方式 有2 ×A 4 4- 2 × 2 ×A 3 3= 2 4 ( 种) 。故选 B 。 ( 方法二) 先考虑丙和丁相邻 先把丙丁捆绑, 看作一个元素, 再连同乙、 戊看成三个元素排列, 有3 ! 种排列方式。为 使甲不在两端, 必须且只需甲在此三个元素的 中间两个位置任选一个位置插入, 有2种插空 方式。注意到丙、 丁两人的顺序可交换, 有2 种排列方式。故这5名同学不同的排列方式 共有3 ! × 2 × 2 = 2 4 ( 种) 。选 B 。 ( 方法三) 先考虑甲, 再分类讨论丙、 丁的 排列方式 如果甲站在正中间, 则丙、 丁位置的选取 方式有2 + 2 =4 ( 种) 。如果甲站在左起第 2 个位置, 丙、 丁只能站在甲的右侧, 则丙、 丁的 排列方式有2 × 2 = 4 ( 种) 。如果甲站在左起 第4个位置, 考虑到对称性, 同上种情况, 则 丙、 丁的 排 列 方 式 有 2×2=4( 种) 。 故 甲、 丙、 丁的排列方式有 4+4+4=1 2( 种) 。接 下来讨论乙和戊的排列方式, 其排列方 式 有 2种。综上, 所 有 的 排 列 方 式 有 1 2×2=2 4 ( 种) 。选 B 。 ( 方法四) 先安排丙、 丁, 再安排甲 若丙和丁有一 人 在 两 端, 丙 和 丁 的 排 法 有2 × 2 = 4 ( 种) , 再安排甲, 甲的排法有2种, 最后排乙和戊, 其排列方式有2种, 故此种分 类的排法有4 × 2 × 2 = 1 6 ( 种) 。若丙和丁都 不在两端, 则乙和戊必须在两端, 乙和戊的排 法有2种, 此时甲、 丙、 丁的排列方式有2 × 2 = 4 ( 种) , 此种分类的排法有4 × 2 = 8 ( 种) 。 综上, 所 有 的 不 同 排 列 方 式 有 1 6+8= 2 4 ( 种) 。选 B 。 试题评析: 本题 选 取 文 艺 汇 演 作 为 生 活 实践情境, 充分体现高考评价体系突出 学 生 德智体 美 劳 全 面 发 展 的 要 求。 本 题 立 足 教 材、 注重基础, 考查两个基本原理及排列数的 计算。本题的解法多样, 准确分类、 正确掌握 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年3月 全科互知
排列数的计算是解题的关键。 二、强化“四能”,着重本质 2 0 2 2年计 数 原 理 高 考 试 题, 在 强 化 “ 四 基” 的同时, 着重对“ 四能” 的考查, 突出对考 生逻辑思维、 运算求解及创新思维等数 学 本 质能力的考查, 也体现出高考对基础性、 综合 性、 应用性和创新性的考查要求。 例 2 【 2 0 2 2年新高考全国 Ⅰ 卷第 1 3 题】 1 -y x ( x+ y) 8 的 展 开 式 中 x 2 y 6 的 系 数为 ( 用数字作答) 。 思 路 点 拨:1 -y x ( x+y) 8 可 整 理 为 ( x+ y) 8-y x ( x+ y) 8, 结合二项展开式的通 项公式求解即可。 解析: 因为 1 -y x ( x+ y) 8=( x+ y) 8- y x ( x+ y) 8, 所以 1 -y x ( x+ y) 8 的展开式 中 含 x 2 y 6 的 项 为 C 6 8 x 2 y 6 - y x C 5 8 x 3 y 5 = - 2 8 x 2 y 6, 即 1 -y x ( x+y) 8 的 展 开 式 中 x 2 y 6 的系数为- 2 8 。 试题评析: 本题 是 对 二 项 展 开 式 中 特 定 项的考查。求二项展开式中 的 特 定 项, 一 般 是化简通项后, 令字母的指数符合要求, 解出 项数k+ 1 , 代回通项即可。对于本题中两个 多项式积的展开式中的特定项问题, 可 结 合 组合思想进行求解, 但要注意适当地运 用 分 类方法, 以免重复或遗漏。本 题 着 重 考 查 同 学们的逻辑推理、 运算求解等关键能力, 符合 高考评价体系对基础性、 应用性、 综合性的考 查要求。 三、落实素养,服务选才 2 0 2 2年 计 数 原 理 的 高 考 命 题, 在 强 化 “ 四基” 、 “ 四能” 的同时, 也体现了高考命题从 “ 知识立意” 到“ 能力立意” , 再到“ 素养导向” , 从“ 解题” 到“ 解决问题” 的变化; 在深入考查 关键能力的同时, 聚焦学科核心素养, 服务高 考的选才功能。 例 3 【 2 0 2 2 年 新 高 考 全 国 Ⅰ 卷 第 5 题】 从2至8 这 7 个整数中随机取 2 个不同 的数, 则这2个数互质的概率为( ) 。 A. 1 6 B . 1 3 C . 1 2 D. 2 3 思路点拨: 由古 典 概 型 概 率 公 式 结 合 组 合、 列举法即可得解。 解析: 方法一: 从2至8这7个整数中随 机取2个不同的数, 取法总数为 C 2 7= 2 1 。其 中2个数互质的情况为{ 2 , 3 } , { 2 , 5 } , { 2 , 7 } , { 3 , 4 } , { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 3 , 8 } , { 4 , 5 } , { 4 , 7 } , { 5 , 6 } , { 5 , 7 } , { 5 , 8 } , { 6 , 7 } , { 7 , 8 } , 取法总数 是1 4 。 因此, 从 2 至 8 这 7 个 整 数 中 随 机 取 2 个不同的数, 这2个数互质的概率为1 4 2 1=2 3。 故选 D。 方法二: 从2至8这7个整数中随机取2 个不同的数, 取法总数为 C 2 7= 2 1 。 其中2个数互质的情况共1 4种, 分类计 数如下: 与2互 质 的, 为 7 个 数 中 的 奇 数, 共 有 3个; 与3互质且大于3的, 为4至8中除去3 的倍数的数, 共有4个; 与4互质且大于 4 的, 为 5 至 8 中的奇 数, 共有2个; 与5 互 质 且 大 于 5 的, 为 6 至 8 , 共 有 3个; 与6互质且大于6的, 有1个; 与7互质且大于7的, 有1个。 因此, 这 2 个 数 互 质 的 概 率 为1 4 2 1= 2 3。 故选 D。 方法三: 从2至8这7个整数中随机取2 个不同的数, 共有 C 2 7= 2 1 ( 种) 不同的取法。 若两数 不 互 质, 不 同 的 取 法 有: ( 2 , 4 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 6 ) , ( 4 , 8 ) , ( 6 , 8 ) , 共 7种。 故所求概率 P= 2 1 - 7 2 1 =2 3。选 D。 试题评析: 本题 以 简 单 的 古 典 概 型 问 题 为依托, 既考查考生对互质概念的理解, 又考 查计数、 古典概型的基本计 算。从 7 个 整 数 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年3月 全科互知
中随机取 2 个不同的数的取法总数, 既可以 用组合数公式计算, 也可以直接通过枚 举 得 到; 解题时, 同学们需了解互 质 的 含 义, 并 准 确枚举 2 个互质的取法总数, 做到不重复不 遗漏。本题考查同学们逻辑思维能力和运算 求解能力, 考查大家逻辑推理的学科素养, 符 合高考对基础性考查的要求。 例 4 【 2 0 2 2 年 全 国 甲 卷 理 数 第 1 5 题】 从正方体的8个顶点中任选4个, 则这4 个点在同一个平面的概率为 。 思路点拨: 根据 古 典 概 型 的 概 率 公 式 及 空间几何体的知识解答即可。 解析: 方法一: 从正方体的8个顶点中任 选4个, 共有 C 4 8= 7 0 ( 种) 方法。 若这4个点在同一个平面, 有两种情况: 一是这4个点同在正方体的一个表面, 共有6 种情况; 二是这 4 个点同在正方体的一个对 角面( 面对角线与垂直于这个面的两条平行 棱构成的平面) , 也有6种情况。 从而这个4点在同一平面的概率为6 + 6 7 0 =6 3 5 。 方法二: 从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 选 4 个, 共有 C 4 8= 7 0 ( 种) 方法。 若这 4 个 点 在 同 一 个 平 面, 当 且 仅 当 4 个点构成正方体的2条平行棱。正方体相互 平行的2条棱共有 3×C 2 4=1 8 ( 组) , 故有 1 8 个平面, 但正方体每个表面上 2 组平行的对 棱构成一个平面, 这样有6个平面重复计数。 从而 这 4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为 1 8 - 6 7 0 =6 3 5 。 试题评析: 本题 是 以 同 学 们 熟 悉 的 正 方 体和古典概型为背景设计问题, 大家可 通 过 空间想象和相关的概率知识求解; 本题 注 重 对基础知识的理解与灵活运用, 考查同 学 们 的逻辑思维能力和空间想象能力。 本题能够给大 家 广 阔 的 思 考 空 间、 更 多 的思考角度及基于自己认知水平的发现和探 索解题的方法, 符合高考对基础性、 综合性的 考查要求。 以上的命题特征都有利于同学们学科核 心 素 养 的 养 成, 也 有 利 于 高 考 选 拔 功 能 的 落实。 真题演练: 1 . 【 2 0 2 2年北 京 卷 第 8 题】 若 ( 2 x-1 ) 4 = a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x +a 0, 则 a 0 + a 2+ a 4=( ) 。 A. 4 0 B . 4 1 C . - 4 0 D. - 4 1 答案: B 解析: 令x=1 , 则a 4+ a 3+ a 2+ a 1+ a 0 = 1 。 令x= -1 , 则 a 4 -a 3 +a 2 -a 1 +a 0 = ( - 3 ) 4= 8 1 。 故a 4+ a 2+ a 0= 1 + 8 1 2 = 4 1 。选 B 。 2 . 【 2 0 2 2年浙江卷第1 2题】 已知多项式 ( x+2 ) ( x-1 ) 4= a 0+ a 1 x+ a 2 x 2+ a 3 x 3+ a 4 x 4+ a 5 x 5, 则a 2= , a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5= 。 答案: 8 - 2 解析: 含x 2 的项为: x·C 3 4 ·x · ( -1) 3 +2·C 2 4 ·x 2 · ( - 1 ) 2=- 4 x 2+ 1 2 x 2= 8 x 2。 故a 2= 8 。 令x= 0 , 则a 0= 2 。 令x= 1 , 则0 = a 0+ a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5, 故a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5=- 2 。 3 . 【 2 0 2 2年天津卷第 1 1 题】 x + 3 x 2 5 的展开式中的常数项为 。 答案: 1 5 解析: 由题意知 x + 3 x 2 5 的展开式的 通项 为 T r+1=C r 5·(x ) 5 - r · 3 x 2 r =C r 5· 3 r· x 5 -5 r 2 。 令 5 - 5 r 2 = 0 , 则r= 1 , 故 C r 5· 3 r=C 1 5· 3 = 1 5 。 所以 x + 3 x 2 5 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为1 5 。 ( 责任编辑 徐利杰) 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年3月 全科互知
应用两个计数原理解决问题的方法和策略 ■河南省郑州市教育局教学研究室 冯瑞先 ■河南省郑州市第二高级中学 冯丽娟 当我们面对一个复杂问题时, 一般通过 分类或分步将它分解成一些简单的问 题, 先 解决简单问题, 然后再将它们整合起来 使 整 个问题得到解答, 达到以简驭繁的效果, 这是 一种重要而基本的思想方法。两个计数原理 就是这种思想方法的体现, 分类加法计 数 原 理对应着“ 分类” 活动, 而且每一类方法都能 完成相应的事情; 分步乘法计数原理对应着 “ 分步” 活动, 而且只有完成每一个步骤才能 完成相应的事情。排列、 组合 是 两 类 特 殊 的 计数问题, 排列的特殊性在于排列中元 素 的 “ 互异性” 和“ 有序性” , 组合的特殊性在于它 只有元素的“ 互异性” 而不需要考虑顺序。排 列与组合之间有紧密的联系, 从n 个不同元 素中取出 m( m< n) 个元素的组合可以看成 是相应排列的一个步骤。解决计数问题首先 需要理解和掌握基本原理及其本质, 其 次 需 要从模型化的角度对问题进行理解和化归。 下面从三个角度介绍应用计数原理解决 问题的方法和策略。 一、用“五步自问法”构建计数问题的应 用路径 在初学阶段应 用 计 数 原 理 解 决 问 题 时, 一定要构建五步自问路径: ( 1 ) 要完成的这件 事情是什么? ( 2 ) 完成这件事情分几类( 步) ? ( 3 ) 每步能否独立完成这件事情? ( 4 ) 每步中 分别有几种 不 同 的 方 法? ( 5 ) 完 成 这 件 事 情 共有几种不同的方法? 同学们的五步自问实 质上是树立仔细审题的意识, 有助于认 识 计 数原理中“ 分类” “ 分步” 的本质, 避免计数时 重复与遗漏。 二、将“列举法”作为分析和解决计数问 题的基本方法 求解计数问题 时, 我 们 需 要 先 列 举 出 一 些结果进行分析, 从而找到 一 般 思 路。如 果 遇到情况 较 为 复 杂, 即 分 类 较 多, 标 准 也 较 多, 同时所求计数的结果不太大时, 就利用表 格、 树状图将其所有可能一一列举出来, 会达 到出奇制胜的效果。 图1 例 1 [ 2 0 2 0 年全国Ⅱ卷( 文数) ] 如图1 , 将钢琴上的 1 2 个 键 依 次 记 为 a 1, a 2, …, a 1 2。设1 ≤ i< j< k≤1 2 , 若 k- j= 3 , 且j- i= 4 , 则称a i, a j, a k 为原位 大三和弦; 若k- j= 4 , 且j- i= 3 , 则称a i, a j, a k 为原位小三和弦。用这1 2个键可以构 成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之 和为( ) 。 A. 5 B . 8 C . 1 0 D. 1 5 解析: 本题是计数原理在音乐中的应用, 我们先要理解原位大三和弦、 原位小三 和 弦 的数学定义, 实质是在 1 到 1 2 这 1 2 个整数 中选取三个不同的整数 k、 j、 i , 其中k 最大, i最小。原位大三和弦满足k- j= 3 , j- i= 4 , 即k- i=7 , 可以列举 出 所 有k、 j、 i 的 取 值, 我们可以从最小数i 分析, i 的取值可以 为1 、 2 、 3 、 4 、 5 , 所以这1 2个数构成的原位大 三和弦的情况有: i = 1 , j= 5 , k= 8 ; i= 2 , j= 6 , k=9 ; i= 3 , j= 7 , k= 1 0 ; i= 4 , j= 8 , k= 1 1 ; i= 5 , j= 9 , k= 1 2 。共5种。 同理, 原位小三和弦满足k- j= 4 , j- i = 3 , 即k- i = 7 , 这1 2个数构成的原位小三 和弦的情况有: i = 1 , j= 4 , k= 8 ; i= 2 , j= 5 , k=9 ; i= 3 , j= 6 , k= 1 0 ; i= 4 , j= 7 , k= 1 1 ; i= 5 , j= 8 , k= 1 2 。共5种。 所以原位大三和弦与原位小三和弦的个 数之和为1 0 , 故选 C 。 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年3月 全科互知
三、用模型化思想思考问题,掌握典型问 题的技巧解法 常见计数问题, 都 可 以 化 归 为 元 素 和 位 置的对应关系问题, 对于一些复杂的计 数 问 题, 同学们要掌握思考问题和解决问题 的 方 法策略, 从实际背景中抽象出数学问题, 从元 素和位置的角度模型化理解问题。 模型 1 : 有 限 制 条 件 的 排 列 问 题— — —特 殊优先法。 限制条件一般指题中的特殊元素或者特 殊位置, 所以可以从优先安排特殊元素 或 特 殊位置两种角度解题。 例 2 从6名运动员中选出4名队员 参加4 ×1 0 0 米接力赛, 如果甲、 乙两人都不 跑第一棒, 那么不同的参赛方案有( ) 。 A. 1 8 0种 B . 2 4 0种 C . 3 0 0种 D. 3 6 0种 解析: 本例元素多位置少, 利用先选后排 的解题思路, 可以从特殊元素或特殊位 置 两 种角度思考问题。 方法一( 元素分析法) : 可根据甲、 乙均不 参加; 或甲、 乙中至少有1人参加分成三类。 ( 1 ) 甲、 乙 都 不 参 加, 有 A 4 4 =2 4( 种) 方 法; ( 2 ) 甲、 乙 仅 有 1 人 参 加, 有 C 1 2C 1 3A 3 4 = 1 4 4 ( 种) 方法; ( 3 ) 甲、 乙都参加有 A 2 3A 2 4= 7 2 ( 种) 方法。 由分类计 数 原 理, 可 得 共 有 2 4+1 4 4+ 7 2 = 2 4 0 ( 种) 方法, 选 B 。 方法二( 位置分析法) : 本 题 中 的 特 殊 位 置是第一棒, 所以可以先排第一棒这个位置, 再排其他位置。 第一步: 排第一棒, 有4人可选, 有 C 1 4 种 排法; 第二步: 排其他三棒, 在剩余的5个元素 中选取3个元素排3个位置, 有 A 3 5 种排法。 由分步计 数 原 理 知, 共 C 1 4A 3 5 =2 4 0( 种) 方法, 选 B 。 模型2 : 相邻问题— — —捆绑法。 例 3 用1 , 2 , 3 , 4 , 5这5个数字组成 没有重复数字的五位数, 其中2和3相邻的 五位偶数有多少个? 解析: 由于偶数的个位可以排2或4 , 所 以根据个位数字分成两类。 表1 × × × 3 2 ①若2在个位, 此时3在十位, 只需用1 , 4 , 5这3个数排其他3个位置, 这样的五位数 有 A 3 3= 6 ( 个) 。 ②若4在个位, 此时2 , 3相邻, 需要分两 步完成, 第一步把2 , 3捆绑, 有 A 2 2 种排法, 第 二步就相当于3个元素排3个位置, 有 A 3 3 种 排法, 所以这样的五位数有 A 2 2A 3 3= 1 2 ( 个) 。 表2 × × × × 4 由 分 类 计 数 原 理 知, 共 有 6+1 2=1 8 ( 个) 满足条件的五位数。 模型3 : 不相邻问题— — —插空法。 例 4 现有4名男同学, 3名女同学站 成一排, 任何2名女同学彼此不相邻, 有多少 种不同的排法? 解析: 用插空法处理问题时, 需要插空的 元素一般都是最后一步排, 体现分步原理。 第一步先将男生排好, 共有 A 4 4 种排法, 第二步再在这4名男生中间及两头的5个空 位中插入3个女生, 有 A 3 5 种排法, 故由分步 计数原理知, 有 A 4 4A 3 5= 1 4 4 0 ( 种) 不同排法。 模型4 : 定序问题— — —消序法。 例 5 书架上原来摆放着6本书, 现要 再插入3本书, 则不同插法的种数为( ) 。 A. A 3 7 B . A 4 4 C . 9 × 8 × 7 D. 2 A 3 3 解析: ( 方法一) 9本书排成一排有 A 9 9 种 排法, 包含原来的6本书产生的 A 6 6 种排法, 由于原来的 6 本 书 已 经 摆 放 好, 故 可 以 从 9 本书的全排列结果中消去原来6本书的排法 数, 即符合题意的插法种数为A 9 9 A 6 6 = 9 × 8 × 7 , 选 C 。 此种解法是定 序 问 题 的 一 般 处 理 思 路, 此题还可以从以下两种角度解决。 ( 方法 二) 9 本 书 排 成 一 排, 相 当 于 9 个 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年3月 全科互知
位置, 原来6本书顺序不变, 故此题相当于在 9个位置中选3个位置排3本书, 有 A 3 9 种排 法, 而原来 的 6 本 书 只 有 一 种 排 法, 故 共 有 A 3 9× 1 =A 3 9= 9 × 8 × 7 ( 种) 方法。 ( 方法三) 因为要插入 3 本 书, 故 分 三 步 完成: 第一步, 插第一本书有 7 种方法; 第二 步, 插第二本书, 有8种方法; 第三步, 插第三 本书, 有9种方法。由分步计数原理知, 共有 7 × 8 × 9种方法。 模型5 : 至多至少问题— — —间接法。 例 6 3个女生和5个男生排成一排, 如果两端不能都排女生, 那么有多少种 不 同 的排法? 解析: 本例中“ 两端不能都 排 女 生” 的 意 思是“ 两端至少有一个男生” , 我们可以根据 两端所排人员是男生还是女生进行分 类, 因 此就有了第一种解法— — —直接法。也可以先 不考虑限制条件, 把所有的排列数算出, 再从 中排除全部不符合条件的排列数, 即减去“ 两 端都排女生的排列数” , 这种方法实际是对所 求解问题的等价转化, 我们称为“ 间接法” , 也 称为 “ 去 杂 法” 。一 般 直 接 法 分 类 比 较 麻 烦 时, 可以考虑间接法, 但必须注意去杂时要不 重复, 不遗漏。 方法一 ( 直 接 法) : ① 如 果 首 位 排 了 男 生, 则末 位 就 不 再 受 条 件 限 制 了, 这 样 可 有 A 1 5·A 7 7 种不同的排法; ② 如果首位排女生, 有 A 1 3 种排法, 这时 末位就 只 能 排 男 生, 这 样 可 有 A 1 3 ·A 1 5 ·A 6 6 种不同的排法。 因此, 共 有 A 1 5 · A 7 7 + A 1 3 · A 1 5 · A 6 6 = 3 6 0 0 0 ( 种) 不同的排法。 方法 二 ( 间 接 法) : 3 个 女 生 和 5 个 男 生 排成一排有 A 8 8 种排法, 从中减去两端都是女 生的排法有 A 2 3·A 6 6 种, 就能得到两端不都是 女生的排 法 种 数, 因 此 共 有 A 8 8 -A 2 3 ·A 6 6 = 3 6 0 0 0 ( 种) 不同的排法。 模型6 : 分配问题— — —先组后排法。 命题角度① 不同元素的分组、 分配问题 例 7 有6本不同的书, 分为3组, 问: 在下列条件下各有多少种不同的分组方法? ( 1 ) 每组2本; ( 2 ) 一组1本, 一组2本, 一组3本; ( 3 ) 一组4本, 另外两组各1本。 解析: 本题属于分组问题, 其中第一问是 平均分组, 第二问是不平均分组, 第三问是局 部平均分组。 ( 1 ) 有 同 学 这 样 想, 6 本 书 分 成 3 组, 每 组2本就是从6个不同元素中依次选出2个 元素, 需要分三步完成: 第一步, 从 6 本中选 出2本; 第二步, 从剩余4本中选出 2 本; 第 三步, 把剩余 2 本拿出来。由 分 步 计 数 原 理 知, 有 C 2 6C 2 4C 2 2 种方法。 C 2 6C 2 4C 2 2 是不是 6 本 书 平 均 分 成 3 组 的 结果数呢? 我们列举出 C 2 6C 2 4C 2 2 所 表 示 的 分 组中的部分结果, 进行分析。 设6本不同的书为a, b, c, d, e, f, 将它 们平均分 成 3 组 中 有 一 种 分 组 结 果 为: a b, c d, e f。在 C 2 6C 2 4C 2 2 进行分组的过程中, 我们 发现包 含 了a b, c d, e f; c d, a b, e f; e f, c d, a b; a b, e f, c d; c d, e f, a b; e f, a b, c d 六 种 结果。这六种结果实际是一 种 分 组 结 果, 它 们是由a b, c d, e f 这三个组合结果因选取出 的顺序不同而产生, 所以 C 2 6C 2 4C 2 2 中包含了一 种分组结果的 A 3 3 种排列数, 应该 从 C 2 6C 2 4C 2 2 的选取结果中消去同一分组中3组元素的顺 序不同产生 的 结 果, 故 将 6 本 书 平 均 分 成 3 组的方法有C 2 6C 2 4C 2 2 A 3 3 = 1 5 ( 种) 。 以上解题过程可以归纳为将几个不同元 素的平均分组过程, 平均分为 m 组需要在分 步选取的基础上除以 A m m 。 ( 2 ) 一组 1 本, 一组 2 本, 一组 3 本的分 组就是分三 步 选 取, 共 有 C 3 6C 2 3C 1 1 =2 0×3= 6 0 ( 种) 方法。 ( 3 ) 方法一: 一组 4 本, 另 外 两 组 各 1 本 的分组仍然理解为分三步完成, 由于其 中 有 两组的数目是相同的, 我们称这类问题 为 局 部平均分组, 需要在 C 4 6C 1 2C 1 1 的选取结果上除 以 A 2 2, 消去平均分的 2 组的不同顺序结 果, 所以分组方法有C 4 6C 1 2C 1 1 A 2 2 = 1 5 × 2 2 = 1 5 ( 种) 。 方法二: 本题由于其中两组都是1本, 即 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年3月 全科互知