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编 者 按: 来 自 本 刊 顾 问 学 校 和 稿 源 基地 的 洛 阳 一 高 的 赵 宸 一 同 学 参 加 2 0 2 2年 高 考, 总 分 7 0 9 分, 是 河 南 省 理 科考得比较好的考生。他的高中生活是 不是一 帆 风 顺 的? 他 是 否 经 历 过 挫 折? 他遇到了挫折是怎么办的? 他高中与老 师同学 相 处 的 怎 样? 风 雨 过 后 是 彩 虹, 遇到挫折 并 不 可 怕, 阳 光 乐 观 才 能 行 得 更远, 快来看看赵宸一同学高中与挫折的“ 你来我往” 吧。 我与挫折的“你来我往” — — — 2 0 2 2年河南省高考理科考得比较好的同学谈高中学习心得 ■ 2 0 2 2届清华大学新生 赵宸一 我 是 洛 阳 一 高 2 0 2 2 年 清 北 一 班 毕 业生赵宸一, 很高兴 有这样的机会, 和朋 友 们 谈 谈 我 在 高 中 学 习 阶 段 与 挫 折 的 “ 你来我往” 。 挫 折,无 处 不 在! 从小 处 看, 上 课 时 打 盹 了 跑 神 了, 是 挫 折; 一个知识点没搞明白, 是 挫 折; 一 天 的 作 业没有完成, 是挫折。稍微放大一些看, 一次 考试失误了考砸了, 是挫折; 一个重要的机会 没有把握住, 是挫折。挫折, 天生就伴随着遗 憾、 悔恨而生, 如同黑暗中恣意生长的荆棘。 关于小的挫折, 我 会 想 起 曾 经 的 物 理 作 业。有一次, 一张 卷 子, 八 道 大 题, 有 人 两 个 小时成功做完, 有人一个小时及时止损, 而我 从下午五点到晚上十点, 其他作业硬是 一 个 字没有 写, 却 仍 然 没 有 完 成 这 张 物 理 卷 子。 或许是我太差, 或许是我不适合学物理, 这样 的想法 充 斥 着 我 的 大 脑, 刺 激 着 我 的 神 经。 而这不是一次两次, 在我的记忆中, 拖着沉重 的步伐离开教室的日子很多, 自我质疑, 自我 放弃物理的想法出现过很多次。 可是, 唯有经历了苦难, 才会有面对苦难 的勇气; 唯有经历了打磨, 才能有超越打磨的 能力。我没有选择怀疑我的 恩 师, 我 也 没 有 选择质疑我的能力。我只坚 信, 所 有 我 所 做 的, 都是为了和更好的自己相遇; 所有我所种 下的, 都会在某一天开花结果。当我在未来, 与过去的自己不期而遇; 当我在远方, 和从前 的自己深情相拥, 或许那一个个没有星 星 的 夜晚, 那一次次垂头丧气的失落, 也都有了自 己的归属。 关于比较大的挫折, 高考前的三次考试几 乎让我动摇。洛阳市三练、 最后一次周练、 最 后一次联考, 年级排名前所未有地不断下降。 临近高考, 在这个付出终将有结果的时候, 我 的成绩却在与梦想渐行渐远; 在每个人都在愈 发努力地向未来奔跑的时候, 我却开始怀疑我 为何出发。我开始神经紧张、 心态混乱。也许 是之前顺风顺水, 总感觉明明什么都没做错, 明明比以前更加努力, 考试的成绩却出现连续 的下滑。这不禁让我扪心自问, 我的高三是否 真正努力了? 我是否对得起我的成绩? 师长 的关心, 让我质疑自己, 我是否对得起家长的 养育, 我是否对得起老师们的关怀? 我彻夜难 眠, 想过复读, 也想过高不成低不就地离开; 想 过高考完绝望哭泣的日夜, 也想过高二时因对 自己不满而留下的心理伤痕。 然而, 换一个角度思考, 这也是人生的必 修课。没有谁的人生只有鲜 花 与 掌 声, 到 了 大学我要遇到的困难也许会比这更多。努力 的成果可能会迟到, 但永远 不 会 缺 席。心 态 3 知识篇 走过高考 高二数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知
紧张, 只会让考场上的操作 更 加 畸 形。而 放 下成败, 放下功利心, 感受知识的脉冲在脑中 激荡, 感受友情的温暖在教室中氤氲, 为自己 的自信充电, 或许自己的心灵花园, 又会重新 鸟语花香。 最 终 , 也 许 是“ 积 蓄 运 气” , 也 许 是 心 态 释 然 , 结 果 终 于 没 有 让 人 失 望 。 当 秒 针 宣 告 6 月 8 日 下 午 5 点 整 的 到 来 , 当 6 月 2 5 日 深 夜 0 点 的 钟 声 敲 响 , 一 切 有 言 的 与 无 言 的 积 蓄 , 都 在 未 曾 设 想 的 美 好 结 局 中 喷 发 。 内 心 的 虚 无 缥 缈 、 转 瞬 即 逝 的 情 感 , 转 眼 被 耀 眼 的 光 芒 一 扫 而 空 。 在 洪 流 与 潮 水 中 , 我 未 曾 忘 记 的 , 也 永 远 不 该 忘 记 的 , 是 如 泉 涌 般 的 恩 情 , 是 如 春 风 般 的 关 照 , 在 我 前 行 的 道 路 上 , 承 载 过 去 积 蓄 的 力 量 , 化 作 穿 透 未 来 迷 雾 的 翅 膀 。 我感恩我的母校— — —洛阳一高。我记得 我在升旗广场, 于图书馆之下, 望见旭日初升 于东方; 我记得我在食堂, 畅 饮 一 碗 牛 肉 汤, 观高中人生之匆忙。校园的 教 学 区, 校 园 的 大操场, 旧日曲折的林荫小道, 如今宽敞通达 的承园, 无不承载着青春的 风 貌。我 更 要 感 恩的, 是母校于万难之中, 做 好 疫 情 防 控, 为 我们返校学习保驾护航; 是母校大力引 进 名 师优课, 以他山之石为我们助力; 是母校优化 管理机制, 划分班级层次性强, 大力探索新型 人才培养理念; 是学校排除万难, 推行“ 作业 考试化” , 将一张张“ 色香味” 俱全的考试化作 业送到我们手中。母校在背后为我们付出了 太多, 太多; 而我们只能以更 优 异 的 成 绩, 来 回报母校的付出。 我感恩我 的 老 师 们。在 洛 阳 一 高, 先 后 有2 6位老师带过我的课。有 的 课 堂 热 情 洋 溢, 有的课堂内容充实, 有的 课 堂 生 动 活 泼, 有的课堂互动积极。感恩我情绪崩溃时老师 耐心的疏导, 感念我最后低谷期老师真 诚 的 鼓励, 感恩我孤身一人时老师的陪伴, 感念我 迷茫前 路 时 老 师 清 晰 的 指 点。 没 有 各 位 老 师, 我不可能跨过崇山峻岭, 更不可能到达希 望的彼岸。是老师们在我迷茫时拉我走出泥 潭, 是老师们用阳光照亮我的内心, 是老师们 让我从这里远航。荆棘只会 在 暗 处 生 长, 而 有老师的陪伴, 遍地洒满金色的阳光。 我感恩我 的 同 学 们。我 曾 经 在 2 0 1 9 级 卓越三班学习, 高二暑假被选入新成立 的 清 北一班。同学们给了我温暖, 让 我 找 到 了 一 个集体、 一个大家庭的归属感。 三年时 日, 俯 仰 即 逝。河 广 何 妨? 一 苇 以航。十八载芳 华, 一 朝 怒 放; 三 年 寒 窗, 折 桂扬光。在最好的时光里, 遇见了最好的人, 也遇见了最好的自己。前路 还 会 艰 难, 跋 涉 会日益艰辛, 但不畏挫折, 积 极 向 前, 相 信 终 能在山重水复之时, 开辟出一片柳暗花明! ( 责任编辑 徐利杰) 4 知识篇 走过高考 高二数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知
高考统计概率试题的应对策略 ■福建省泉州市第七中学 彭耿铃 在高考试卷中, 统计与概率模块着重考查: 五个样本频率分布图表即频率分布表、 频率分 布直方图、 柱形图、 折线图、 茎叶图; 四个数字特 征即众数、 中位数、 平均数( 期望) 、 方差与标准 差; 三种统计推断即用样本估计总体、 独立性检 验、 回归分析; 三类事件即互斥事件、 对立事件、 相互独立事件; 两种概型即古典概型、 条件概 型; 三种特殊的分布列及期望即超几何分布、 二 项分布与两点分布、 正态分布。在高考中有实 际生产生活背景的统计应用题一般文字量比较 大, 在考查同学们数据处理能力和应用意识的 同时, 兼顾考查同学们的阅读理解能力。试题 的呈现方式和设问方式有所创新, 增强了灵活 性和开放性, 多角度提问, 答案不唯一, 鼓励同 学们从不同角度认识问题, 把同学们从标准答 案中解放出来, 真实地考查大家的数学能力, 而 不是训练技巧, 引导大家从“ 解题” 到“ 解决问 题” 能力的培养。本文特精选高考统计概率例 题予以分类探析, 旨在探究题型考查特点, 帮助 大家决胜于高考。 一、通过对图形、图表的分析,考查读图、 识图、用图能力 例 1 ( 2 0 2 2年全国甲卷) 某社区通过 公益讲座向社区居民普及垃圾分类知识。为 了解讲座效果, 随机抽取 1 0 位 社 区 居 民, 让 他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类 知识问卷, 这1 0位社区居民在讲座前和讲座 后问卷答题的正确率如图1 , 则( ) 。 图1 A. 讲座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小于7 0 % B . 讲座后问卷答题的正确率的平均数大 于8 5 % C . 讲座前问卷答题的正确率的标准差小 于讲座后正确率的标准差 D. 讲座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于讲座前正确率的极差 解 析: 讲 座 前 中 位 数 为7 0 %+ 7 5 % 2 > 7 0 %, 所以 A 错误。讲座后问卷答题的正确 率只有一个是8 0 %, 4个8 5 %, 剩下全部大于 等于9 0 %, 所以讲座后问卷答题的正确率的 平均数大于 8 5 %, B 正确。讲座前问卷答题 的正确率更加分散, 所以讲座前问卷答 题 的 正确率 的 标 准 差 大 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差, C 错误。讲座后问卷答题的正确率的 极 差为1 0 0 % -8 0 % =2 0 %, 讲 座 前 问 卷 答 题 正确率的极差为9 5 %- 6 0 %= 3 5 %> 2 0 %, 所以 D 错误。 故选 B 。 图2 例 2 ( 2 0 1 6 年 全国Ⅲ 卷 理 科) 某 旅 游 城市 为 向 游 客 介 绍 本 地的 气 温 情 况, 绘 制 了 一年 中 各 月 平 均 最 高 气温 和 平 均 最 低 气 温 的 雷 达 图。 图 2 中 A 点表 示 十 月 的 平 均 最 高气温约为1 5 ℃, B 点表示四月的平均最 低 气温约为5 ℃。下面叙述不正确的是( ) 。 A. 各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B . 七月的平均温差比一月的平均温差大 C . 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均气温高于2 0 ℃的月份有5个 解析: 由图可知0 ℃在虚线框内, 所以各 月的平 均 最 低 气 温 都 在 0 ℃ 以 上, A 正 确。 由图可知七月的平均温差比一月的平均温差 大, B正确。由 图 可 知 三 月 和 十 一 月 的 平 均 最高气温都约为1 0 ℃, 基本相同, C正确。由 图可 知 平 均 最 高 气 温 高 于 2 0 ℃ 的 月 份 只 有 七八月, 没有5个月份, D 不正确。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知
故选 D。 点评: 频数分布表, 扇形统计图, 条形统 计图, 折线统计图, 频率分布 表, 频 率 分 布 直 方图, 频率分布折线图, 雷达图, 散点图, 等高 条形图等知识的考查, 提醒同学们平时 要 注 意生活中有关图表的认识, 提 升 读 图、 识 图、 用图能力, 突出“ 实践性” , 提升利用概念来分 析问题、 解决问题的能力。 二、关注样本数字特征以及有关统计量 的意义 理解百分位数、 中位数、 众数、 平均数( 期 望) 、 方差、 标准差、 极差等数 字 特 征, 适 当 了 解样本相关系数、 决定系数等统计量的 基 本 概念及性质。 图3 例 3 ( 2 0 2 2 年全 国 乙 卷 文 数) 分别 统 计 了 甲、 乙 两位 同 学 1 6 周 的 各 周 课 外 体 育 运 动时长 ( 单 位: h ) , 得到 的 茎 叶 图, 如 图3所示。 则下列结论中错误的是( ) 。 A. 甲同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 的 样 本 中位数为7 . 4 B . 乙同学周课外体育运动时长的样本平 均数大于8 C . 甲同学周课外体育运动时长大于8的 概率的估计值大于0 . 4 D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的 概率的估计值大于0 . 6 解析: 对于 A 选 项, 甲 同 学 周 课 外 体 育 运动时长的样本中位数为7 . 3 + 7 . 5 2 = 7 . 4 , A 选项正确。 对于 B选项, 乙同学课外体育运动时长 的样本平均数为: 6. 3+7. 4+7. 6+8. 1+8. 2+8. 2+8. 5+8. 6+8. 6+8. 6+8. 6+9. 0+9. 2+9. 3+9. 8+1 0. 1 1 6 = 8 . 5 0 6 2 5 > 8 , B选项正确。 对于 C选项, 甲同学周课外体育运动时 长大于8的概率的估计值 6 1 6=0 . 3 7 5<0 . 4 , C选项错误。 对于 D 选项, 乙同学周课外体育运动时 长大于8的概率的估计值1 3 1 6= 0 . 8 1 2 5 > 0 . 6 , D 选项正确。 故选 C 。 例 4 ( 2 0 2 1年新高考Ⅰ卷) 有一组样 本数据 x 1, x 2, …, x n, 由这 组 数 据 得 到 新 样 本数据y 1, y 2, …, y n, 其中y i= x i+ c( i= 1 , 2 , …, n) , c 为非零常数, 则( ) 。 A. 两组样本数据的样本平均数相同 B . 两组样本数据的样本中位数相同 C . 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 解析: 选 项 A: E ( y) =E ( x +c) = E( x) + c 且c≠0 , 故平均数不相同, A 错误。 选项 B : 若第一组中位数为x i, 则第二组 的中位数为y i= x i+ c, 显然不相同, B错误。 选项 C : D( y) =D( x) +D( c) =D( x) , 故方差相同, C正确。 选项 D: 由极差的定义知, 若第一组的极 差为 xm a x-xm i n, 则 第 二 组 的 极 差 ym a x-ym i n =( xm a x+ c ) -( xm i n+ c) = xm a x- xm i n, 故极差 相同, D 正确。 故选 C D。 例 5 ( 2 0 2 0年全国Ⅲ卷) 在一组样本 数据中, 1 , 2 , 3 , 4 出现的频率分别为 p 1, p 2, p 3, p 4, 且∑ 4 i=1 p i= 1 , 则下面四种情形中, 对应 样本的标准差最大的一组是( ) 。 A. p 1= p 4= 0 . 1 , p 2= p 3= 0 . 4 B . p 1= p 4= 0 . 4 , p 2= p 3= 0 . 1 C . p 1= p 4= 0 . 2 , p 2= p 3= 0 . 3 D. p 1= p 4= 0 . 3 , p 2= p 3= 0 . 2 解析: 对于 A 选 项, 该 组 数 据 的 平 均 数 为x A =( 1 + 4 ) × 0 . 1 +( 2 + 3 ) × 0 . 4 = 2 . 5 。 方 差 为s 2 A = ( 1-2 . 5 ) 2 ×0 . 1+ ( 2- 2 . 5 ) 2× 0 . 4 +( 3 - 2 . 5 ) 2× 0 . 4 +( 4 - 2 . 5 ) 2× 0 . 1 = 0 . 6 5 。 对于 B选项, 该组数据的平均数为x B = ( 1 + 4 ) × 0 . 4 +( 2 + 3 ) × 0 . 1 = 2 . 5 。 方差 为s 2 B = ( 1-2 . 5 ) 2 ×0 . 4+ ( 2- 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知
2 . 5 ) 2× 0 . 1 +( 3 - 2 . 5 ) 2× 0 . 1 +( 4 - 2 . 5 ) 2× 0 . 4 = 1 . 8 5 。 对于 C选项, 该组数据的平均数为x C = ( 1 + 4 ) × 0 . 2 +( 2 + 3 ) × 0 . 3 = 2 . 5 。 方差为s 2 C = ( 1-2 . 5) 2 ×0 . 2+ ( 2- 2 . 5 ) 2× 0 . 3 +( 3 - 2 . 5 ) 2× 0 . 3 +( 4 - 2 . 5 ) 2× 0 . 2 = 1 . 0 5 。 对于 D 选项, 该组数据的平均数为x D = ( 1 + 4 ) × 0 . 3 +( 2 + 3 ) × 0 . 2 = 2 . 5 。 方 差 为s 2 D = ( 1-2 . 5 ) 2 ×0 . 3+ ( 2- 2 . 5 ) 2× 0 . 2 +( 3 - 2 . 5 ) 2× 0 . 2 +( 4 - 2 . 5 ) 2× 0 . 3 = 1 . 4 5 。 因此, B选项这一组标准差最大。 点评: ( 1 ) 平均数反映了数据取值的平均水 平; 标准差、 方差描述了一组数据围绕平均数波 动的大小。标准差、 方差越大, 数据的离散程度 越大, 越不稳定; 标准差、 方差越小, 数据的离散 程度越小, 越稳定。( 2 ) 用样本估计总体就是利 用样本的数字特征来描述总体的数字特征。 三、厘清事件及其概率,明白事件间的关 系,并能准确计算相关事件的概率 掌握和事件、 积事件、 互斥事件、 对立事 件, 以及条件概率、 概率分布列( 两点分布、 二 项分布、 超几何分布、 正态分布) 等知识。 例 6 ( 2 0 2 1年新高考 Ⅰ 卷) 有6个相同的 球, 分别标有数字1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 从中有放回地 随机取两次, 每次取1个球。甲表示事件“ 第一 次取出的球的数字是1 ” , 乙表示事件“ 第二次取 出的球的数字是2 ” , 丙表示事件“ 两次取出的球 的数字之和是8 ” , 丁表示事件“ 两次取出的球的 数字之和是7 ” , 则( ) 。 A. 甲与丙相互独立 B . 甲与丁相互独立 C . 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 解析: 由题意可知, 两点数和为8的所有 可能为: ( 2 , 6 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 4 ) , ( 5 , 3 ) , ( 6 , 2 ) 。 两点数和为7的所有可能为: ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) 。 所以 P( 甲) =1 6, P( 乙) =1 6, P( 丙) = 5 6 × 6 =5 3 6 , P( 丁) = 6 6 × 6 =1 6。 选项 A: P( 甲丙) = 0≠P( 甲) P( 丙) ; 选项 B : P( 甲丁) =1 3 6 =P( 甲) P( 丁) ; 选项 C : P( 乙丙) =1 3 6≠P( 乙) P( 丙) ; 选项 D: P( 丙丁) = 0≠P( 丙) P( 丁) 。 故选 B 。 点评: 本题考查 独 立 事 件 的 概 念 及 同 学 们的运算求解等能力。因此, 同 学 们 只 需 要 准确理解相互独立事件的概念, 用相互 独 立 事件的概率判断即可。 例 7 ( 2 0 2 2年全国新高考Ⅰ卷) 一医 疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地 居民的卫生习惯( 卫生习惯分为良好和不够 良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随 机调查了1 0 0 例( 称为病例组) , 同时在 未 患 该疾病的人群中随机调查了 1 0 0 人( 称为对 照组) , 得到的数据如表1所示。 表1 不够良好 良好 病例组 4 0 6 0 对照组 1 0 9 0 ( 1 ) 能否有9 9 %的把握认为患该疾病群 体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? ( 2 ) 从 该 地 的 人 群 中 任 选 一 人, 事 件 A 表示“ 选到的人卫生习惯不够良好” , 事件 B 表 示 “ 选 到 的 人 患 有 该 疾 病 ” , P( B | A) P( ?? B | A) 与 P( B | ?? A) P( ?? B | ?? A) 的比值是卫生习惯不够良好对患该 疾病风险程度的一项度量指标, 记该指标为R。 ①证明: R=P( A | B) P( ?? A | B) ·P( ?? A | ?? B) P( A | ?? B) ; ②利 用 该 调 查 数 据, 给 出 P ( A| B) , P( A | ?? B) 的估计 值, 并 利 用 ① 的 结 果 给 出 R 的估计值。 附: K 2= n( a d- b c ) 2 ( a+ b) ( c+ d) ( a+ c ) ( b+ d) 。 表2 P( K 2≥ k) 0 . 0 5 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 1 k 3 . 8 4 1 6 . 6 3 5 1 0 . 8 2 8 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知
解析: ( 1 ) 假设患该疾病群体与未患该疾 病 群 体 的 卫 生 习 惯 没 有 差 异, 则 K 2 = 2 0 0 ( 4 0 × 9 0 - 6 0 × 1 0 ) 2 5 0 × 1 5 0 × 1 0 0 × 1 0 0 =2 4>6 . 6 3 5 , P( K 2≥ 6 . 6 3 5 ) = 0 . 0 1 , 故有9 9 %的把握认为患该疾 病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异。 ( 2)① R = P( B | A) P( ?? B | A) P( B | ?? A) P( ?? B | ?? A) = P( A B) P( A) P( A ?? B) P( A) · P( A B) P( ?? A) P( ?? A B) P( ?? A) = P( A B) P( A ?? B) · P( ?? A ?? B) P( ?? A B) = P( A B) P( ?? A B) · P( ?? A ?? B) P( A ?? B) = P( A B) P( B) P( ?? A B) P( B) · P( ?? A ?? B) P( ?? B) P( A ?? B) P( ?? B) =P( A | B) P( ?? A | B) · P( ?? A | ?? B) P( A | ?? B) , 等式成立。 ②根据调查数 据, 通 过 样 本 估 计 总 体 可 得, P( A| B) = 4 0 4 0 + 6 0=0 . 4 , P ( A| ?? B) = 1 0 1 0 + 9 0 = 0 . 1 。则 P( ?? A | B) = 1 -P( A | B) = 0 . 6 , P( ?? A | ?? B) = 1 -P( A | B) = 0 . 9 。 由 ① 知, R = P( A | B) P( ?? A | B) · P( ?? A | ?? B) P( A | ?? B)= 0 . 4 × 0 . 9 0 . 6 × 0 . 1 = 6 。 点评: 本题蕴含丰富的统计思想, 第一问 考查独立性检验的问题, 由于新教材中 独 立 性检验问题的表达规范有一定变化, 需 要 在 学习时注意关注表达的规范性。第二问①的 解决要求对条件概率的定义有准确把 握, 条 件概率是概率论中的一个重要概念, 也 是 课 程标准中的重要内容。第二问②需要同学们 具备较好的统计方面的知识, 回答了我 们 关 注的问题: 卫生习惯对患病风险的影响程度。 本题实际上也体现了教材关于独立性检验问 题表述的科学性和必要性, 即如果需要 研 究 影响程度, 则还需要进行频 率 的 比 较。同 学 们出错的原因主要在于阅读能力低下, 不 能 很好地理解试题的背景, 表达不规范, 不会用 条件概率公式进行推导。 四、关注 开 放 性 问 题— — —统 计 中 推 断 与 预测或决策问题 例 8 ( 2 0 2 1年全国新高考 Ⅱ 卷) 一种微生 物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一 个这种微生物为第0代, 经过一次繁殖后为第1 代, 再经过一次繁殖后为第2代, ……, 该微生 物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分 布列, 设 X 表示1个微生物个体繁殖下一代的 个数, P( X= i ) = p i( i = 0 , 1 , 2 , 3 ) 。 ( 1 ) 已知p 0= 0 . 4 , p 1= 0 . 3 , p 2= 0 . 2 , p 3 = 0 . 1 , 求 E( X) 。 ( 2 ) 设p 表示该种微生物经过多代繁殖 后临近灭绝的概率, p 是关于x 的方程: p 0+ p 1 x+ p 2 x 2+p 3 x 3=x 的 一 个 最 小 正 实 根。 求证: 当 E( X) ≤1 时, p=1 ; 当 E( X) >1 时, p< 1 。 ( 3 ) 根据你的理解说明( 2 ) 问结论的实际 含义。 解析: ( 1 ) E( X) = 0 × 0 . 4 + 1 × 0 . 3 + 2 × 0 . 2 + 3 × 0 . 1 = 1 。 ( 2 ) 设 f ( x) =p 3 x 3 +p 2 x 2 + ( p 1 - 1 ) x+ p 0。 因 p 3 +p 2 +p 1 +p 0 =1 , 故 f ( x) = p 3 x 3+ p 2 x 2-( p 2+ p 0+ p 3) x+ p 0。 ①若 E( x) ≤ 1 , 则p 1+ 2 p 2+ 3 p 3≤ 1 , 故 p 2+ 2 p 3≤ p 0。 f _ ( x) = 3 p 3 x 2+ 2 p 2 x-( p 2+ p 0+ p 3) 。 因f _ ( 0 ) = -( p 2+p 0+p 3) <0 , f _ ( 1 ) = p 2+ 2 p 3-p 0≤ 0 , 故f _( x) 有两个不同零 点x 1, x 2, 且x 1< 0 < 1 ≤ x 2。 当 x ∈ ( - ∞, x 1 ) ∪ ( x 2, + ∞ ) 时, f _ ( x) > 0 ; 当x∈( x 1, x 2) 时, f _ ( x) < 0 。 故 f( x) 在 ( - ∞, x 1) 上 为 增 函 数, 在 ( x 1, x 2) 上为减函数, 在( x 2, +∞) 上为增函数。 若x 2= 1 , f( x) 在( x 2, +∞) 上为增函数 且f( 1 ) = 0 , 而当 x∈( 0 , x 2) 时, 因 f( x) 在 ( x 1, x 2) 上为减函数, 故f( x) > f( x 2) = f( 1 ) = 0 。 因此, 1 为 p 0 +p 1 x+p 2 x 2 +p 3 x 3 =x 的一个最小正实根。 若x 2> 1 , 因f( 1 ) =0 且在( 0 , x 2) 上为 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年7 - 8月 全科互知