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■广东省汕头市澄海中学 陈焕涛 圆锥曲线中的定点问题反映了圆锥曲线 中的变化与不变的规律, 是圆锥曲线存 在 的 “ 优美” 性质, 该类问题的求解能很好地考查 用代数方法解决几何问题, 凸显了解析 几 何 的本质, 同时能很好地考查同学们分析问题、 解决问题的能力, 考查逻辑推理和数学 运 算 等核心素养。因此, 圆锥曲线 中 的 定 点 问 题 成为近年来高考全国卷考查的热点问 题, 也 是全国各地模拟考试考查的热点问题。圆锥 曲线中的定点问题一般有: “ 灯泡” 弦过定点 问题; 相交弦过定点问题; 切点弦过定点问题 等。下面结合实例分析圆锥曲线中的定点问 题的类型及相应的求解思路, 目的是帮 助 同 学们梳理圆锥曲线中的定点问题的考查思路 及该类问题的求解思路, 提高同学们应 对 此 类问题的能力, 从而提高高考竞争力。 一、“灯泡”弦过定点问题 例 1 已知动圆 C 经过点F( 1 , 0 ) , 且 与直线x=-1 相 切, 记 动 圆 C 的 圆 心 的 轨 迹为曲线E。 ( 1 ) 求曲线 E 的方程。 ( 2 ) 已知 P( 4 , y 0) ( y 0>0 ) 是 曲 线 E 上 一点, A, B 是 曲 线E 上 异 于 点 P 的 两 个 动 点, 设直线 P A, P B 的倾斜角分别为α, β, 且 α+ β=3 π 4 。请 问: 直 线 A B 是 否 经 过 定 点? 若是, 请求出该定点; 若不是, 请说明理由。 解析: ( 1 ) 设动圆C 的圆心为 ( x, y) , 依 题意 得 ( x- 1 ) 2+ y 2 =| x+1 | , 化 简 可 得 y 2= 4 x, 即曲线 E 的方程为y 2= 4 x。 ( 2 ) 因为 P( 4 , y 0) ( y 0>0 ) 是 曲 线 E 上 一点, 所以y 2 0= 4×4=1 6 , 所以y 0=4 , 所以 P( 4 , 4 ) 。 当α, β 中有一个为π 2时, 不妨设α= π 4, 则β=π 2, 此时B( 4 , - 4 ) , 直线P A 的方程为 y= x, 联 立 y 2= 4 x, y= x, 解 得 A ( 0 , 0 ) , 故 直 线 A B 方程为x+ y= 0 。 当α, β 都不 为 π 2 时, 设 直 线 P A, P B 的 斜率分别为k 1, k 2, 设A y 2 1 4, y 1 , B y 2 2 4, y 2 , 所以k 1 = y 1- 4 1 4 y 2 1- 4 = 4 y 1+ 4 , 同 理 可 得 k 2 = 4 y 2+ 4 。 因为α+ β=3 π 4 , 所以t a n ( α+ β) = -1 , 所以t a n α+ t a n β 1 - t a n α t a n β= -1 , 即 k 1+ k 2 1 - k 1 k 2 = -1 , 化简 整 理 得 k 1 +k 2 -k 1 k 2 +1=0 , 所 以 4 y 1+ 4 + 4 y 2+ 4- 4 y 1+ 4× 4 y 2+ 4+1=0 , 即 8 ( y 1+ y 2) + y 1 y 2+ 3 2 = 0 。 依题意可设直线 A B 的方程为x= t y+ n, 联立 y 2= 4 x, x= t y+ n, 消去x 整理得y 2- 4 t y- 4 n= 0 , 所以Δ= 1 6 t 2+ 1 6 n> 0 , y 1+ y 2= 4 t , y 1 y 2=- 4 n。 所以8 ( y 1+y 2) +y 1 y 2+3 2=3 2 t-4 n + 3 2 = 0 , 即n= 8 t + 8 , 所以x= t y+ n= t y+ 8 t + 8 = t ( y+ 8 ) + 8 。 令y+ 8 = 0 , 得y=- 8 , x= 8 , 所以直线 A B 经过定点Q( 8 , - 8 ) 。 评注: 设圆锥曲线上的一定点 P, 过点 P 作直线P A, P B, 分别交圆锥曲线于 A, B 两 点, 我们把弦 A B 叫做“ 灯泡” 弦。“ 灯泡” 弦 有这样一个结论“ 当直线 P A, P B 的倾斜角 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年4月 全科互知 

综上所述, 直线 MN 过定点 3 , 0 。 评注: 本题的求解思路是: 首先由题意可 知直线l 1, l 2 的斜率都存在且不为0 , 因此可 设l 1: y= k x- 2 , 将 其 与 双 曲 线 方 程 联 立 消元后, 求出x M = 1 2 x 1+ x 2 , 代入直线l 1 的方程可得y M , 即可得点 M 的坐标, 同理可 得点 N 的坐标, 进而可得直线 MN 的方程, 即可得直线所过的定点。同时还需要注意验 证二次项系数为0和直线l 1, l 2 中一个斜率 不存在, 一个斜率为 0 两种情况是否过该定 点即可。本题的整个求解过 程 中, 联 立 直 线 与双曲线的方程求点 M , N 的坐标并求直线 MN 的方程最关键, 在此过程中, 非常考验同 学们的运算求解能力, 因此, 希望同学们在平 时的学习过程中要将运算求解进行到底。 三、切点弦过定点问题 例 3 已 知 双 曲 线 C: x 2 a 2 -y 2 b 2 =1 a> 0 , b> 0 的两个焦点为F 1, F 2, 一条渐近 线方程为y= b x b∈N * , 且双曲线 C 经过 点D 2, 1 。 ( 1 ) 求双曲线C 的方程; ( 2 ) 设点 P 在直线x=m( y≠ ±m, 0< m< 1 , 且 m 是 常 数) 上, 过 点 P 作 双 曲 线C 的两条切线 P A, P B, 切 点 为 A, B, 求 证: 直 线 A B 过某一个定点。 解析: ( 1 ) 依 题 意 可 得 b a = b, 2 a 2-1 b 2= 1 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 解 得 a= 1 , b=1 , 所 以 双 曲 线 C 的 方 程 为 x 2 - y 2= 1 。 ( 2 ) 设 A x 1, y 1 , B x 2, y 2 , P A 的 斜 率为k, 则 P A: y- y 1= k x- x 1 , 联立方程 y- y 1= k x- x 1 , x 2- y 2= 1 , 消 去 y 整 理 得 x 2 - k x+ - k x 1+ y 1 2=1 , 化 简 得 ( 1 - k 2) x 2 - 2 k y 1- k x 1 x- y 1- k x 1 2- 1 = 0 。 因为 P A 与双曲线相切, 所以 Δ= 4 k 2· y 1- k x 1 2 +4 1 - k 2 y 1- k x 1 2 +4· 1 - k 2 =0 , 即 4 y 1- k x 1 2 +4 1 - k 2 = 0 , 即 k 2 x 2 1 -2 k x 1 y 1 +y 2 1 +1-k 2 =0 , 即 x 2 1- 1 k 2- 2 k x 1 y 1+ y 2 1+ 1 = 0 。 因为x 2 1- y 2 1= 1 , 所以x 2 1- 1 = y 2 1, y 2 1+ 1 = x 2 1, 代 入 可 得 y 2 1 k 2 -2 x 1 y 1 k+x 2 1 =0 , 即 y 1 k- x 1 2= 0 , 即k= x 1 y 1 。 所以 切 线 P A 的 方 程 为y-y 1 =x 1 y 1 · x- x 1 ? y 1 y= x 1 x- 1 。 同理, 切线 P B 的方程为y 2 y= x 2 x- 1 。 因为点 P m, y 0 在切线 P A, P B 上, 所 以 y 0 y 1=m x 1- 1 , y 0 y 2=m x 2- 1 , 所以切点 A, B 满足直线 方程y 0 y=m x-1 , 而 两 点 唯 一 确 定 一 条 直 线, 所以直线 A B 的方程为y 0 y=m x- 1 , 所 以当 x=1 m , y= 0 时, 无 论 y 0 为 何 值, 等 式 均 成 立。 所以点 1 m , 0 恒在直线 A B 上, 故无 论 P 在何处, A B 恒过定点 1 m , 0 。 评注: 第( 1 ) 题很容易, 只 要 列 出 相 应 方 程 并 求 解 即 可; 第 ( 2) 题 先 设 A x 1, y 1 , B x 2, y 2 , 并 设 直 线 P A, P B 的 方 程, 再 与 双曲线的方程联立, 由直线与双曲线相切, 判 别式 等 于 零, 即 可 求 得 直 线 P A 的 方 程 为 y 1 y= x 1 x- 1 , P B 的方程为y 2 y=x 2 x-1 , 进而得到直 线 A B: y 0 y=m x-1 , 所 以 直 线 A B 恒过定点 1 m , 0 。此类问题的求解思路 简单, 但需要大家熟练掌握。 解答圆锥曲线中的定点问题可以很好地 考查同学们的数学综合能 力。因 此, 同 学 们 在平时的学习过程中, 面对圆锥曲线中 的 定 点问题 时 可 以 按 照 上 面 梳 理 好 的 三 类 问 题 ( “ 灯泡” 弦、 相交弦、 切点弦过定点问题) , 逐 一深入研 究, 掌 握 问 题 的 本 质, 优 化 运 算 过 程, 并有规划地提升运算求解、 推理论证等能 力, 只有这样, 方能在高考中 胜 出, 考 入 自 己 理想的高校。 ( 责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年4月 全科互知 

综上所得, | P F 2 | | A B |为定值1 4。 评注: 由于直线 A B 经过定点, 因此在写 其方程时只 有 一 个 参 数 ( 斜 率k) , 由 弦 长 公 式即可用参数k 表示线段A B, 又线段A B 的 垂直平分线的斜率为 - 1 k , 故也可 用 参 数k 表示线段 P F 2 , 此时只需对 线 段 之 比 化 简 即可得到结论。本题求解的关键是在写直线 方程和用参数k 表示线段的过程中, 需要讨 论斜率k 是否为零。 二、线段之积为定值 线段之积为定值问题的求解原理与线段 之比为定值问题的求解原理基本一样。 例 2 已 知 椭 圆 C: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a> b> 0 的左顶 点 和 下 顶 点 分 别 为 A, B, | A B | = 2 5, 过椭圆C 的焦点且与长轴垂直 的弦长为2 。 ( 1 ) 求椭圆C 的方程; ( 2 ) 已知 M 为椭圆C 上一动点( M 不与 A, B 重合) , 直线 AM 与y 轴交于点P, 直线 B M 与x 轴交于点Q, 证明: | A Q | · | B P | 为 定值。 解析: ( 1 ) 由题意可知 a 2+ b 2= 2 0 , 2 b 2 a = 2 , 解得 a= 4 , b= 2 , 所以椭圆C 的方程为 x 2 1 6 + y 2 4= 1 。 ( 2 ) 由 题 意 及 ( 1 ) 知 A ( -4 , 0) , B ( 0 , - 2 ) , 设 M x 0, y 0 , P 0 , y P , Q x Q , 0 , 因 为 M 在椭圆C 上, 所以x 2 0+ 4 y 2 0= 1 6 , 由 A, P, M 三 点 共 线 得y P 4 = y 0 x 0+ 4 , 即 y P = 4 y 0 x 0+ 4 , 同理可得x Q = 2 x 0 y 0+ 2 。 所以 | A Q |·| B P |=| x Q +4 |·| y P + 2 | = 2 x 0+ 4 y 0+ 8 x 0+ 4 · 2 x 0+ 4 y 0+ 8 y 0+ 2 = 4x 2 0+ 4 y 2 0+ 1 6 + 4 x 0 y 0+ 8 x 0+ 1 6 y 0 x 0+ 4 y 0+ 2 = 43 2 + 4 x 0 y 0+ 8 x 0+ 1 6 y 0 x 0+ 4 y 0+ 2 = 1 6 。 所以 | A Q | · | B P | 为定值1 6 。 评注: 本 题 求 解 时, 先 设 点 M x 0, y 0 , 然后用三点共线原理顺利实现 用 点 M 的 坐 标表示线段 | A Q |与线段| B P | , 此题化简过 程显得尤为关键, 最后一步还需要由点 M 在 椭圆上 得x 2 0 +4 y 2 0 =1 6 , 并 将 其 代 入 代 数 式 进行化简。 三、直线斜率运算为定值 直线斜 率 运 算 包 括 加 减 运 算 和 乘 除 运 算, 直线斜率运算为定值问题反映两条 直 线 在运动过程中其斜率运算满足某个特殊的关 系式。 例 3 已 知 椭 圆 E: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a> b> 0 的离心率为 3 2 , 短轴长为2 。 ( 1 ) 求椭圆 E 的方程; ( 2 ) 过 点 M - 4 , 0 且 斜 率 不 为 0 的 直 线l与E 自左向右依次交于点B, C, 点 N 在 线段 B C 上, 且 M B M C = N B N C , P 为 线 段 B C 的 中 点, 记 直 线 O P, O N 的 斜 率 分 别 为 k 1, k 2, 求证: k 1 k 2 为定值。 解析: ( 1 ) 由题意及椭圆的性质可知c a = 3 2 , 2 b= 2 , 则1 - b 2 a 2=3 4, 所以a 2= 4 , 故椭 圆 E 的方程为 x 2 4+ y 2= 1 。 ( 2 ) 由题意可知直线l 的斜率一定存在, 故设直线l的方程为y= k( x+ 4 ) , 设 B( x 1, y 1) , C( x 2, y 2) , N ( x 3, y 3) , P( x 0, y 0) , 联立 x 2 4 + y 2= 1 , y= k( x+ 4 ) , 消去y 整 理 得( 4 k 2+1 ) x 2+ 3 2 k 2 x+ 6 4 k 2- 4 =0 , 由 Δ=1 6 ( 1-1 2 k 2) > 0 , 得0 < k 2<1 1 2 , 所以x 1+ x 2=- 3 2 k 2 4 k 2+ 1 , x 1 x 2 = 6 4 k 2- 4 4 k 2+ 1 , 所以x 0=- 1 6 k 2 4 k 2+ 1 , y 0= k( x 0+ 4 ) = 4 k 4 k 2+ 1 , 所 以 P - 1 6 k 2 4 k 2+ 1 , 4 k 4 k 2+ 1 。 因 为 M B M C = N B N C ,所 以 x 1+ 4 x 2+ 4 = x 3- x 1 x 2- x 3 , 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 3年4月 全科互知