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基于转换思想的数学解题方法探析 ■周利娜 转换思维在数学中具有很重要的应用价 值和极广的应用范围, 尤其是在解题中, 应用 转换思维可以让学生将抽象的知识转换为更 直观的物象, 并加以理解, 从 复 杂 到 简 单, 提 高知识的理解效果和灵活应用能力, 让 学 生 找到学习的突破口。下面介绍转换思想几种 常见的类别, 并给出实际运用建议, 希望以此 能帮助学生提高解题能力。 一、 数学转换思想的常见类别 转换思想在数学思想中是极其重要的一 个模块, 也是解决数学难题的重要方法, 具有 极高的利用价值。从类别上划分可以将数学 转换思想分为四个类别: 第一是类比转 换 思 想。类比转化就是将具有相同特点和内在联 系的数学知识联系起来转换成我们已知并熟 知的知识, 在进行数学解题的时候, 通过类比 转换思想的运用让学生通过找共同点和不同 之处类比推理, 比如可以将分数加减法 转 换 成分式加减法来进行学习和解答。在转换的 时候要注意运算符号、 计算的先后顺序 并 结 合所学知识整合利用进行间接性转换, 通 过 将重点难点知识和复杂解题过程转换成我们 所熟知并且简单的解题方式, 能够提高 解 题 的效率和准确性。第二是分解转换思想。分 解转换就是把一个整体分解成不同的 部 分, 将概念性较大较广的大问题分解成多个小问 题的组合来分别进行解析, 这种方法通 常 应 用在处理较复杂较难的综合题当中, 以 多 个 小知识点构成完整的解题过程, 能够提 高 学 生解题的能力, 使学生更好地处理综合 性 较 强相对复杂的题目。第三是 语 言 转 换 思 想。 语言转换就是将数学题目中复杂冗长的材料 借助数字、 运算符号、 集合符号等方式转换成 较为直观简单的数学语言, 借助常规的 数 学 符号使常规语言材料变得更直观、 简单, 便于 理解, 保证解题的速度和顺 利 进 行。第 四 是 等价转换思想。这是应用较为普遍也是最常 见的转换思想, 在解题过程中通过将两 种 不 同形式但内在一致的事物进行等价替 换, 可 以将我们不熟悉、 不熟练的数学语言转 换 成 已有的知识结构来进行解答, 比如可以 将 乘 方转换成开方来进行计算并带入到解题步骤 中, 能够达到豁然开朗的效果。 二、 转换思想在 数 学 解 题 中 的 具 体 应 用 方式 1 . 为学生营造开放的问题转换氛围。转 换思想在解题过程中发挥着重要的作 用, 但 是现阶段学生缺乏对科学转换思想的 运 用, 导致解题效果和解题率都比较低。所以教师 应重点加强训练学生的数学转换思想, 提 高 他们的转换意识和能力, 在课堂中为学 生 提 供充足的时间进行转换训练, 让他们开 拓 思 维并用开放的眼光和思维去主动积极探索解 题的规律和本质, 自主研究探索感受问 题 转 换的过程, 从 而 主 动 梳 理 出 其 中 的 规 律、 内 涵、 思路, 提高解题能力并学会自主思考探究 学习, 养成开放性、 多元化的 思 维 方 式, 提 高 数学核心素养。 例如在利用转换思想解决代数问题的时 候, 由一元一次方程的一般公式a x+ b= 0 , 可 以将很多带有小数、 分数的复杂一元一次方程 转 换 成 标 准 的 一 般 公 式。 如0 . 8 y+ 1 . 8 0 . 1 - 0 . 0 8 + 0 . 6 y 0 . 0 4 = 4 y- 1 0这个方程式, 不管是数 字还是方程形式, 都较以前学过的一元 一 次 方程式更难、 更复杂, 教师可以引导学生结合 以往的解题步骤, 首先去分母、 去括号、 移项、 合并同类项、 系数化1 , 这样的步骤并结合转 换思想一步 一 步 将 复 杂 的 方 程 转 换 成 8 y+ 1 8 -( 2 + 1 5 y) = 4 y- 1 0 , 这样的一般形式学 生就可以轻松化解, 从而感受转换思想 在 代 数问题中的重要作用和应用技巧。 2 . 注重学生解题思维的激发。当前解题 学习方式较为单一, 通常是教师抛出问 题 先 4 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
让学生主动思考, 然后让学生尝试着去解题, 最后给出答案, 带领学生一起梳理解题 的 过 程和思路, 让学生掌握这种解题的方法 和 思 路, 在以后遇到类似问题时 能 迁 移 运 用。学 生长期受这种学习模式的影响, 思维比 较 固 化, 没有对问题的本质进行深入了解与研究, 在解题过程中都是套用固定公式和模式进行 解题, 这种机械式的模仿, 学生的创新能力和 数学思维能力被极大压制, 忽略了主动 思 考 探究与解题思维的培养。因 此, 在 解 题 过 程 中要加强学生数学思维的训练, 结合他 们 的 思路想法给予针对性的指导和改正, 几 何 是 数学中比较难的一个模块, 大多数学生 没 有 掌握正确的解题思路和清晰的解题思 维, 导 致找不到解题方向, 有的甚至放弃几何题, 应 用转换思想就极为重要, 可以将抽象的 几 何 题拆解成多个部分变成我们所熟知的 问 题, 从而找出正确的解题思路和解题方案。 例如在△A B C 中, 已 知 A B=A C, E 是 A B 边上的一个点, A C 的延长线上有一个F 点, 将 E 和F 两点连接, 和 B C 在D 点相交, 已知E B= C F, 证明: D E=D F。要想证明两 条边 是 否 相 等, 就 必 须 先 证 明 △D C F 和 △B D E 是全等关系, 很明显两个三角形不全 等的情况下 就 可 以 用 转 换 思 想 过 E 点 添 加 辅助线并让其和A F 平行相交于B C 边上的 点G, 通过寻找其他三角形来形成内在关系, 从而间 接 证 明 两 个 三 角 形 全 等 得 出 最 后 结 论。在这个题目中添加辅助线就是应用转换 思想创 造 出 另 一 个 三 角 形 来 制 造 两 者 的 关 系, 从而顺利发现解题思路。如 果 没 有 转 换 思想的运用, 很多几何题型将会变得无 从 下 手, 可见转换思想在几何问题中也是至 关 重 要的, 能够提高几何题的解决效率, 帮助学生 找到解题思路和线索。 3 . 引导学生掌握问题探索的方法。中学 数学解题过程中常用的几种思路方法主要有 正向、 逆向思维和发散性思 维。正 向 思 维 就 是从题目给出的已知条件推导出问题的答案 也就是结论, 这是最常用的思维也是最 简 单 的; 而逆向思维就是首先要分析问题的 结 果 要求的是什么, 需要哪些条 件? 从 而 一 步 一 步去找到所需要的线索和条件, 再得出结论; 发散性思维就是从题目中的关键信息和已知 条件延伸出多个可解决的新问题。这三种解 题思维应用在解题过程中, 能够极大地 提 高 解题效率和质量, 保障学生顺利完成解 题 任 务。这就要求学生在分析问题的时候从多角 度、 多方面进行立体分析与精准把握, 找到题 目信息的关键点和所需的条件, 需要学 生 具 备极强的发散思维水平和数学思维、 创 新 创 造能力, 根据自己的解题过 程、 解 题 思 维、 技 巧与方法才能顺利得出最后结果。 例如在解决函 数 问 题 的 时 候, 可 以 给 学 生充分的时间与空间, 让他们自主探索, 从多 个角度用多种方法尝试解决, 一起梳理 解 题 思路, 从而让学生意识到函数问题中数 学 思 维对解题的重要性, 找到已知条件中问 题 信 息内在的关联性, 建立新旧知识的联系 和 转 化, 在共同作用下达到快速高效准确地解题。 4 . 加强解题思维指导训练。教师在课堂 中扮演着指导者、 引领者的作用, 但是在解题 教学中如果过分关注学生的主观能动性和独 立解决问题的能力, 学生没有思路的时候, 就 会像无头苍蝇一样无从下手。因此教师要认 清自己的角色找准定位, 在学生遇到困 难 的 时候主动给予科学的指导, 帮助他们找 到 正 确的解题思路和方法。在平时的学习指导过 程中, 教师要经常渗透并运用多种解题 转 换 思想, 让学生在巩固练习中不断意识到 各 种 转换思想, 在不同类型题目中的应用方法、 应 用技巧、 应用规律, 从而梳理出清晰的转换思 想、 应用思路, 在以后解题的 过 程 中, 能 够 快 速准确找到合适的转换思想并应用到解题过 程中。 综上所述, 数学转换思想在解题中发挥着 重要的作用, 能够保障学生将知识学以致用, 提高学生的综合能力和解题能力, 提高学生的 学习成绩, 培养学生的全面发展和创新能力。 将多种转换思想应用在解题中, 可以使学生具 备更为开阔的眼界和思维模式来应对越来越 难的数学学习, 所以教师要加强解题指引和转 换思想的应用, 以增强学生的实践探究能力。 作者单位: 浙江省慈溪市保德实验学校 5 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
一个中心, 两个维度, 六大素养, 四条路径 — — — 2 0 2 1年高考数学上海卷评析 ■张 娟 2 0 2 1 年 高 考 数 学 上 海 卷 坚 持 贯 彻 落 实 “ 立德树人” 根本任务, 形成了“ 一个中心, 两 个维度, 六大素养, 四条路径” 的评价体系, 即 以立德树人为中心, 以知识与思想、 文化与应 用为内容, 以数学学科六大素养为核心, 以突 出数学本质、 精选试题素材、 创 新 设 问 方 式、 凸显问题解决能力为四条实施路径。 一、 一个中心: 立德树人 上海卷命题紧 扣 时 代 发 展, 发 挥 学 科 特 点, 以立德树人为命题的宗旨, 特别关注了德 育和劳动教育。如第 1 0 题以 概 率 的 考 查 方 式渗透对各类馆藏的参观与观摩, 关注 德 育 教育与人文教育等。 二、 两个维度: 知识与思想、 文化与应用 1 . 突出对数学主干知识和思想方法的考 查。对函数与导数、 不等式、 三 角 函 数( 包 括 解三角形) 、 平面解析几何、 立 体 几 何、 数 列、 推理与证明这些主干知识进行了重点 考 查, 而对其他知识如统计与概 率、 集 合、 复 数、 二 项式定理、 平面向量等知识也有一定的涉及, 充分体现了对数学知识考查的基础性、 全 面 性和综合性。同时在问题的 考 查 过 程 中, 从 数学学科整体意义和思想价值的高度 立 意, 有效检 测 了 学 生 对 数 学 思 想 方 法 的 掌 握 程 度。 例如第 1 1 题: 已 知 抛 物 线 C: y 2 =2 p x ( p> 0 ) , 若第一象限内的点 A, B 在抛物线C 上, 焦 点 为 F, 且|A F|=2 , | B F|=4 , | A B | = 3 , 则直线 A B 的斜率为 。 解析: 如图1所示, 过点 A, B 作抛物线 C 的准线的垂线, 垂足分别为 P, Q, 作 AM ⊥ B Q, 垂 足 为 M , 根 据 抛 物 线 的 定 义, 可 知 | A P | = | MQ | = | A F | = 2 , | B Q | = | B F | = 4 , 则 有| B M| =2 。 在 R t △AM B 中, 结 合 | A B | = 3 , 可得 | AM| = | A B | 2- | B A | 2 = 图1 5, 所 以 直 线 A B 的 斜 率 k = t a n∠A B M = | AM| | B M|= 5 2 。 2 . 关 注 对 数 学 文化 与 数 学 应 用 的 考查。试题关注社会, 关注学生发展, 引导学 生运用所学数学知识解决简单实际问题。如 第1 9题以企业营业额为题材, 结合每个季度 的营业额增加与利润的增长来巧妙设 置, 渗 透等差数列与等比数列知识, 体现数学 的 应 用价值, 达到以数学应用育人的目的。 三、 六大素养: 数学学科核心素养 上海卷巧妙与 合 理 地 融 合 了 基 础 性、 常 规性、 现 实 性 和 综 合 性 问 题, 实 现 对 数 学 抽 象、 逻 辑 推 理、 数 学 建 模、 直 观 想 象、 数 学 运 算、 数据分析等六大数学核心素养的综 合 考 查。其中对逻辑推理素养的考查至少有八道 试题, 比如第1 6题以三个条件为背景来确定 代数不等式的恒成立的判定, 学习需借 助 三 个不同条件中参数所满足的等式或不 等 式, 借助逻辑推理加以合理分析与应用才能得以 正确判断。而对数学运算素 养 的 考 查, 基 本 渗透到大部分的试题中去。对直观想象素养 的考查, 也至少有六道试题。 例如第1 6题: 已知x 1、 y 1、 x 2、 y 2、 x 3、 y 3 为6个不同的实数, 满足 ①x 1< y 1, x 2< y 2, x 3 x 1+ x 3 C . x 2 2< x 1 x 3 D. x 2 2> x 1 x 3 解析: 根据 题 目 条 件, 巧 取 特 殊 值 x 1 + y 1= x 2+ y 2=x 3+ y 3=9 , 且 x 1=1 , x 2=2 , 6 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
x 3= 4 , 可得y 1=8 , y 2=7 , y 3=5 , 同 时 满 足 三个条件, 根据x 1= 1 , x 2= 2 , x 3= 4 , 只有选 项 A 中 2 x 2 ![]()
千锤百炼始成刚 精雕细琢方成“ 题” ■曹 飞 摘要: 中考是终结性评价, 而中考模拟考 试只是诊断性评价, 目的是检查前期的 学 习 情况, 及 时 调 整 后 期 的 教 育 教 学 方 式 方 法。 区域性的中考模拟试题的编制, 既要依 据 新 课标的命题要求, 还要考虑区域性学生 的 特 点; 既要考虑每道题的考查重点, 又要兼顾整 套试题的科学性。那命题过 程 中, 就 需 要 不 断调整每道试题的考查方向、 难度和区分度, 最终命制出能考查出学生“ 四基” “ 四能” 与核 心素养的高质量试题。 关键词: 试题命制; 探究性; 综合性 笔者有幸参入 2 0 2 2 年珠海市香洲区的 中考模拟考试的命题。以前作为津津乐道的 评题、 用题的第三方, 终不理解命题者的“ 呕 心沥血” ; 而作为命题者当事人后, 亲身 经 历 了“ 千锤百炼始成刚, 精雕细琢方成‘ 题’ ” 的 命题过程。现就第2 5题( 全卷共2 5题) 的命 制过程, 分享于大家。 一、 试题定位 根据近年广东省中考数学的试题结构特 点, 整卷共2 5题。第2 4 、 2 5题是属于解答题 ( 3 ) , 每题 1 0 分, 题型包括代数综合题、 几何 综合题或代数几何综合题, 带有“ 压轴” 的性 质, 难度系数 控 制 在 0 . 3 左 右, 要 求 低 起 点、 高落点。初期的设想( 或是通常惯例) , 第2 4 题安排一道几何综合题, 第2 5题就出一道以 二次函数为背景的代数几何综合题。 二、 试题命制 1 . 试题雏形( 心有灵犀) 根据命题组的 统 一 要 求, 命 题 组 成 员 各 自先独立命制一套试题, 然后再汇总试 题 讨 论。在讨论时发现, 笔者命制的第2 4题与另 外一位教师命制的第 2 4 题 惊 人 的 相 似。最 后, 考虑到试题的探究性、 综 合 性, 以 及 是 否 能有效考查学生综合素质的原则, 初定 试 题 如下。 如图1 , 四边形 A B C D 是边长为1的正方 形, 点E 是边 A D 上的一点, 把△ A B E 沿 B E 折叠得到△ F B E, 连接 A F 并延长, 交B C 于点 G, C H⊥ A F 于点 H, 连接C F, D H。 图1 ( 1 ) 若∠A B E= α, 求∠ C F H 的度数。 ( 2 ) 连接 A C, 证明: △A C F∽△D C H 。 ( 3 ) 点 E 在运动过程中, 点 H 到 边C D 的距离是否存在最大值? 如 果 存 在, 请 把 它 求出来; 如果不存在, 请说明理由。 第( 1 ) 问: 笔者抓住“ 点 E 在线段 A D 运 动时, △F H C 恒为等腰直角三角形” 的不变 性。事 实 上, 点 E 在 线 段 A D 上 移 动 时, ∠A B E 的大小 随 之 变 化, 然 而 ∠ C F H =4 5 ° 不变。从而设置了第( 1 ) 问。 第( 2 ) 问: 考虑到设问承 接 递 进 性 原 则, 在第( 1 ) 问 的 基 础 上, 连 接 A C, 把 隐 藏 在 图 形中的“ 旋转4 5 ° 的手拉手相似模型” 显现出 来了, 证明△A C F 与△D C H 是相似比为 2 的相似三角形。 第( 3 ) 问: 考虑到高落点 的 要 求, 为 了 提 高题目的综合度和区分度, 设问了最值问题。 因为点 H 随 着 点 E 的 运 动, 运 动 轨 迹 是 以 A C 与 B D 的 交 点 为 圆 心 的 圆 弧, 点 H 到 C D 有最大值。 2 . 修订试题( 一题三折) 修订“ 第一折” : 虽然第( 1 ) ( 2 ) 问的设问 有承接递 进 关 系, 但 是 仔 细 斟 酌 后, 发 现 第 ( 1 ) 问设问难度较大, 有违低起点的原则, 第 ( 2 ) 问的设问过于直接, 综合性不强, 方法单 一。笔者经 过 再 次 深 入 探 究 发 现, “ 点 E 在 线段A D 运动时, △F H C 恒为等腰直角三角 形” 的不 变 性, 其 根 本 原 因 是 四 边 形 A B C H 是四点共圆对角互补的, 再加上轴对称 和 邻 8 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
补角的性质, 易得 ∠B F H = ∠B C H ( 等角的 补角相等) 。为了增强第( 2 ) 问的综合性和灵 活性, 在△A C F 与△D C H 的相似基础上, 给 定点 E 的 位 置 ( 例 如, 中 点) , 即 给 定 了 A E 的长度, 再利用相似三角形的性质即可 求 出 DH 的长度。 第一次修正: 第( 1 ) 问的设问改为“ 证明: ∠B F H =∠B C H ” ; 第( 2 ) 问的设问改为“ 若 点 E 是A D 的中点, 求 DH 的长” 。 修 订“ 第 二 折” : 笔 者 修 订 第 一 次 后 , 进 入 试 解 讨 论 阶 段 。 试 解 讨 论 后 , 发 现 第( 1) 问 设 问 改 为 “ 证 明 : ∠B FH = ∠B C H ” , 本 意 是 为 了 保 留 问 题 本 质 、 降 低 难 度 , 但 是 学 生 还 是 很 容 易 被 惯 性 思 维 牵 制 , 去 证 明 “ △B FH ≌ △B C H 或 者 △FHC 为 等 腰 三 角 形” 等 更 复 杂 的 问 题 。 而 第 ( 2) 问 试 解 , 大 家 给 出 很 多 的 解 答 方 法 , 这 些 解 答 方 法 几 乎 完 全 “ 偏 离 ” 了 笔 者 设 问 考 查 的 “ 初 衷” 。 一 题 多 解 体 现 了 题 目 的 灵 活 性 、 多 样 性 , 是 好 的 因 素 , 但 是 它 也 会 对 题 目 的 难 度 有 所 影 响 。 最 后 , 综 合 考 虑 一 下 , 还 是 决 定 再 次 优 化 第( 1) 问 。 既 然 是 惯 性 思 维 影 响 了 学 生 的 判 断 , 就 要 打 破“ 惯 性 思 维” , 修 改 原 题 目 中 “ 视 觉 直 观 ” 的 图 。 经 思 考 后 , 把 原 题 目 中 的 一 个 图 修 改 为 两 个 图 ( 如 图 2 和 图3 ) , 把 原 题 图( 参 考 图1 ) 中 的 线 段 C F 删 掉 , 第( 2 ) 问 再 加 个 图 。 图2 图3 修订“ 第三折” : 命题进入“ 合卷” 阶段, 命 题组为了积极响应新课标要求, 要对试 卷 题 型结构创新, 把原定第2 5题的代数几何综合 题更换到第2 4题的位置, 而笔者负责命制的 第2 4题调整为 第 2 5 题。这 么 一 调 整, 现 定 稿的第2 4题的“ 压轴” 意味就淡了。 修订思考: 第 ( 1 ) 问 完 全 能 达 到 考 查 目 的, 难度也很合适, 不用修改。第( 2 ) ( 3 ) 问要 作适当的修改。笔者借用几 何 画 板 发 现, 点 E 为边A D 的中点时, 四边形 D F C H 是特殊 四边形, 它是不受正方形的边长大小影响的。 因此把原 题 设 中 的“ 边 长 为 1 ” 删 掉。第( 2 ) 问的 边 长 DH 的 长 度 计 算 修 改 为 “ 证 明: 四 边形 D F C H 是平行四边形” 。第( 3 ) 问的点 H 到边C D 的距离最大值修改为探究线段比 值AH A G 的最 大 值 问 题, 由 原 来 的 单 线 段 最 值 变成了需要做辅助线构造相似三角形, 再 利 用其性质化归为求其他线段的比值的最值问 题。虽然殊途同归, 最终还是 回 归 到 探 究 点 H 到边C D( 或 A B) 的距离的最大值问题, 但 是这又进一步考查到学生的数学思想方法和 核心素养。 定稿: 如图4 , 在正方形 A B C D 中, 点 E 是边A D 上一动点, 把△A B E 沿B E 折叠得 到△F B E, 连接 A F 并延长, 交 C D 于 点G, 过C 作C H ⊥A F 于点 H 。 ( 1 ) 证明: ∠B F H =∠B C H 。 ( 2 ) 如图5 , 若点 E 是 A D 的 中 点, 连 接 D F, C F, DH , 证 明: 四 边 形 D F C H 是 平 行 四边形。 ( 3 ) 点 E 在运动过程中, AH A G 是否存在最 大值? 如 果 存 在, 请 把 它 求 出 来; 如 果 不 存 在, 请说明理由。 图4 图5 三、 试题点评( 名师点评) 中考模拟考试结束后, 第2 5题的阅卷组 长给出本题的点评: “ 本题考查了正方形的性 质、 等腰三角形的性质、 圆内接四边形对角关 系、 直角三角形的判定、 全等三角形的判定与 性质、 平行四边形的判定、 相似三角形的判定 与性质、 四点共圆中求极值 的 方 法 等。题 目 设问有梯度, 方法自然多样, 综 合 性 强, 灵 活 度高, 而且计算量小, 是难得一遇的能考查学 生“ 四基” “ 四能” 与核心素养的好题! 作者单位: 广东珠海市第十六中学 9 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
探讨高中数学高效课堂学习方法 ■徐凯旋 近几年来, 高效课堂越来越受到师生的 欢迎, 教师都希望自己的课 堂 是 高 效 的。对 于高效课堂, 教师可能会误以为一节课 讲 很 多内容的课堂就是高效课 堂。事 实 上, 教 师 引导学生思考, 在有效的时间内出色地 完 成 学习内容, 促进学生长期发展的课堂才 算 高 效课堂。不得不说, 课堂质量不提高, 课堂上 教师讲再多都不起作用, 课堂质量是非 常 重 要的。由此可见, 高效课堂注重的是“ 质” 不 是“ 量” 。 一、 强调重点, 分解难点 在课堂上, 教师 可 能 会 一 节 课 讲 很 多 知 识点, 有些知识点比较零碎, 但 是, 重 点 知 识 是课堂的主要内容。一节课上的重点一般就 几个, 教师讲课时要注意突出重点, 让学生多 思考并且多理解。课堂上的难点可能会比较 难理解, 教师要耐心讲解, 争 取 让 学 生 听 懂。 高效课堂注重的是“ 质” 不是“ 量” , 这点教师 要明确, 避免进入为追求课堂效率一节 课 多 讲许多知识点的误区。 例如, 椭圆这节 内 容 是 高 中 数 学 的 重 要 内容, 知识点很多, 重点是什 么 是 椭 圆、 椭 圆 的标准方程是什么。教师在讲解时, 首先, 可 引入椭圆, 生活中椭圆形的物品有很多, 比如 鸡蛋、 橄榄球、 鹅卵石等, 教师 可 以 通 过 这 些 椭圆形的物品谈到椭圆的直观形状, 让 学 生 对椭圆的形状有一个形象 的 了 解。其 次, 为 了突出这节课的重点, 教师可以利用工 具 让 学生画椭圆, 椭圆是怎么画的呢, 椭圆的定义 是关键, 画椭圆就是对椭圆定义的一种 灵 活 运用。椭圆有长轴和短轴, 画 椭 圆 跟 长 轴 和 短轴有很大关系。教师在上这节课之前要准 备一根细绳和两个图钉这些画椭圆的 工 具。 教师指定两位学生上来画图, 甲学生取 了 两 个定点, 还让这两个定点之间的距离小 于 细 绳的总长度, 然后按要求画图; 乙学生也取了 两个定点, 但是他让这两个定点之间的 间 距 大于细绳的总长度, 之后也 按 要 求 画 图。教 师引导学生对比这两位学生画的图, 总 结 出 经验, 并且让学生自己动手得出椭圆的定义。 学生自己画椭圆, 就会对椭圆有一个更 深 入 的了解, 对椭圆的定义也能 更 清 晰。难 点 是 椭圆的标准方程, 教师要给学生讲清楚、 讲明 白, 争取让每个学生都能听懂。最后, 教师将 重难点归纳, 保证学生的听课效率。 二、 利用多媒体学习 高中数学少不 了 立 体 几 何, 立 体 几 何 在 高中数学的地位非常高, 我们通常都认为, 立 体几何 能 够 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力。 但 是, 学生第一次学习立体几何的时候, 可能会 遇到一些困难。生活中, 我们 画 图 用 的 一 般 都是平面, 而立体几何是立体图形, 平面内画 出立体图形是不容易的, 会受到很多因 素 的 影响, 多媒体学习就可以避免这一点, 多媒体 可以展示立体几何图形的形成过程, 让 立 体 图形动起来, 还可以让学生从不同的方 向 去 观察立体图形。所以多媒体学习优于传统学 习, 能够有效提高课堂效率, 打造高效课堂。 例如, 教师在讲 解 圆 锥 的 概 念 与 性 质 这 章节内容时, 就可以利用多媒体, 提前准备好 课件, 课堂上给学生形象地 讲 解。课 件 上 清 晰地展示几何图形成形的全过程, 矩形 的 一 边旋转即成圆柱, 三角形的一边旋转即 成 圆 锥, 通过 这 些 动 态 的 过 程, 学 生 可 以 学 到 更 多, 可以对立体几何理解得 更 深 入。多 媒 体 学习的课件将重点和难点标注清楚, 学 生 也 很容易理解, 这些立体图形在课件里展 现 得 淋漓尽致, 一个个立体图形 非 常 生 动。多 媒 体形象的学习让学生对立体几何的定义更加 明白, 而且多媒体学习也比较有趣, 教师可以 将一些图片、 音频、 视频等放 入 课 件, 丰 富 数 学学习课堂, 提高课堂效率。 三、 学生合作探究 学生都有一定 的 学 习 基 础, 但 是 不 同 的 0 1 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
学生能力不同, 所以教师要注意培养学 生 认 真思考、 合作探究的能力。教 师 可 以 让 学 生 在课堂上分享小组的讨论, 如果发现他 们 的 结论不够充足的话, 可以让他们在课下 再 讨 论, 激发 他 们 探 索 的 兴 趣, 鼓 励 他 们 主 动 思 考。这种合作讨论的方法是 非 常 好 的, 可 以 有效促进学生之间的沟通与交流, 让学 生 接 触得更多。 例如, 教师在讲解数列的通项公式这章节 内容时, 就可以凭借问题打开数列的大门, 教 师提前准备好问题, 让学生思考讨论并回答。 数列的知识内容是枯燥的, 但是教师引导学生 讨论, 课堂就会变得生动有趣。教师引入一种 问题情境, 可以把复杂的问题简单化, 学生也 更容易理解。教师创造一种情境, 就好像给学 生打开了知识的大门, 吸引学生前进。高中数 学的课堂内容少不了枯燥, 高中数学的知识难 度也增加了, 学生不能再 像 小 学 初 中 一 样 学 习, 教师要引导他们学习方法的转变。学习中 遇到困难了, 学生之间可以讨论, 如果实在讨 论不出来, 可以请教老师, 这是一种良好的学 习状态, 也促进融洽的师生关系。不得不说, 学生合作探究、 讨论问题, 能有效提高课堂效 率, 推动高效课堂的打造。 四、 培养学生发散性思维 教师讲 课 的 时 候 不 能 只 讲 课 本 里 的 内 容, 额外还要补充一些课本上没有的知识, 并 且多给学生提一些出现新题型的问题, 让 学 生自己思考, 激发他们的创造性思维。而且, 学生自己探索新问题对提高数学思维能力有 很大帮助。数学有一些问题 是 开 放 性 问 题, 没有标准答案, 解决这类题目就不能按 以 前 的方法去解答, 而是应该深入思考, 寻找解题 办法。教师设置开放性问题主要是为了发散 学生的思维, 学生的思维发散了, 学习成绩自 然也会有所提高。所以, 教师设置一些疑问, 让学生从多角度解答, 这样才能有效激 发 学 生的潜力。课堂上, 教师提出问题, 可以让学 生讨论, 当学生意见不一致的时候, 不同的意 见可以 迸 发 更 大 的 火 花, 促 进 思 维 的 发 散。 教师在课堂上可以提一些开放性的问 题, 鼓 励学生自己探索, 对于开放性问题, 不能用一 般的思路去解决, 而是应该慎重思考, 想出有 效的解决方法。教师是课堂 的 引 导 者, 上 课 之前, 教师不仅要带领学生进入学习的状态, 还要让学生积极思考。只学习不思考是没有 用的, 教师不仅要让学生热爱学习, 还要鼓励 学生主动思考。积极思考, 有 利 于 学 生 发 散 性思维的培养, 帮助学生成 长。学 生 在 课 堂 上积极主动地思考, 这是一种非常好的 学 习 状态, 对所有学生都有利。在 现 在 复 杂 的 教 育环境下, 寻找有效的学习 方 法 是 关 键。不 得不说, 教师在课堂上引导学生主动思 考 并 合作探究解决问题的方法, 就是一个有 效 的 学习方法。引导学生思考, 培 养 学 生 发 散 性 思维很重要, 在一定程度上可以有效推 进 高 效课堂的构造。 例如, 教师在讲 解 直 线 方 程 这 章 节 内 容 时, 就要注意一些开放性问题, 这对解题非常 关键。直线方程会有截距、 斜率, 其中一点考 虑不全面就会得出错误的 答 案。比 如, 教 师 让学生求过这个点( 3 , 1 ) , 并且在 x 轴、 y 轴 上距离都相等的直线方程。这道题有两个结 果, 如果学生按照以前的想法去解题的话, 就 会很容易忽略掉在 x 轴、 y 轴的距离是 0 的 特殊情况, 而无法得出正确的结果。所以, 开 放性问题中情况多种多样, 学生一定要 考 虑 清楚, 并 且 发 散 思 维 考 虑 全 面, 得 出 正 确 结 论。高中数学不像初中数学 一 样 简 单, 高 中 数学有些问题就是比较思维开阔, 学生 解 题 时一定 要 考 虑 全 面, 不 要 忽 略 每 一 种 情 况。 教师在 课 堂 上 要 注 意 培 养 学 生 这 方 面 的 能 力, 鼓励学生多多思考。教师 积 极 培 养 学 生 的发散性思维, 毕竟教师都是希望学生 变 得 越来越好的。学生都拥有发 散 性 思 维, 不 仅 有利于提高学生个人的能力, 也有利于 推 动 高效课堂的构建。 总之, 高中数学不能再像以前一样学习, 一定要进行改革。那么, 教师 就 要 积 极 改 变 课堂学习方法, 创新课堂内容, 尽全力打造高 效课堂。教师在课堂上不能只是枯燥地讲知 识点, 要注意引导学生学会高效的学习方法, 提高学生的学习效率。 作者单位: 安徽省宣城市宣城中学 1 1 基础数学 名师讲座 学习研究 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知